淺談逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、淺談逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用祁禮斌（靜寧縣靳寺職業(yè)中學(xué)）摘 要： 本文談?wù)摿烁拍罱虒W(xué)、公式教學(xué)、反證法教學(xué)、反例教學(xué)等幾個方面中逆向思維的培養(yǎng)與應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 逆向思維；概念；反證法。逆向思維是指背離原來的認(rèn)識并在相對立的意義上去探索新的發(fā)展可能性.由于思維與原來認(rèn)識相反,在與原來習(xí)慣思維相反方向上進行的,我們稱它為逆向思維逆向思維從反面觀察問題,打破心理學(xué)上的心理定勢現(xiàn)象,沖破習(xí)慣思維的束縛,在與原來認(rèn)識方向相反的方向上尋求解決問題的新方法,有時會產(chǎn)生意想不到的良好效果或獲得新的發(fā)明和創(chuàng)造逆向思維作為數(shù)學(xué)中的一種重要的思維方法,它是在習(xí)慣性的思維方向上做完全相反的探索在社會實踐和學(xué)習(xí)的過程

2、中,人們都有這樣一個經(jīng)驗:當(dāng)你對某一問題冥思苦想而不得其解時,不妨從它的反面去想一想,這樣常使人茅塞頓開,獲得意外的成功在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中,也有很多例證說明了:用逆向思維方法從問題的反面出發(fā)來考慮問題不僅是解決問題的有力手段,而且推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展,開辟了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的新天地例如人們認(rèn)識數(shù)、讀數(shù)、寫數(shù)都是從數(shù)的高位開始的,而算術(shù)則是從低位算起,為什么不能從高位算起呢?正是從這一奇特的逆向思維出發(fā),終于創(chuàng)造出一種前所未有的獨特的快速的計算方法畢達哥拉斯學(xué)派自以為整數(shù)與整數(shù)之比已無窮盡世界之?dāng)?shù),但希臘數(shù)學(xué)家海帕修斯關(guān)于無理性的發(fā)現(xiàn),就是反證法對數(shù)學(xué)所建樹的不可磨滅的功勛,使人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識從有理數(shù)域

3、擴大到實數(shù)域再比如,歐幾里得的幾何原本問世后,人們試圖證明歐氏的第五公設(shè),大膽地引進一條與歐氏第五公設(shè)完全相反的命題:過平面上直線外一點至少可以作兩條直線與原直線平行.在此基礎(chǔ)上展開了一系列的推理,終于發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)的新天地非歐幾何.逆向思維的培養(yǎng)也是一個循序漸進的過程.按照思維過程的指向性來劃分,一個人的思維可以分為正向思維和逆向思維兩種形式一般認(rèn)為正向思維是沿著人們的習(xí)慣性思路的思維方式,雖比較有序、高效,但容易受思維定勢的束縛,影響人們的創(chuàng)造性.比如我國古代的司馬光,小時侯在與同伴玩耍時見一同伴掉入大水缸中,常規(guī)辦法是拉人出水,但缸對于孩子來說又高又大,無法實施.在其他孩子一籌莫展的時候,

4、司馬光卻想到了相反的辦法砸缸放水,救出了同伴這就是逆向思維在實際生活當(dāng)中的成功應(yīng)用在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中我們會發(fā)現(xiàn),逆向思維也是可以隨時利用的,許多數(shù)學(xué)結(jié)論或題目,都可以“反過來想一想”,這樣往往有利于理解掌握數(shù)學(xué)知識,甚至還可以發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律正向思維和逆向思維處于矛盾的兩個方面,沒有逆向思維也就沒有正向思維, 沒有正向思維也就沒有逆向思維,它們相輔相成因此,它們應(yīng)該具有同等重要的地位然而,在一般的數(shù)學(xué)教材中,運用逆向思維來處理的內(nèi)容很少,由此導(dǎo)致學(xué)生的逆向思維能力很差他們的思維活動長期處于正向思維活動之中,因此,給出一個數(shù)學(xué)問題后,他們總想力圖通過正向思維來思考去獲得問題的解決但是,有很多數(shù)學(xué)

