2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考幾何探究型問題：線段最值問題——“費(fèi)馬點(diǎn)”問題(包含答案)

1、 幾何探究型問題（針對(duì)第 25 題） 線段最值問題 【問題背景】“費(fèi)馬點(diǎn)”一一就是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn).“費(fèi)馬 點(diǎn)”問題在中考考查時(shí)主要隱藏在求 PAPA PBPB+ PCPC 的最小值問題，通常將某三角 形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，從而將三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上， 利用兩點(diǎn)之間線 段最短解決問題. 【模型分析】對(duì)于一個(gè)各角不超過 120120的三角形，“費(fèi)馬點(diǎn)”是對(duì)各邊的張角 都是120120。的點(diǎn)，對(duì)于有一個(gè)角超過 120120的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂 點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn) P P使它到 ABCABC 三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和 PAPA+ P PB+ PCB+ PC 最小，這就是所謂 的“

2、費(fèi)馬”問題. 如圖，將 APC 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60到厶 AP C，則可以構(gòu)造出等邊三角形 APP，從 而得到 AP= PP，CP= C P，所以將 PA+ PB+ PC 的值轉(zhuǎn)化為 PP - + PB+ P C的值，則線段 BC的長(zhǎng)即為所求的最小值. I f 例題 1.如圖，已知點(diǎn) P 為等邊三角形 ABC 外接圓的劣弧 BC 上任意一點(diǎn)，求 證：PB+ PC= PA 證明：如答圖，在 PA 上截取 PM = PC，連接 CM.2. ABC 是等邊三角形, / ABC=Z ACB = 60 BC = AC. / ABC=Z APC，/ MPC = 60 MPC 是等邊三角形， / MC

3、P = 60 MC = PC，/ ACM = Z BCP. BC = AC, 在厶 BPC 和厶 AMC 中， / BCP = Z ACM , PC = MC , BPCA AMC (SAS), BP= AM , PB + PC= AM + PM = PA. 2 .已知三個(gè)村莊 A, B, C 構(gòu)成了如圖所示的 ABC 其中/ A,/ B,Z C 均小于 120 ),現(xiàn) 選取一點(diǎn) P作為打水井，使水井 P 到三個(gè)村莊 A, B, C 所鋪設(shè)的 輸水管總長(zhǎng)度最小.求輸水管總長(zhǎng)度的最小值. 解：如答圖，以 BC 為邊在 ABC 的外部作等邊三角形 BCD , 連接 AD. 易得/ ABD = 90

4、 AD = .AB2+ BD2= 5(km). 答：輸水管總長(zhǎng)度的最小值為 5 km. 練習(xí) (2019 陜師大附中六模)問題提出 (1)如圖 1 ,在厶 ABC 中，BC= 2,將厶 ABC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 A 4 km AD 的長(zhǎng)就是厶 ABC 的費(fèi)馬距 H BC,貝 U CC = _ . 【解答】 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知/ CBC = 60, BC = BC,則/ BCC 是等邊三角形，故2. 問題探究 如圖 2，在 ABC 中，AB= BC= 3,Z ABC= 30，點(diǎn) P為厶ABC 內(nèi)一點(diǎn)， 連接PA PB, PC,求 PA+ PB+ PC 的最小值，并說明理由. 解題思路

5、 將厶 ABP 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 EBF，連接 PF, EC.易證 PA + PB + PC= EF + PF+ PC;由 PC + PF+ EF EC,推出當(dāng)點(diǎn) P, F 在直線 EC 上時(shí)，PA+ PB + PC 的值最小，即為 EC 的長(zhǎng)，求出 EC 的長(zhǎng)即可解決問題. 【解答】 如答圖 1，將 ABP 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 EBF，連接 PF , EC. 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 PBF 是等邊三角形， PB= PF. / PA = EF , PA + PB + PC= EF + PF + PC . / PC+ PF + EF EC, 當(dāng)點(diǎn) P, F 在直線 EC 上時(shí)

6、，F(xiàn)A+ PB + PC 的值最小， 易得 BC = BE = BA = 3,Z CBE = 90, EC= 2BC= 3 2,A FA + PB+ PC 的最小值為 3 ；2. 問題解決 (3)如圖 3，在四邊形 ABCD 中，AD/ BC, AB= 6, AD= 4,Z ABC=Z BCD= 60 在四邊形 ABCD 內(nèi)部有一點(diǎn) P,滿足/ APD= 120 ，連接 BP, CP,點(diǎn) Q BPC 內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否 存在一點(diǎn) P 和一點(diǎn) Q,使得 PQ+ BQ + CQ 有最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在, 請(qǐng)說明理由. 解題思路 八 將厶 PBQ 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到

