高考數(shù)學理二輪復習幾何體與球切接的問題

1、熱點七 幾何體與球切、接的問題 縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點之一.高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答.從實際教學來看，這部分知識學生掌握較為薄弱、認識較為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理. 下面結(jié)合近幾年高考題對球與幾何體的切接問題作深入的探究,以便更好地把握高考命題的趨勢和高考的命題思路,力爭在這部分內(nèi)容不失分.從近幾年全國高考命題來看,這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見. 

2、;首先明確定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球.1 球與柱體的切接 規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1.1 球與正方體 如圖所示，正方體，設正方體的棱長為，為棱的中點，為球的球心.常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球

3、，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1. 位置關系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有. （2）正方體的外接球，如圖2. 位置關系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關系：設正方體的

4、棱長為，球的半徑為，這時有.（3）正方體的棱切球，如圖3. 位置關系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.例 1【2018屆福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校高三上學期期末】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【針對練習】1.如圖，虛線小方格是邊長為1的正方形，粗實(虛)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為A36B32 C9D8答案及解析：1.B幾何體的直觀圖如圖所示為三棱錐，三棱錐中，所以外接球的直徑為，則半徑，所以外接球的表面積,故選B.

5、1.2 球與長方體例 2 自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值【答案】.【解析】以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑 =例 3【2018屆二輪復習專題】九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐P­ABC為鱉臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱錐P­ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為()A. 8 B. 12C. 20 D. 24【答案】C【針對練習】1.已知邊長為2的

6、等邊三角形ABC，D為BC的中點，以AD為折痕，將ABC折成直二面角，則過A，B，C，D四點的球的表面積為A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案及解析：1.D折后的圖形可放到一個長方體中，其體對角線長為，故其外接球的半徑為，其表面積為.故選D.2 球與錐體的切接 規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.2.1正四面體與球的切接問題  （1） 正四面體的內(nèi)切球，如圖4. 位置關系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的

7、中心與球心重合；  數(shù)據(jù)關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可以利用體積橋證明）  （2） 正四面體的外接球，如圖5. 位置關系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；  數(shù)據(jù)關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到）  （3） 正四面體的棱切球，如圖6. 位置關系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；  數(shù)據(jù)關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有 例 4【2018屆廣西防城港市

8、高三1月模擬】各面均為等邊三角形的四面體的外接球的表面積為，過棱作球的截面，則截面面積的最小值為_【答案】【解析】將四面體放回一個正方體中,使正四面體的棱都是正方體的面對角線,那么正四面體和正方體的外接球是同一個球,當AB是截面圓的直徑時,截面面積最小.因外接球的表面積為,則球的直徑為,則正方體的體對角線為,棱長為1,面對角線為,截面圓面積最小值為.點評：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖.【針對練習】1.設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為，則三棱錐D-

9、ABC體積的最大值為 （ ） A. B. C. D. 答案及解析：1.C2.在四面體ABCD中，則四面體體積最大時，它的外接球半徑R=答案及解析：2.如圖，取AB中點E，連接CE，DE，設AB=2x（0x1），則CE=DE=，當平面ABC平面ABD時，四面體體積最大，為V=V=，當x（0，）時，V為增函數(shù)，當x（，1）時，V為減函數(shù)，則當x=時，V有最大值設ABD的外心為G，ABC的外心為H，分別過G、H作平面ABD、平面ABC的垂線交于O，則O為四面體ABCD的外接球的球心在ABD中，有sin，則cos，sin=設ABD的外接圓的半徑為r，則，即DG=r=又DE=，OG=HE=GE=它的外接

10、球半徑R=OD=2.2其它棱錐與球的切接問題 球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積. 球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.例5【湖南省長沙市長郡中學2017

11、屆高三摸底】已知邊長為的菱形中，沿對角線折成二面角為的四面體，則四面體的外接球的表面積為（ ）A B C D【答案】D例6【江西省新余市第一中學2017屆高三上學期調(diào)研考試（一）】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖（1）所示, 它的府視圖的直觀圖是,如圖（2）所示, 其中,則該幾何體的外接球的表面積為【答案】【解析】由斜二測畫法易知，該幾何體的俯視圖是一個邊長為4的等邊三角形,再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體是如下圖所示的高為4的三棱錐DABC，將其補形為三棱柱ABC-EDF,設球心為O，的中心為，則,所以該幾何體的外接球的半徑,其表面積為.例7【2018屆山西省太原十二中高三上學期1月】在四棱錐