5、問題利用正向思維很難獲得問題的解決如果改變一下思維方式,采用逆向思維去思考,則可以使問題很快得到解決,甚至可以得出一些創(chuàng)新的解法 由此可見,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,教師應(yīng)注意學(xué)生逆向思維的培養(yǎng),這樣就會使得學(xué)生能夠更加靈活地去解決數(shù)學(xué)問題同時,在大力倡導(dǎo)素質(zhì)教育的今天, 逆向思維能力的培養(yǎng)對于提高學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)高素質(zhì)人才也有著十分重要的意義那么,在數(shù)學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力呢?一、 在概念的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維能力我們知道概念是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦里的反映.由于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)中的一切概念都是現(xiàn)實世界形式或數(shù)量關(guān)系這類本質(zhì)屬性在人們頭腦里的反映.有不

6、少教師在講解概念時,總是直接把內(nèi)容寫在黑板上,然后讓學(xué)生理解去記憶.這種形式有時需要,有時卻很不好,不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).那么,就不妨從“逆向”的角度去認(rèn)識概念,去挖掘一下概念所包含的一切性質(zhì)及隱含條件,這樣能夠加深對概念的理解.如我們學(xué)習(xí)“映射”的概念之后,教師可以引導(dǎo)學(xué)生做這樣的思考:設(shè)：AB是集合A到集合B的映射.那么集合A、B中的元素對應(yīng)情況將如何?通過老師的引導(dǎo),學(xué)生可以得出結(jié)論,即:集合A中的元素不會有剩余了,而且每一個元素在B中都有唯一一個象；集合B中的元素可能有剩余.也就是說B中的元素有的可能沒有原象；對應(yīng)的形式可能是“一對一”,也可能是“多對一”,“一對多”的是不可能的等

7、等.如在我們學(xué)習(xí)完“等比數(shù)列”的概念之后,我們還要反過來想一想,如果一個數(shù)列是等比數(shù)列,據(jù)定義,可知這個等比數(shù)列的首項及其后項都不能是零.再比如,平面幾何中直線與直線垂直的定義：“當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,就說這兩條直線互相垂直.”講清這個定義后,應(yīng)啟發(fā)學(xué)生從不同角度理解這個定義,并考慮這個定義在什么情況想應(yīng)用,怎樣應(yīng)用.使學(xué)生明確它既可以作為直線與直線垂直的判定,也可以作為直線與直線垂直的性質(zhì).這樣,既注意了由此及彼,也注意到了由彼及此,使學(xué)生對概念辨析更清楚,理解得更透徹,使學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問題的習(xí)慣.二、 在公式的教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維能力數(shù)學(xué)中的公式很多,熟練掌握公式

8、并能靈活地應(yīng)用,是解決數(shù)學(xué)問題所必須的,其中靈活地逆用公式是不可缺的.由左向右,余弦變正弦、倍角變單角、升冪等；由由向左,正弦變余弦、單角變倍角、降冪等.只有了解這些特點及功能,運用起來才能得心應(yīng)手.另外,在公式的應(yīng)用中,不但要做一些公式的正用練習(xí),也要作一些公式的逆用練習(xí).舉幾個簡單的例子:化簡 逆用公式不難得到,原式=.求值 逆用兩角和的正切公式=.同時，教師在講授公式時，應(yīng)將公式適當(dāng)變形，公式的逆用范例緊接著原來公式后出現(xiàn)，這樣可以加深學(xué)生的理解，給學(xué)生以完整的印象.如 ，講完這個公式后,適當(dāng)變形得,這樣學(xué)生就能認(rèn)清與和的關(guān)系,就會順利解答下面類型的習(xí)題.已知 ，求下列各式的值 對于一個

9、公式從左至右的使用比較熟練,運用自如.但反過來從右至左的使用或變形使用,往往比較生疏、困難.這是許多學(xué)生都存在的問題,這也從反面說明了培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的重要性.三、 加強反證法的教學(xué)下面舉幾個例子來說明:例1 如何證明正弦函數(shù)的最小正周期是?分析 是正弦函數(shù)的一個周期,要證明是正弦函數(shù)的最小正周期,只需證明任何小于的正數(shù)都不是它的周期.這可用反證法證明如下：設(shè)存在某一個小于的正數(shù)T是正弦函數(shù)的周期,根據(jù)周期函數(shù)的定義,當(dāng)x取定義域內(nèi)某一個值時,都有,取,得,即.另外,根據(jù)余弦函數(shù)的定義,當(dāng)時等式成立,無論k取任何整數(shù),都有,這與矛盾,這個矛盾是由于假設(shè)存在小于的正數(shù)T,能夠成為正弦函數(shù)的周期造