7、 EBG 貝 U PQ= EG, BQG 是 等邊三角形，易知 PQ+ BQ+ CQ= EG+ GQ+ QC EC,推出當(dāng) EC 取得最小 值時(shí)，PQ+ BQ+ CQ 的值最小.延長(zhǎng) BA 交 CD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) $作厶 ADS 的外接圓O 0,將 線段 BO, BP繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 BO, BE,連接 E0, OB, 0P 易證 BE0 BPO(SAS)推出 E0= 0P= 甘，故點(diǎn) E 在以點(diǎn) 0為圓心，甘為半徑的圓上，則當(dāng) 3 3 點(diǎn) E 在線段 C0上時(shí)，EC 的值最小，最小值為 C0 E0的長(zhǎng). 【解答】 如答圖 2，將 PBQ 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到 EB

8、G 連接 GQ, EC,貝 U PQ= EG,A BQG 是等邊三角形， BQ= QG,. PQ+ BQ+ CQ= EG+ GQ+ QC EC, 當(dāng) EC 取得最小值時(shí)，PQ+ BQ+ CQ 的值最小. 如答圖 3,延長(zhǎng) BA 交 CD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) S,作厶 ADS 的外接圓O 0,連接 0B 將線段 B0, BP 繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 B0 , BE,連接 E0 , 0P.易證 BE0 也 BP0 (SAS), E0 = P0. / APD + Z ASD = 180, A, P, D, S 四點(diǎn)共圓， 點(diǎn) E 在以點(diǎn) 0 為圓心，為半徑的圓上， 3 當(dāng)點(diǎn) E 在線段 C0 上

9、時(shí)，EC 的值最小，最小值為 C0 E0 的長(zhǎng)， 連接 00 ，延長(zhǎng) 00 到點(diǎn) R,使得 0 R= 00 ，連接 BR,則/ 0BR= 90作 RH 丄 CB 交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H, 0 T 丄 CH 于點(diǎn) T, 0M 丄 BC 于點(diǎn) M. BR= ,30B= 14. 易知在 Rt 0BM 中, BM = 0M 1 仁 3 3 BM2 = RH 易知 BHR0MB , / HR/ O T / OM , 00 = R0,. TM = TH , CO= CT2+ O T2= 26, CE= CO - EO PQ+ BQ + CQ 的最小值為 類型三“阿氏圓”問題 【問題背景】“PA+ k

10、PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)，更是一個(gè)難點(diǎn)當(dāng) k 的值為 1 時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“ PA+ PB”之和最短問題，就可用我們常見的“將軍飲馬”問題 模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理. 當(dāng) k 取任意不為 1 的正數(shù)時(shí)，此類問題的處 理通常以動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡不同來分類，一般分為兩類研究，即點(diǎn) P 在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn) P 在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題. 【模型分析】如圖 1,0 O 的半徑為 r,點(diǎn) A,B 都在O O 夕卜，P 為O O 上一動(dòng)點(diǎn)，已知 r = k -OB, 連接 PA PB,則當(dāng) PA+ k PB 的值最小時(shí)，點(diǎn) P 的位置如何

11、確定？ O T= RH + OM _ 2 = 13. 3 3 ， BT= O B2- O T2 = 3, 如圖 2,在線段 OB 上截取 OC,使 OC= k -r，則可證明 BPO 與厶 PCO 相似，即 k PB= PC.故 求 PA+ kPB 的最小值可以轉(zhuǎn)化為 PA+ PC 的最小值，其中 A, C 為定點(diǎn)，P 為動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P, A, C 共線時(shí)，PA+ PC 的值最小，如圖 3. “阿氏圓”模型解題策略： 第一步：連接動(dòng)點(diǎn)與圓心 0（般將含有 k 的線段兩端點(diǎn)分別與圓心 0 相連），即連接 0B， 0P; 第二步：計(jì)算線段 0P 與 0B 及 0P 與 0A 的線段比，找到線段比為

12、 k 的情況，如例子中 等 k； 第三步: 在 0B 上取點(diǎn) C,使得 0C_ 0P= 0P； 0B； 第四步：連接 AC,與O 0 的交點(diǎn)即為點(diǎn) P 例題 如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB= 90 CB = 4, CA = 6, O C 的半徑為 1 P 為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AP, BP,求 AP + 2BP 的最小值. 解：如答圖，連接 CP,在 CB 上取點(diǎn) D,使 CD = 1, 連接 AD, PD . CD = CC = 2，/ PCD BCD, PD _ BP 2 PD = ?BP,.AP+ 2BP= AP + PD, 1 要使 AP +尹 P 最小，貝 U AP+ PD 最

