全國大學生數(shù)學建模競賽公共自行車服務系統(tǒng)

1、D 題 公共自行車服務系統(tǒng)公共自行車作為一種低碳、環(huán)保、節(jié)能、健康的出行方式，正在全國許多城市迅速推廣與普及。 在公共自行車服務系統(tǒng)中， 自行車租賃的站點位置及各站點自行車鎖樁和自行車數(shù)量的配置， 對系統(tǒng)的運行效率與用戶的滿意度有重要的影響。附件 1 為浙江省溫州市鹿城區(qū)公共自行車管理中心提供的某20 天借車和還車的原始數(shù)據(jù)，所給站點的地理位置參見附件2（詳細信息可以參考溫州市鹿城區(qū)公共自行車管理中心網(wǎng)站： ） 。請你們在搞清楚公共自行車服務模式和使用規(guī)則的基礎上，根據(jù)附件提供的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型，討論以下問題：1. 分別統(tǒng)計各站點 20 天中每天及累計的借車頻次和還車頻次, 并對所有站點按累

2、計的借車頻次和還車頻次分別給出它們的排序。 另外， 試統(tǒng)計分析每次用 車時長的分布情況。2. 試統(tǒng)計 20 天中各天使用公共自行車的不同借車卡 （即借車人） 數(shù)量， 并 統(tǒng)計數(shù)據(jù)中出現(xiàn)過的每張借車卡累計借車次數(shù)的分布情況。3. 找出所有已給站點合計使用公共自行車次數(shù)最大的一天，并討論以下問題：（ 1）請定義兩站點之間的距離，并找出自行車用車的借還車站點之間（非零） 最短距離與最長距離。 對借還車是同一站點且使用時間在1 分鐘以上的借還車情況進行統(tǒng)計。（ 2）選擇借車頻次最高和還車頻次最高的站點，分別統(tǒng)計分析其借、還車時刻的分布及用車時長的分布。（ 3）找出各站點的借車高峰時段和還車高峰時段，在

3、地圖上標注或列表給出高峰時段各站點的借車頻次和還車頻次， 并對具有共同借車高峰時段和還車高峰時段的站點分別進行歸類。4. 請說明上述統(tǒng)計結果攜帶了哪些有用的信息，由此對目前公共自行車服務系統(tǒng)站點設置和鎖樁數(shù)量的配置做出評價。5. 找出公共自行車服務系統(tǒng)的其他運行規(guī)律，提出改進建議。附件1:公共自行車數(shù)據(jù)（內含20個Excel文件）附件 2： 公共自行車站點分布圖1 問題分析1. 分別統(tǒng)計各站點 20 天中每天及累計的借車頻次和還車頻次, 并對所有站點按累計的借車頻次和還車頻次分別給出它們的排序。 另外， 試統(tǒng)計分析每次用 車時長的分布情況。分析：把問題 1分為3個步驟進行：（ 1） 統(tǒng)計各站點

4、20天中每天及累計的借車頻次和還車頻次；（ 2） 所有站點按累計的借車頻次和還車頻次分別給出它們的排序；（ 3） 統(tǒng)計分析每次用車時長的分布情況。 （直方圖表示）2. 試統(tǒng)計 20 天中各天使用公共自行車的不同借車卡 （即借車人） 數(shù)量， 并 統(tǒng)計數(shù)據(jù)中出現(xiàn)過的每張借車卡累計借車次數(shù)的分布情況。分析：將問題 2 分為 2 個步驟進行：（ 1） 統(tǒng)計 20 天中各天使用公共自行車的不同借車卡（即借車人）數(shù)量；（ 2） 統(tǒng)計數(shù)據(jù)中出現(xiàn)過的每張借車卡累計借車次數(shù)的分布情況 （直方圖表 示）3. 找出所有已給站點合計使用公共自行車次數(shù)最大的一天，并討論以下問題：（ 1） 定義兩站點之間的距離，并找出自

5、行車用車的借還車站點之間（非零） 最短距離與最長距離。 對借還車是同一站點且使用時間在1 分鐘以上的借還車情況進行統(tǒng)計。（ 2） 擇借車頻次最高和還車頻次最高的站點，分別統(tǒng)計分析其借、還車時刻的分布及用車時長的分布。（ 3） 出各站點的借車高峰時段和還車高峰時段，在地圖上標注或列表給出高峰時段各站點的借車頻次和還車頻次， 并對具有共同借車高峰時段和還車高峰時段的站點分別進行歸類。分析：首先通過數(shù)據(jù)分析找出合計使用公共自行車次數(shù)最大的一天。將問題 3 分為 6 個步驟：（ 4） 請定義兩站點之間的距離， 并找出自行車用車的借還車站點之間 （非零）最短距離與最長距離；（ 5） 對借還車是同一站點且

