數(shù)學平行四邊形的專項培優(yōu)練習題及詳細答案

1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖1,正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上，點0是對角線AC、BD 的交點，過點。作OE_LMN于點E.（1）如圖1,線段AB與0E之間的數(shù)量關系為.（請直接填結論）（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉0 （0<0<90°）,過點B作 BFJLMN 于點 F.如圖2,當點0、B兩點均在直線MN右側時，試猜想線段AF、BF與0E之間存在怎樣 的數(shù)量關系？請說明理由.如I冬13,當點0、B兩點分別在直線MN兩側時，此時中結論是否依然成立呢？若成 立，請直接寫出結論；若不成立，請寫出變化后的結

2、論并證明.當正方形ABCD繞點A旋轉到如圖4的位置時，線段AF、BF與0E之間的數(shù)量關系 為.（請直接填結論）【答案】（1）AB=20E； （2）AF+BF=20E,證明見解析;AF-BF=20E證明見解析;BF -AF=20E,【解析】試題分析：（1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結論；（2）過點B作BH_L0E于H,可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得 EF=BH, BF=HE,根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得0A=0B, Z AOB=90°,再根 據(jù)同角的余角相等求出NA0E=N0BH,然后利用“角角邊證明 A0E和aOBH全等，根據(jù) 全等三

3、角形對應邊相等可得OH=AE, OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證：過點B作BHJ_OE交0E的延長線于H,可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等 可得EF=BH, BF=HE,根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB, Z AOB=90 再根據(jù)同角的余角相等求出N AOE=Z OBH,然后利用“角角邊”證明 AOE和 OBH全等， 根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OH=AE, OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證： 同的方法可證.試題解析：（1）;AC, BD是正方形的對角線，/. OA=OC=OB, Z BAD=Z ABC=90°,/ OE&

4、#177;AB.1，OE=-AB,2, AB=20E,(2) ©AF+BF=20E證明：如圖2,過點B作BHJ_OE于點H, Z BHE=Z BHO=90°OEJLMN, BF±MNZ BFE=Z OEF=90°四邊形EFBH為矩形/. BF=EH, EF=BH四邊形ABCD為正方形/. OA=OB, Z AOB=90°/. Z AOE+Z HOB=Z OBH+Z HOB=90°Z AOE=Z OBH/. AEO合 OHB( AAS)/. AE=OH, OE=BH/. AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE

5、.AF - BF=2OE證明：如圖3,延長OE,過點B作BHLOE于點HOE±MN> BF±MN/. Z AEO=Z HEF=Z BFE=90°四邊形HBFE為矩形/. BF=HE, EF=BHv四邊形ABCD是正方形/. OA=OB, Z AOB=90°/. Z AOE+Z BOH=Z OBH+Z BOH/. Z AOE=Z OBHa AOE合 OBH (AAS)AE=OH, OE=BH,AF BF=AE+EF - HE=OH - HE+OE=OE+OE=2OEBF - AF=2OE,如圖4,作OGJLBF于G,則四邊形EFGO是矩形, EF=G

6、O, GF=EO, Z GOE=90%Z AOE+Z AOG=90°.在正方形 ABCD 中,OA=OB, Z AOB=90%Z AOG+Z BOG=90°,Z AOE=Z BOG.OGJLBF, OEJLAE,/. Z AEON BGO=90°.a AOE合 BOG (AAS),/. OE=OG, AE=BG.AEEF=AF, EF=OG=OE> AE二BG=AF+EF=OE+AF,BF - AF=BG+GF - (AE - EF) =AE+OE - AE+EF=OE+OE=2OE./. BF - AF=2OE.2.如果兩個三角形的兩條邊對應相等，夾角互補

7、，那么這兩個三角形叫做互補三角形，如 圖2,分別以AABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF,則圖中的兩個三角形 就是互補三角形.(1)用尺規(guī)將圖1中的 ABC分割成兩個互補三角形；（2）證明圖2中的 ABC分割成兩個互補三角形：（3）如圖3,在圖2的基礎上再以BC為邊向外作正方形BCHI.已知三個正方形面積分別是17、13、10,在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個小正方形的 邊長為1）畫出邊長為V17、欠、口11的三角形，并計算圖3中六邊形DEFGHI的而積.若 ABC的而積為2,求以EF、DL HG的長為邊的三角形面積.（圖L）【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析（3）62：6

8、【解析】試題分析：（1）作BC邊上的中線AD即可.（2）根據(jù)互補三角形的定義證明即可.（3）畫出圖形后，利用割補法求而積即可.平移ACHG到AMF,連接EM, IM,則AM=CH=BK只要證明Sa efm=3Sa abc即可.試題解析：（1）如圖1中，作BC邊上的中線AD, ABD和 ADC是互補三角形.（2）如圖2中，延長FA到點H,使得AH二AF,連接EH.02）四邊形ABDE,四邊形ACGF是正方形,AB=AE, AF=AC, Z BAE=Z CAF=90°,Z EAF+Z BAC=180°,AEF和a ABC是兩個互補三角形.Z EAH+Z HAB=Z BAC+Z