13、小， 當(dāng)點(diǎn) A, P, D 在同一條直線時(shí)，AP + PD 最小, 1 即 AP+尹 P 的最小值為 AD 的長(zhǎng). 在 Rt ACD 中，T CD = 1 , AC = 6, AD = .AC 2+ CD2= 37, 1 - AP+尹 p 的最小值為，37. 練習(xí) 問題提出 (1)如圖 1，已知線段 AB 和 BC, AB= 2, BC= 5,則線段 AC 的最小值 為_ . 解題思路 當(dāng)點(diǎn) A 在線段 BC 上時(shí)，線段 AC 有最小值. 【解答】 當(dāng)點(diǎn) A 在線段 BC 上時(shí)， 線段 AC 有最小值, 線段AC的最小值為5-2 = 3. 問題探究 如圖 2,已知在扇形 COD 中，/ COD

14、 = 90 DO = CO = 6, A 是 OC 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) OC 到點(diǎn) F，使 CF = OC, P 是 CD 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B 是 OD 上 的一點(diǎn)，BD = 1. 求證： OAP OPF. 解題思路 由題意可得 Op = Op = 2由相似三角形的判定可得 OAP OPF. 【解答】 OA 1 / A 是 OC 的中點(diǎn)，DO = CO = 6= OP,. Op=夕 / CF = OC , OF = 2OC = 20P,型 1 OF 2 罟=Op，且/ AOP = z POF , OAPs OPF. 求 BP+ 2AP 的最小值. 解題思路 由相似三角形的性質(zhì)可得 PF= 2AP,可得

15、 BP+ 2AP= BP+ PF,即當(dāng) F, P, B 三點(diǎn)共線時(shí)，BP + 2AP 有最小值，最小值為 BF 的長(zhǎng)，由勾股定理即可求解. 【解答】 AP OP _ 1 PF = OF = 2 PF = 2AP. / BP+ 2AP= BP + PF, 當(dāng) F , P, B 三點(diǎn)共線時(shí)，BP + 2AP 有最小值，最小值為 BF 的長(zhǎng). / DO = CO= 6, BD = 1,A BO = 5, OF = 12, BF = .OB2+ OF2 = 13. 問題解決 (3)如圖 3，有一個(gè)形狀為四邊形 ABCD 的人工湖，BC= 9 千米，CD- 4 千米，/ BCD- 150, 現(xiàn)計(jì)劃在湖中

16、選取一處建造一座假山 P,且 BP- 3 千米，為方便游 客觀光，從 C, D 分別建小橋 PD, PC.已知建橋 PD 每千米的造價(jià) 是 3 萬元，建橋 PC 每千米的造價(jià)是 1 萬元，建橋 PD 和 PC 的總造 價(jià)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn) P 的位置，并求出總造價(jià) 的最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由. (橋的寬度忽略不計(jì)) 解題思路 以點(diǎn) B 為圓心，3 為半徑作圓交 AB 于點(diǎn) E,交 BC 于點(diǎn) F,點(diǎn) P 為 EF 上一點(diǎn)，連接 BP, PC, PD,在 BC 上截取 BM - 1,連接 MD , PM,過點(diǎn) D 作 DG丄 CB,可證 BPMs BCP, 可得 PC- 3PM

17、，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 MD 上時(shí)，建橋 PD 和 PC 的總造價(jià)有最小值，由勾股定理可 求 MD 的值，即可求出建橋 PD 和 PC 的總造價(jià)的最小值. 【解答】 存在.如答圖，以點(diǎn) B 為圓心，3 為半徑作圓交 AB 于點(diǎn) E,交 BC 于點(diǎn) F ,P 為 EF / OAPs OPF , 上一點(diǎn)，連接 BP, PC, PD，在 BC 上截取 BM = 1,連接 MD , PM，過點(diǎn) D 作 DG 丄 BC 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G. PM =豊=1, PC = 3PM. BP 3 建橋 PD 和 PC 的總造價(jià)為 3PD + PC = 3PD + 3PM = 3（PD + PM）, 當(dāng)點(diǎn) P