6、使用時間在1 分鐘以上的借還車情況進行統(tǒng)計； （ 28min）（ 6） 選擇借車頻次最高和還車頻次最高的站點， 分別統(tǒng)計分析其借、 還車時刻的分布及用車時長的分布；（ 7） 找出各站點的借車高峰時段和還車高峰時段； 在地圖上標注或列表給出高峰時段各站點的借車頻次和還車頻次； 對具有共同借車高峰時段和還車高峰時段的站點分別進行歸類。4. 請說明上述統(tǒng)計結果攜帶了哪些有用的信息，由此對目前公共自行車服務系統(tǒng)站點設置和鎖樁數(shù)量的配置做出評價。5. 找出公共自行車服務系統(tǒng)的其他運行規(guī)律，提出改進建議。分析：第 4， 5 小問是根據(jù)分析結果提出建議，故不用再進行步驟的詳細劃通過將原問題細分為每個步驟，

7、有利于加強我們對于問題的理解和模型的構 建。2 基本思路通過對于問題的拆解理解，該問題的解決應該主要分為以下幾個模塊：1) 數(shù)據(jù)整理：題目給定的附件的數(shù)據(jù)多達63 多萬份，其中不乏有很多無效數(shù)據(jù)，例如：只有借出時間，沒有歸還時間；借車時間小于 1 分鐘等。需要對數(shù)據(jù)進行預處理，獲得對我們有用的數(shù)據(jù)。2) 數(shù)據(jù)分析： 問題 1， 問題 2， 問題 3 中有較多的數(shù)據(jù)分析步驟。 我們對預處理過后的數(shù)據(jù)針對不同的問題需求進行特定分析獲得結果。3) 針對兩站點之間的距離定義， 我們根據(jù)借還車高峰期不同于普通用車時期。在高峰時期添加了修正因子對模型進行再處理。4) 在問題 3 中， 需要我們針對合計使用

8、公共自行車次數(shù)最大的一天進行特定分析。要求找出各個站點借還車高峰時段，對具有共同借車高峰時段和還車高峰時段的站點分別進行歸類。5) 針對問題 1， 2， 3 的分析結果提出建議。3 模型假設1. 假設每個時間區(qū)間內頻數(shù)最大的即為高峰時期；2. 假設自行車不出現(xiàn)丟失，損壞，不歸還等情況；3. 假設由于通過數(shù)據(jù)無法準確獲知自行車的行車時間，我們假設自行車一直在行駛；4. 假設數(shù)據(jù)沒有出現(xiàn)人為的修改；5. 假設除了沒有歸還時間的系統(tǒng)數(shù)據(jù)的錯誤外，沒有借車卡錯誤的情況存在。6. 假設自行車在使用時沒有發(fā)生故障。4 數(shù)據(jù)預處理處理思路：有關數(shù)據(jù)處理的方法有很多，主要有SPSS Excel , MATLA

9、B!。我們借鑒了城市公共自行車服務系統(tǒng)運行狀況和效率分析中提到的 MATLAB 數(shù)據(jù)導入分析方法，能夠得到有效的結果，但是時耗較大， 63 萬的數(shù)據(jù)量要40分鐘左右才能預處理完畢?；谝陨显?，我們采用了SPSS進行數(shù)據(jù)分析，能夠較為快速有效的得到所需結果。處理工具 ： SPSS( Statistical Product and Service Solutions) ， “統(tǒng)計產品與服務解決方案”軟件，舊M公司推出的一系列用于統(tǒng)計學分析運算、數(shù)據(jù)挖掘、預測分析和決策支持任務的軟件產品及相關服務的總稱，SPSS 的基本功能包括數(shù)據(jù)管理、統(tǒng)計分析、圖表分析、輸出管理等等。SPSSB計分析過程包括