9、HAB=90°,/. Z EAH=Z BAC,t AF=AC,/. AH=AB,在 AEH和 ABC中, AE= AB乙 EAR = Z.BACAH = AC：. AEH2 ABC,Sa aef=Sa aeh二Sa abc-(3)邊長沏產人小、«口的三角形如圖4所示.（圖4）: Saabc=3x4 - 2 - 1.5 - 3=5.5,S 木邊形=17+13+10+4x5.5=62.如圖 3 中，平移 CHG 至lj AMF,連接 EM, IM,則 AM=CH=BI,設N ABC=x,（圖3）AM II CH, CHJLBC,J AM_LBC,/. Z EAM=90°

10、;+90° - x=180° - x,/ Z DBI=360° - 90° - 90° - x=180° - x,/. Z EAM=Z DBb / AE=BD, AEM合 & DBI,丁在 DBI 和 ABC 中,DB=AB, BI=BC, Z DBI+Z ABC=180% DBI和 ABC是互補三角形，Sa aem=Sa aef=Sa afm=2 >Sa efm=3Sa abc=6.考點：1、作圖-應用與設計，2、三角形面積3.在平面直角坐標系中，四邊形AO8c是矩形，點O (0, 0),點4 (5, 0),點8 (0

11、.3).以點4為中心，順時針旋轉矩形4O8C,得到矩形4DEF,點O, B. C的對應點分別 為 D, E, F.（1）如圖，當點。落在8c邊上時，求點。的坐標：（2）如圖，當點D落在線段8E上時，AD與BC交于點H.求證 ADB 口 AOB-求點”的坐標.（3）記K為矩形408C對角線的交點，S為aKDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結圖圖17【答案】 D （1, 3） ； （2）詳見解析：H（ , 3） ； （3）30-3后<$<30 + 3后4 4,【解析】【分析】（1）如圖，在心 ACD中求出CD即可解決問題：（2）根據(jù)HL證明即可：，設 AH=BH=m,貝lj HC=B

12、C-BH=5-m,在 RSAHC 中，AH2=HC2+AC2,構建方程求出 m即可解決問題：（3）如圖中，當點D在線段BK上時，ADEK的面積最小，當點D在BA的延長線上 時，ADEK的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題：【詳解】圖丁 A (5, 0) , B (0, 3),/. OA=S, OB=3,四邊形AO8c是矩形，：.AC=OB=3, OA=BC=5, Z OBC=Z C=90°,V矩形ADEF是由矩形4O8C旋轉得到， ：.AD=AO=5,在 Rth ADC 中，CD= AD? - AC2 =4,/. BD=BCCD=1,：.D (1, 3).圖由四邊形AD

13、EF是矩形，得到NADE=90。，.,點D在線段8E上， N AD8=90°,由(1)可知，AD=AO,又 48=48, N 408=90。，/. RfA ADB RtA AOB (HL).如圖中，由 4。的 408,得到N84D=N840,又在矩形AO8c中,OAW BC,：.Z CBA=A OAB, /. Z BAD=A CBA.BH=AH,AH=BH=m,貝lj HC=8C-8H=5-m,在 RS AHC 中，: AH2=HC2AC29m2=32+ (5-n?) 2,17 m=,17BH= 9 5(3)如圖中，當點。在線段8K上時，AOEK的面積最小，最小值=1DEDK=；x3

14、x當點。在84的延長線上時，aOEK的而積最大，最大面積=1xOFxKO=Lx3x22后30 + 3后(+).24綜上所述，30-3后=3。+ 3后44【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、旋轉變換等 知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決 問題.4.如圖1,在 ABC中，AB = AC, AD_LBC于D,分別延長AC至E, BC至F,且CE = EF, 延長FE交AD的延長線于G.(1)求證:AE = EG：(2)如圖2,分別連接BG, BE,若BG = BF,求證：BE = EG：(3)如圖3,取GF的中點M,

15、若AB = 5,求EM的長.2【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的性質和等腰三角形的三線合一的性質得：ZCAD=ZG,可得AE = EG：(2)作輔助線，證明 BEa a GEC (SAS),可得結論：（3）如圖3,作輔助線，構建平行線，證明四邊形DMEN是平行四邊形，得EM = DN =?AC,計算可得結論.2【詳解】證明：（1）如圖1,過E作EHJ_CF于H,圖17 AD_LBC,/. EH II AD, , N CEH = N CAD, N HEF = N G, / CE = EF, . Z CEH = Z HEF,Z CAD=Z G, , AE = EG；（2）如圖2,連接GC,圖2AC

16、=BC, ADJLBC, , BD=CD,AG是BC的垂直平分線, . GC=GB, , Z GBF = Z BCG,BG = BF, . GC=BE, / CE = EF, . Z CEF = 180° - 2Z F,BG = BF,/. ZGBF = 180°-2Z F, Z GBF = Z CEF,Z CEF = Z BCG,Z BCE = Z CEF+Z F, Z BCE=Z BCG+Z GCE,/. Z GCE = Z F,在 BEF和 GCE中，CE = EF/< ZGCE = ZF,CG = BF BEF2 GEC （SAS）,/. BE = EG；（3