18、 在線段 MD 上時(shí)，建橋 PD 和 PC 的總造價(jià)有最小值. / BCD = 150 DCG = 30. DG 丄 BC, 1 DG = 2DC = 2 3（千米）,CG = 3DG = 6（千米）， MG = BC+ CG BM = 9+ 6- 1= 14（千米）， MD = DG2 + MG2= 4 13（千米）, 建橋 PD 和 PC 的總造價(jià)的最小值為 3X4 13= 12 13 萬元. 作業(yè) 5. (2019 交大附中三模) 問題提出 (1) 如圖 1,點(diǎn) M , N 是直線 I外兩點(diǎn)，在直線 I上找一點(diǎn) K，使得 MK + NK 最小. 問題探究 如圖 2,在等邊三角形 ABC

19、內(nèi)有一點(diǎn) P,且 PA= 3, PB= 4, PC = 5，求/ APB 的度 數(shù). 問題解決.BM _ 1 BP = 3 BP BC， 且/ PBM =Z CBP, E BE 是等邊三角形， BE= EE 如圖 3,矩形 ABCD 是某公園的平面圖， AB = 30 3 米，BC = 60 米，現(xiàn)需要在對(duì)角 線 BD 上修一涼亭 E,使得到公園出口 A, B, C 的距離之和最小.問：是否存在這樣的點(diǎn) E ? 若存在，請(qǐng)畫出點(diǎn) E的位置，并求出 EA + EB + EC 的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解：如答圖 1，連接 MN，與直線 I交于點(diǎn) K，點(diǎn) K 即為所求. 如答圖 2,把厶

20、APB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60。得到 AP C,連接 PP . 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得 P A = FA= 3, P C= PB= 4，/ PAP= 60 / AP C=Z APB , APP 是等邊三角形， PP= PA = 3,Z AP P= 60 . PP 2+ P C2= 32+ 42= 25, PC2= 52= 25, . pp 2+ p C2= PC2, PP C 為直角三角形，且/ PP C= 90 /AP C=Z AP P+Z PP C= 60 + 90 = 150 / APB =Z AP C = 150 . 存在如答圖 3，把 ABE 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60。得到 A BE

21、 ，連接 EE 答圖 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得 A B= AB= 30 ,3 米，BE = BE, A E= AE,Z E BE = 60 Z A BA = 60 EA+ EB + EC= A E + EE + EC. 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng) EA+ EB + EC= A C時(shí)最短，連接 A C,與 BD 的交 點(diǎn) E2 即為所求，此時(shí) EA + EB+ EC 最短，最短距離為 A C 的長(zhǎng)度. 過點(diǎn) A 作 A G 丄 CB 交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G. /A BG= 90 / A BA = 90 60 = 30 1 11 A G = 2A B = AB = 2X 30 3= 15 3（米），

22、 GB= 3A G = ,3X 15 3= 45（米）, GC= GB + BC = 45 + 60= 105（米）. 在 Rt A GC 中，A C = A G2+ GC2= 15 _ 3 2+ 1052= 30 13（米）, 因此 EA + EB+ EC 的最小值為 30 13 米. 6問題提出 （1）如圖 1,已知 OAB 中，OB = 3,將厶 OAB 繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得厶 OA B,連 接 BB ，貝 U BB = _3 返_ 問題探究 如圖 2，已知 ABC 是邊長(zhǎng)為 4.3 的等邊三角形，以 BC 為邊向外作等邊三角形 BCD , P ABC 內(nèi)一點(diǎn)，將線段 CP 繞點(diǎn)

23、C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) Q. 求證： DCQ BCP. 求 PA+ PB + PC 的最小值. 問題解決 如圖 3,某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地 ABCD，其中 AB= 500 米，AD = 800 米，頂點(diǎn) A, D 為兩個(gè)出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái) P,在 BC 邊上（含 B, C 兩點(diǎn)）開 一個(gè)貨物入口 M，并修建三條專用車道 FA, PD, PM.若修建每米專用車道的費(fèi)用為 10 000 元，當(dāng) M , P 建在何處時(shí)，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？ （結(jié)果保留根號(hào)） 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得/ BOB= 90 OB= OB = 3, 根據(jù)勾股定理，

24、得 BB= 32. (2) 證明： BDC 是等邊三角形, CD = CB ,Z DCB = 60 . 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得/ PCQ = 60 PC = QC, / DCQ = Z BCP. CD = CB, 在厶 DCQ 和厶 BCP 中，/ DCQ =Z BCP, CQ = CP, DCQ BCP(SAS). 如答圖 1，連接 AD, PQ. / PC= CQ, / PCQ = 60 CPQ 是等邊三角形， PQ= PC, 由知 DQ = PB, PA + PB + PC= PA + QD+ PQ, 由兩點(diǎn)之間線段最短，得 PA+ QD + PQ AD, FA + PB + PC AD ,