10、描述性統(tǒng)計、均值比較、一般線性模型、相關分析、回歸分析、對數(shù)線性模型、聚類分析、數(shù)據(jù)簡化、生存分析、時間序列分析、多重響應等幾大類，每類中又分好幾個統(tǒng)計過程， 比如回歸分析中又分線性回歸分析、 曲線估計、 Logistic 回 歸、 Probit 回歸、 加權估計、 兩階段最小二乘法、 非線性回歸等多個統(tǒng)計過程，而且每個過程中又允許用戶選擇不同的方法及參數(shù)。SPSS&有專門的繪圖系統(tǒng)，可以根據(jù)數(shù)據(jù)繪制各種圖形。處理方式：先將20天的數(shù)據(jù)依次導入SPSS55C8,將其中跟數(shù)字有關的變量數(shù)據(jù)類型從字符串類型修改為數(shù)值類型， 便于比較計算。 經過處理過后的數(shù)據(jù)一 共有 600291 個(附件

11、 1)預處理條件：(1)用車時間過短(1分鐘以下)，刪除用車時間在0-1分鐘之間的數(shù)據(jù);(2)刪除只有借車時間，沒有還車時間的數(shù)據(jù)5模型建立與求解5.1 問題1把問題1分為3個步驟進行：1 .統(tǒng)計各站點20天中每天及累計的借車頻次和還車頻次；2 .所有站點按累計的借車頻次和還車頻次分別給出它們的排序；3 .統(tǒng)計分析每次用車時長的分布情況。(直方圖表示)4 .1.1每天每站點借還車統(tǒng)計我們將每天預處理過后所得到的數(shù)據(jù)導入 SPSS,通過分別將借出 車站號和還車車站號設置為“頻率統(tǒng)計”變量，得到下圖，并進行排列:懵0 -lel mt eq 看事中 國入 事才q sw »*口 阻啊 王制雷

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13、Excel 的排序功能，我們可以自由地設置降序或者是升序排列。（結果如下圖）累計借車數(shù)導出至Excel未排序（原始數(shù)據(jù)圖）：JA xA>-A c* 祥D Ei.EWF A C*正B/JEt:14 S-N 卜北t-1-jtHW商-廿占三竄0-Fa*V0十Q +r-* *R+-tJc 1T?1A二U +A,產3 - i4L 工 J 45112n zs u IS flkNTJ事Z M 441般 IS IR ZW 閨. wW 泗 但Jjj； 1* PV £1再 產 前I 35 Jl 胃 =雨X泗* W1 IH 切 IT2我電通aJfihUt-HDU,1RlfluRI Jl 4EL ,?

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32、J3Q M3708QB的 1Q70 7羽?通過表格可以得知，低于 20分鐘的自行車使用數(shù)占到了總數(shù)的 76.9%,而 根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)，以及平均數(shù)的分析，其值也落在這個區(qū)間范圍內?？梢苑治?出，該區(qū)域的人們出行選擇自行車的方式大多為短途。這樣既可以提升出行效率，避開交通堵塞，更能夠強身健體，提高生活質量。5.2 問題2將問題2分為2個步驟進行：1 .統(tǒng)計20天中各大使用公共自行車的不同借車卡（即借車人）數(shù)量；2 .統(tǒng)計數(shù)據(jù)中出現(xiàn)過的每張借車卡累計借車次數(shù)的分布情況（直方圖表示）：5.2.1 每天借車卡累計借車數(shù)量將預處理過后的20天數(shù)據(jù)導入SPS中，依次將“第一天，第二天”設 置為“頻率統(tǒng)計”

33、變量，統(tǒng)計每天的不同借車卡出現(xiàn)頻次，導入 Excel。（如圖 所示）。加天的不同的借車人數(shù)呈 Excel厚自動換行 常規(guī)y墨9條件格式登月單: 一表格格式樣式E房合并后居中/ 中 % 嗡然HI 1 I J IK1 J_N第幾天借隼人數(shù)116700217340 39557|414549517893618593718777平均埴15299.35111499412181131319426141938511518581 16.17153241815212191908720199303059875rt勾數(shù)字底通過分析表格數(shù)據(jù)可以得出，20天的平均值大約為15300。第3, 9, 10, 16 天的借車卡