10、成的,所以任何小于的正數(shù)都不是正弦函數(shù)的周期,即正弦函數(shù)的最小正周期是.例2 已知且,求證中至少有一個小于2.分析 結(jié)論若是“都是”,“都不是”, “至少”, “至多”形式的不等式或直接從正面入手難以尋覓解題的突破口的問題,宜考慮用反證法.證明 假設(shè)都不小于2,則.因為所以由不等式的性質(zhì)有,所以,即,這與已知條件矛盾,故假設(shè)不成立.反證法在數(shù)學(xué)中的例子很多,但是提醒每一位學(xué)生應(yīng)該注意的是:反證法是由逆向思維導(dǎo)致的一種有效的證明方法.在學(xué)習(xí)的過程中,一定要加以靈活應(yīng)用.四、 注重反例的逆用反例在數(shù)學(xué)發(fā)展中和證明一樣占著同樣重要的地位,這是因為在數(shù)學(xué)問題的探中,猜想的結(jié)論未必正確,正確的要求給予嚴(yán)

11、格證明,謬誤的則靠反例來否定.重要的反例往往會成為數(shù)學(xué)殿堂的基石,微積分剛建立的時候,數(shù)學(xué)界曾長期錯誤的認(rèn)為:連續(xù)函數(shù)除了個別點處總是處處不可導(dǎo)的.但是,1872年德國數(shù)學(xué)家繼爾斯特拉斯構(gòu)造出了一個“處處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)”.這個反例震驚了數(shù)學(xué)界,促成了影響深遠(yuǎn)的“分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化”的數(shù)學(xué)運動.從上面的例子可以看出, 反例不僅在培養(yǎng)逆向思維的能力中占重要地位,同時在糾正錯誤結(jié)論、澄清概念、開拓數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也起到了非常重要的作用.因此,可以得到這樣一個啟示:證明一個命題為真,固然要經(jīng)過嚴(yán)格而周密的證明,然而要推翻一個命題卻只需舉出一個反例就可達到目的.例 命題“若、為無理數(shù)，則也為無理數(shù)”是否成立？

12、答 不成立,可構(gòu)造反例如下：當(dāng)=，此時=2為有理數(shù).有時候為了搞清楚一個似是而非的數(shù)學(xué)命題,構(gòu)造反例是常用的一種有效的推理方法.例 一組對邊相等,一組對角相等的四邊形是平行四邊形嗎?為什么?解 不一定是平行四邊形,可構(gòu)造反例如下: ABC是等腰三角形,AB=AC,點E在BC上,BEEC,當(dāng)AED=EAC,DE=AC時,ADE ECA.這時,在四邊形ABED中,AB=DE, D=B,而四邊形ABED不是平行四邊形.此外,當(dāng)我們做完一個數(shù)學(xué)題目后,也可想到有時可舉一個數(shù)字簡單的例子再驗證一下思路是否正確,如果出現(xiàn)了矛盾,就表明思路有毛病.五、 在分析和解決問題中培養(yǎng)逆向思維能力我們在分析和解決問題

13、的時候,無論是探索思路還是尋找解題方法,大量的需要用常規(guī)的直接的方法去考慮解決問題,但也常常需要采取一些非常規(guī)的間接的方法去解決問題.反中求正例 設(shè)全集為R,集合,那么集合等于(A ；(B；(C ；(D直接求的集合比較麻煩,可先考慮的集合,即滿足且的x的集合,恰是.即= =,所以答案為(D.有的同學(xué)可能會問,此題中給出的正弦、余弦是不是多余的條件?其實不是.我們知道正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是R(這是題目中的隱含條件,而全集為R,才有=,否則不一定成立.間接思路例 方程的解是( (A2或-1；(B -2或1；(C1；(D2.解 注意到x-1時無對數(shù),立即排除(A、(B,將1代替x計算方程的左邊得,因而選(C.此題在選定(C之后已不必在驗證(D給出的答案是錯的,這是由條件決定的,本題如用直接方法求解需解一個二次方程,要復(fù)雜得多.避重就輕例 已知且,求的最大值.分析 由知,欲求的最大值,可先求的最小值.解 由已知可得,又,所以,故,所以.當(dāng),即時, 最大為,此時.參考文獻：1