12、中， 底面，底面為正方形， ， ，記四棱錐的外接球與三棱錐的外接球的表面積分別為，則_【答案】【解析】設正方形的邊長為，設為的中點，因為平面，而平面，所以，又，故，又，故平面， 平面，所以，故為直角三角形， 為斜邊，所以同理也為直角三角形，結(jié)合 ，所以，又， ，所以平面， 平面，所以， 為直角三角形，所以， 為三棱錐 外接球的球心，且半徑同理設為的中點，則為四棱錐外接球的球心，且半徑，所以填點睛：球的半徑的計算，關鍵在球心位置的確定，三棱錐中均為直角三角形，因此外接球的球心就是的中點，因為它到四個頂點的距離是相等的同理四棱錐外接球的球心就是的中點【針對練習】 1.已知在三棱錐P-ABC中，平面

13、PAB平面ABC，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）A B C D答案及解析：1.B試題分析：如下圖所示，設球心為，則可知球心在面的投影在外心，即中點處，取中點，連，由題意得，面，在四邊形中，設，半徑，即球心即為中點，表面積，故選B.2.在四面體SABC中，SA平面ABC，BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為A11BCD答案及解析：2.DAC=2，AB=1，BAC=120°，BC=，三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，SA平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，O是外接球的球心則有該三棱錐的外接球的半

14、徑R=，該三棱錐的外接球的表面積為S=4R2=選D.3.在四面體ABCD中，BCD與ACD均是邊長為4的等邊三角形，二面角A-CD-B的大小為60°，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A B C D答案及解析：3.A根據(jù)題意得到這個模型是兩個全等的三角形，二面角大小為，取CD的中點記為O，連結(jié)OB，OA，根據(jù)題意需要找到外接球的球心，選擇OA的離O點近的3等分店記為E，同理去OB上一點記為F，自這兩點分別做兩個面的垂線，交于點P，則點P就是球心。在三角形POE中，角POE為三十度，OE=故答案為：A.4.已知在三棱錐 A - BCD中，底面BCD為等邊三角形，且平面ABD平面BCD

15、，則三棱錐A - BCD外接球的表面積為答案及解析：4.16取BD的中點E，連接AE，CE，取CE的三等分點為O，使得CO=2OE，則O為等邊BCD的中心.由于平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，CEBD，所以平面ACE平面ABD.由于AB2+AD2=BD2，所以ABD為直角三角形，且E為ABD的外心，所以OA=OB=OD.又OB=OC=OD，所以O為三棱錐A-BCD外接球的球心，且球的半徑.故三棱錐A-BCD外接球的表面積為.3 球與球相切問題 對于球與球的相切組合成復雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)

16、化平面問題求解.例8 已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為.【答案】【解析】如圖：設四個球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.設AB中點為E、CD中點為F，連結(jié)EF.在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=.由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連結(jié)OA、OD.設第五個球的半徑為r，則OA=r+3，OD=r+2， 于是OE=，OF=，OE+OF=EF平方整理再平方得解得或（舍掉），故答案為.例9 把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前

17、三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離【答案】.【針對練習】 1.兩球和在棱長為1的正方體的內(nèi)部，且互相外切，若球與過點的正方體的三個面相切，球與過點的正方體的三個面相切，則球和的表面積之和的最小值為( )A B C. D答案及解析：1.A4球與幾何體的各條棱相切問題 球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例10 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（ ）Al0cm

18、B10 cmC10cm D30cm【答案】【解析】如圖所示，由題意球心在AP上，球心為O，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，因為各個棱都為20，所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設，在BPM中，,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,所以，所以.在OAM中, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故選B.4 球與旋轉(zhuǎn)體切接問題 首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關系例11 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比【答案】【解析】如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓 設球的半徑

19、，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ， ，例12在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小【答案】【解析】如圖，球心和在上，過，分別作的垂線交于則由得， 【反思提升】綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準切點，將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，應用三角形中的邊角關系，建立與球半徑的聯(lián)系，將球的體積之和用或表示.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距

20、離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時結(jié)論的記憶必須準確.高考題往往與三視圖相結(jié)合，題目的難易不一，在復習中切忌好高騖遠，應重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實題目的類型，升華解題的境界.【針對練習】1.已知四棱錐SABCD，SA平面ABCD，ABBC，BCDDAB，SA2，二面角SBCA的大小為若四面體SACD的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為A B4 C8 D16答案及解析：10.C2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點都在同一球面上,若該棱柱的體