34、數(shù)量與平均值相差較遠， 可能是改天的天氣狀況較差，不宜騎自行車 出行。第19, 20天借車卡數(shù)量較多，特別是第20天為數(shù)量最多的一大，分析為 周末假期出游。向前推算，第13, 14, 6, 7天也為周末，數(shù)據(jù)顯示的結果與推 論結果相符。5.2.2 每張借車卡累計借車次數(shù)分布我們構造一個新的SPS做據(jù)庫,將20天所有借車號導入到同一列中，將借 車號設置為“頻率統(tǒng)計”變量，統(tǒng)計每一個借車號出現(xiàn)的次數(shù)。再導出到Excel 中分析處理。（如下圖）獲得的每個借車卡借車次數(shù):| I；I； =信車卡號喑車數(shù)101101000101601000210162100021022S10002102/121000.3

35、102721000.310285100031030810004103091000/103181000.4103201000410328100041033b1000.4103711000.4103761r o00.4103891 0004曲100Ofi將借車次數(shù)設置為“頻率統(tǒng)計”變量：（統(tǒng)計每個借車次數(shù)的頻次）借車次數(shù)1頻率3M9百分比73有效百分1累計百分比7.3工3|23324747414.7329086.66.621.34267C5.95.927.2525125.65E32.8622546537.8721174.74.742.5818024.24.246.691758工93.950.510

36、16772.72.7S4.21114943.33.3575121426323260.71313152.92,963.61411552.62.666.21511112.52.568.6161023232370.91789£2272.91 Oone日1正拓貼上 SB'K 颯曲1011-2021-3031-4041-5051-60 6D 以上頻次24152.0C11141.005266.002248.00951.00369.00294.00比例例）54.3725.0011.805.062140.83Q66累計比例543779179097960398 1799 0099.66J由統(tǒng)計

37、結果分析，可以看到，大多數(shù)使用次數(shù)趨近于 20次以內，也就是每 天1次。存在小部分使用次數(shù)過多，可能存在使用時長越長，平均時長費用越高 等問題。但這種情況占小部分，屬于可控范圍內。我們將每張借車卡使用次數(shù)作函數(shù)擬合（左端為指數(shù)分布的擬合圖，右端為 正態(tài)分布擬合圖）皂一拉 4 5 & 7 gf:tlf21 3 vvv v vvvvvv自黑£物必攝N'匚將所隹陪回整S3于下怪羞辱C3）；當前運財度二無柜吧T 夠二三!出由度：分布緋V指磁網(wǎng)肅E，林蔓！.手前八咔佛恰苴Hit砂布港黑而 凸勝羲頂山囪縣也汽他瓦點遒的-雌-平均檔期） JS（H二鼻U£聾制踞圳會幫町V2

38、的指鼓P甲圖度測累租概率V2的去招勢V*PP圖,rlrM帕修若借千款的止態(tài)P-P圖唱川霞陽四率o nono-OlDG-0.10-0.1 s411O.DMD.40«班J!相冉膽豐借中敬的去劫的止態(tài)P尸圖通過變量和函數(shù)的擬合程度，以及擬合過后的函數(shù)偏離程度（指數(shù)分布：0.05; 正態(tài)分布：0.3）可以得出指數(shù)分布的置信度為 95%?？梢园l(fā)現(xiàn)所求變量具有較 好的指數(shù)分布特性，隨著使用次數(shù)的增多，出現(xiàn)的概率逐漸降低。我們再次使用點估計中的最大似然估計來進行分析。即?=?嚴? 2? 0; 0, ?0 0設？宿0, i=1, 2, 3L(? ? ?)= ?,? ?P ?-? =?-?(?i+?殳

39、+?3+?),1,2,3/ 對上式取對數(shù)=?(?,?,?.)=?%(?+ ?+ ?+ ? )？?=n?2 ?;(?+ ?+ ?+ ? )? ?/寸?豕導,得?-(?+ ?+ ?+ ?) ?令其為0,行到？= X?=i?一?即？= K=0.06所得到的偏離程度與擬合結果相同。由以上分析總結出所得累計借車次數(shù)是 符合指數(shù)分布的。5.3問題3首先通過數(shù)據(jù)分析找出合計使用公共自行車次數(shù)最大的一天為第20天。將問題3分為6個步驟：1 .請定義兩站點之間的距離，并找出自行車用車的借還車站點之間（非 零）最短距離與最長距離；2 .對借還車是同一站點且使用時間在 1分鐘以上的借還車情況進行統(tǒng) 計；（28min