25、當(dāng)點(diǎn) A, P, Q, D 在同一條直線上時(shí)，PA + PB + PC 取得最小值，即為 AD 的長(zhǎng), 過點(diǎn) D 作 DE 丄 AC,交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. ABC 是邊長(zhǎng)為 4,3 的等邊三角形， CB= AC = 4 3，/ BCA = 60 CD = CB = 4 3,/ DCE = 60 .DE = 6, / DAE =/ ADC = 30 .AD = 12 ,即 PA+ PB+ PC 的最小值為 12. 答圖 (3) 如答圖 2,將厶 ADP 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得厶 AD P . 由(2)知，當(dāng)點(diǎn) M , P , P , D在同一條直線上時(shí)，PA+ PM + PD 最

26、小，最小值為 D M 的長(zhǎng). / M 在 BC 上，.當(dāng) D M 丄 BC 時(shí)，D M 取得最小值. 設(shè) D M 交 AD 于點(diǎn) E,連接 DD , AM , DM. 易知 ADD 是等邊三角形，. EM = AB= 500 米， .BM = 400 米，PM = EM PE = (500 - 4。 3)米， 3 D E=2AD = 400 , 3(米), D M = (400 , 3 + 500)米， 最少費(fèi)用為 10 000 x (400 3 + 500) = 1 000 000(4 .3+ 5)元. 當(dāng) M 建在 BC 的中點(diǎn)(BM = 400 米)處，點(diǎn) P 在過 M 且垂直于 BC

27、的直線上，且在 M 上方(500 403 衛(wèi))米處時(shí)，修建專用車道的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為 1 000 000(4 3 + 5)元. 類型三“阿氏圓”問題 7. (2018 西工大附中三模) 問題提出 (1) 如圖 1,在厶 ABC 中，AB = AC, BD 是 AC 邊的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出 AB 邊的中 線 CE，并證明 BD = CE; 問題探究 1 (2) 如圖 2,已知點(diǎn) P 是邊長(zhǎng)為 6 的正方形 ABCD 內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，PA= 3，求 PC + qPD 的 最小值； 問題解決 (3) 如圖 3,在矩形 ABCD 中，AB= 18, BC= 25,點(diǎn) M 是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)， MA=

28、 15 , 3 3 當(dāng) MC + 5MD 最小時(shí)，畫出點(diǎn) M 的位置，并求出 MC + -MD 的最小值. A J p , j nL ai I a 1SI 5t: 1 S2 c 解：如答圖 1，線段 EC 即為所求. 證明：/ AB = AC, AE = EB, AD = CD , A AE= AD, AB= AC, 在厶 BAD 和厶 CAE 中， /A =Z A, AD = AE, 答圖 1 BAD CAE (SAS) BD = CE. 3 如答圖 2,在 AD 上截取 AE，使得 AE = 2. / PA1 2= 9, AE AD = -X 6 = 9, 2 1 15 PC+ PD的最小

29、值為2. / RAE = Z DAP , RAEs DAP , PE PA 1 1“ DP = DA = 2，=2PD， PC+ 1pD = PC+ PE. / PC+ PE EC, 1 - PC+ -PD 的最小值即為 EC 的長(zhǎng), 9 在 Rt CDE 中，/ CDE = 90 CD = 6, DE =-, 答圖 如答圖 3,在 AD 上截取 AE，使得 AE= 9. / MA2= 225, AE AD= 9 X 25= 225, PA2= AE AD , PA _ AE AD _ PA. LS2 圖 m / MAE = Z DAM MAE s DAM , MC + 3MD = MC + ME. 5 / MC + ME EC, 3 - MC + 5MD 的最小值即為 EC 的長(zhǎng). 如答圖 3，以點(diǎn) A 為圓心，AM 長(zhǎng)為半徑畫弧，交 EC 于點(diǎn) M ，點(diǎn) M 即為所求. 在 Rt CDE 中，/ CDE = 90 CD = 18，DE = 16， EC= 162+ 182= 2 145， MC+5MD的最小值為 2 145. & (1)如圖 1,已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4, O B 的半徑為 2，P 是O B 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 1 1 求 PD + 2PC 的最小值和 PD 2PC 的最大值； (2) 如圖 2,已知正方形 A