21、積為,則此球的體積等于(   )A.B.C.D.答案及解析：19.B3.在四面體ABCD中，AD底面ABC，BC=2，E為棱BC的中點，點G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則（ ）A B C D2答案及解析：3.D設ABC的外心為O，則點O在AE上，設OE=r,則.設四面體ABCD的外接球半徑為R，則.因為所以. 故選D.4.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中有很多對幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積是（）A81 B33 C. 56

22、D41答案及解析：4.D由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的四棱錐，其中是邊長為4的正方形，平面平面設為的中點，為正方形的中心，為四棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，則球心為過點且與平面垂直的直線與過且與平面垂直的直線的交點由于為鈍角三角形，故在的外部，從而球心與點P在平面的兩側(cè)由題意得，設球半徑為，則,即，解得，選D5.正三棱柱的頂點都在同一個球面上，若球的半徑為4，則該三棱柱的側(cè)面面積的最大值為 （ ）（A） （B） （C） （D）答案及解析：5.A設正三棱柱高為h，底面正三角形邊長為a，則三棱柱側(cè)面面積為，因為，所以因此三棱柱側(cè)面面積最大值為，選A6.四棱錐P - ABCD的底面ABC

23、D為正方形，PA底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則PA=（ ）（A）3（B）（C）（D）答案及解析：6.B試題分析：連結(jié)交于點，取的中點，連結(jié)，則，所以底面，則到四棱錐的所有頂點的距離相等，即為球心，半徑為,所以球的體積為，解得，故選B7.某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（ ）A11 B12 C. 13 D14答案及解析：7.A由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點且垂直于平面的直線上，又點到距離相等，點又在線段的垂直平分面上，故是直線與面的交點，可知是直線與直線的交點（分別是左側(cè)正方體對棱的中點）， 故三棱錐外接球的

24、半徑，表面積為8.下圖是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該四棱錐的外接球的表面積為（ ）A B C. 41 D31答案及解析：8.C根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐OABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點其中.根據(jù)幾何體可以判斷：球心應該在過A，D的平行于底面的中截面上，設球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：4x，R2=x2+（）2，R2=22+（4x）2，解得出：，該多面體外接球的表面積為：4R2=，故選：C9.三棱錐P-ABC中，底面ABC滿足，點P在底面ABC的射影為AC的中點，且該三棱錐的體積為，當其外接球的表面積最小時，P到底面ABC的

25、距離為.答案及解析：9.67.在三棱錐P-ABC中，,則該三棱錐的外接球的表面積為答案及解析：67.5 68.在四面體ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為_答案及解析：68. 669.已知三棱錐均為等邊三角形，二面角的平面角為60°，則三棱錐外接球的表面積是.81.表面積為的球面上有四點，且為等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面，則三棱錐的體積的最大值為答案及解析：81.過O作OF平面SAB,則F為SAB的中心,過F作FESA于E點,則E為SA中點,取AB中點D,連結(jié)SD,則ASD=30，設球O半徑為r,則,解得.連結(jié)OS

26、,則.過O作OM平面ABC，則當C，M，D三點共線時，C到平面SAB的距離最大，即三棱錐SABC體積最大.連結(jié)OC，平面SAB平面ABC，四邊形OMDF是矩形，三棱錐SABC體積.點睛：求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，83.已知三棱錐中，當三棱錐的體積最大時，其外接球的體積為 答案及解析：83.當平面時，三棱錐的體積最大，由于，則為直角三角形，三棱錐的外接

27、球就是以為棱的長方體的外接球，長方體的對角線等于外接球的直徑，設外接球的半徑為，則，解得，球體的體積為，故答案為.87.在三棱錐中，,PA與平面ABC所成角的余弦值為，則三棱錐P - ABC外接球的表面積為答案及解析：87.1289.在幾何體中，是正三角形，平面平面，且，則的外接球的表面積等于答案及解析：89.由題意，取AB,PB的中點E,F，連接AF,PE，且，則點M為正三角形PAB的中點，易證PE 平面ABC，取AC中點D，連接ED，作ODPE，OMED，連接OA，則OA為外接球的半徑，又，則，所以外接球的表面積為，從而問題可得解.91.已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面積，且，則答案及解析：91.98.矩形中，平面，分別是，的中點，則四棱錐的外