40、）3 .選擇借車頻次最高和還車頻次最高的站點，分別統(tǒng)計分析其借、還車 時刻的分布及用車時長的分布；4 .找出各站點的借車高峰時段和還車高峰時段； 在地圖上標注或列表給 出高峰時段各站點的借車頻次和還車頻次； 對具有共同借車高峰時段 和還車高峰時段的站點分別進行歸類；5.3.1 定義兩站點之間的距離對于距離的定義，參照別人的處理方法主要有：（1）定義直行車勻速運動（300m/s）,用S=v*t來直接判斷距離（通過 此種方法得出的結果誤差較大）；（2）通過查詢百度地圖等獲取站點的實際方位， 通過等比例縮小的方式 獲得站點坐標（笛卡爾坐標系），再通過歐式距離等方式計算兩者 之間的距離（此方法的前提是

41、獲取每個站點的實際坐標，由于是 7 年前的數(shù)據(jù)，很多站點已經變更，無法準確獲得數(shù)據(jù)）。綜合以上情況，我們通過以下方式計算兩個站點之間的距離：（1）統(tǒng)計每個站點的借還車高峰期；（2）a）借車時間處于高峰期，同時還車時間處于高峰期的類型視為 A類;b）借車時間不處于高峰期，還車時間處于高峰期的類型視為 B類；c)借車時間處于圖峰期，還車時間不處于局峰期的類型視為 C類； d)借還車時間都不處于高峰期的類型視為 D類；(3)將四種類型作如下處理：i. 將速度設為V=1 ;ii.D 類：S= V*TC 類：S= V*T* aB 類：S= V*T* TA 類：S= V*T* Ba, B, 丫分別為路況因

42、子。我們分析，用車時間處于高峰期的自行車，速 度會受到交通狀況的影響，速度也同時會受到影響。同一借還車點，高峰期用車 時間會變長。三種路況因子的獲取我們通過找出分屬這三種情況的數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到。 通過此方法獲得的最長距離和最短距離即為所求結果。5.3.2 借還車是同一站點且使用時間在 1分鐘以上的借還車情況利用SPSS軟件對第20天的數(shù)據(jù)進行處理，將預處理過后的第 20天的數(shù)據(jù) 導入新建的SPSS數(shù)據(jù)庫中。進行數(shù)據(jù)篩選。篩選標準：(1)借出車站號=還車車站號；H 一 HT一三(2)用車時間 1;AiN 扁HW 看個5電 扁 勒rt!=m*w-OStidi 卻WnM 艇武rE/ mW*T”置 4*，

43、 餐M將篩選過后得到結果中的車站號設置為“頻率統(tǒng)計”變量，并求出用車時間 的均值，中位數(shù)，以及眾數(shù)。(結果如下圖)束中as勢平均值u；，三等w1 UI /中日杜衛(wèi)/ ：;年裁5江的-g打難 .區(qū)#in因VH 'J："蛙君絲二：包用車時間族率百分比有效百分1累計百分而2161S.46.431.43451.91.9574301313725351.51.5826462288.8744191.99Z78512222961g602.52.599.61053222.22211421.81.84512652.82.87.71345191.99.8總數(shù)均值生他數(shù)0眾數(shù)口極小值”板大值2356

44、28132222382.統(tǒng)計直方圖由數(shù)據(jù)可以得知，用車時間在同一站點且用車時長在1分鐘以上的用戶，平均時長為28分鐘。數(shù)量最多的為2分鐘的用戶，用車時長最長達到 382分鐘。由直方圖可以看出，用戶用車時長大多聚集在 62分鐘以內。5.3.3 統(tǒng)計借車頻次最高和還車頻次最高的站點的借還車時間段分布通過導出第20天不同站點的借還車頻次，分析得出第42號站點的借車數(shù)最 多，第56號站點的還車數(shù)最多。信車纜進車站考借主數(shù)車站號借車數(shù)車站號借車數(shù)軍站號些軍救軍站W(wǎng)14118681125122lit162142107427750221012324416331794323083148儂23716415242

45、H34444984159125閑1嗎121513845149852S41262771成115611346216B6321271B3167152?11347S0387246129490W201&11348390832401291791691S791045732149506123238990198401301到3M24717017115630511128511879186132121172320122455236292236133228173118139353379934413d26Sm17714292643259411213528817S15945542S95230J362481761S8153015弓731965913720J1772641723957385976813316917S1011824753979833213912117937419577593299915814015610015120236的29510021714121S10117?運車統(tǒng)計車站號伯生數(shù)車站號信左歟主站號但車數(shù)車站號借壬數(shù)車站號佬樂數(shù)18041153ei13512115416192210242735B221112212316216317343231B31