17、）如圖3,連接DM,取AC的中點N,連接DN,圖3由（1）得 AE = EG,/. Z GAE = N AGE,在R3ACD中，N為AC的中點，1 , DN=-AC=AN, Z DAN = Z ADN, 2/. Z ADN = Z AGE, , DNII GF,在RtA GDF中，M是FG的中點，1，DM= - FG = GM. Z GDM = Z AGE, 2/. Z GDM = Z DAN,/. DM II AE,/.四邊形DMEN是平行四邊形，1/. EM = DN=-AC,2AC=AB = 5,【點睛】 本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊中線的性 質

18、，等腰三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是作輔助 線，并熟練掌握全等三角形的判定方法，特別是第三間，輔助線的作法是關鍵.5.如圖所示，矩形ABCD中，點E在CB的延長線上，使CE=AC,連接AE,點F是AE的 中點，連接BF、DF,求證：BF±DF.【答案】見解析.【解析】【分析】延長8F,交04的延長線于點M,連接8D,進而求證 AFA色 EFB,得FB=FM,即可求得8c+8E=/W+AM,進而求得8D=8M,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質即 可求證8F_LD£【詳解】延長8F,交。4的延長線于點M,連接8D.四邊形 ABCD 是矩形，. MDW

19、 8C,，Z AMF=A EBF, Z E=N MAF,又 FA=FE,：. AFM EFB, ：. AM=BE, FB=FM.矩形 A8C。中,/. AC=BD9 AD=BC9 ：. BCBE=AD-AM,即 CE=MD. CE二AC, ：. AC=CE= BD =DM., FB;FM, ：. BF±DF.【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和對應邊相等的性質，等腰三角形三線合一的 性質，本題中求證。8=DM是解題的關鍵.6.如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點，F(xiàn)是AB上的一點，EF±EC且EF=EC.(1)求證： AEF合 DCE.(2)若DE=4cm,

20、矩形ABCD的周長為32cm,求AE的長.【答案】（1）證明見解析：（2） 6cm.【解析】分析：（1）根據(jù)EFLCE,求證N AEF=Z ECD.再利用AAS即可求證 AEFW DCE.（2）利用全等三角形的性質，對應邊相等，再根據(jù)矩形ABCD的周長為32cm,即可求得AE的長.詳解：（1）證明：EF_LCE,. Z FEC=90。，/. Z AEF+Z DEC=90°,而N ECD+Z DEC=90°,Z AEF=Z ECD.在 R3 AEF 和 DEC 中，Z FAE=Z EDC=90 Z AEF=Z ECD, EF=EC. AEF合 Q DCE.（2）解：: AEF

21、合 DCE.AE=CD.AD=AE+4.矩形ABCD的周長為32cm, 2 （AE+AE+4） =32.解得，AE=6 （cm）.答：AE的長為6cm.點睛：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質和矩形的性質等知識點的理解和掌 握，難易程度適中，是一道很典型的題目.7.如圖，AB為。0的直徑，點E在00上，過點E的切線與AB的延長線交于點D,連接BE,過點。作BE的平行線，交。0于點F,交切線于點C,連接AC（1）求證：AC是00的切線：（2）連接EF,當ND=。時，四邊形F0BE是菱形.【答案】（1）見解析：（2） 30.【解析】【分析】（1）由等角的轉換證明出AOCA會49CE,根據(jù)圓的

22、位置關系證得AC是。的切線.（2）根據(jù)四邊形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF,得證AO3E為等邊三角形，而得出 N3OE = 60。，根據(jù)三角形內角和即可求出答案.【詳解】（1）證明：:CD與。相切于點E,OE1CD,：.ZCEO = 90°,又OCBE,ZCOE = ZOEB，z obe=z coaOE=OB, . ZOEB = ZOBE, . ZCOE = ZCOA，X'." OC=OC, OA=OE, AOCAOCECSAS）.ZC4O = ZCEO = 90°,又；AB為OO的直徑，AC為00的切線：（2）解：四邊形FOBE是菱形，/.

23、OF=OB=BF=EF,OE=OB=BE,/.為等邊三角形，ZBOE = 60°,而。七_LCD，ND = 30。.故答案為30.【點睛】本題主要考查與圓有關的位置關系和圓中的計算問題，熟練掌握圓的性質是本題的解題關 鍵.8.如圖，點E是正方形48CD的邊A8上一點，連結CE,過頂點C作CF_LCE,交4）延長【答案】證明見解析.【解析】分析：根據(jù)正方形的性質，證出BC=CD, Z B=Z CDF, Z BCD=90°,再由垂直的性質得到Z BCE=Z DCF,然后根據(jù)"ASA”證明 BCE合 BCE即可得到BE=DF詳解：證明：.,CF_LCE,/. Z ECF

24、=90",又；Z BCG=90%Z BCE+Z ECD =Z DCF+Z ECD . Z BCE=Z DCF,在 BCE與 DCF中， / Z BCE=Z DCF, BC=CD, Z CDF=Z EBC, . BCE合 BCE （ASA）, . BE=DF.點暗：本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解答 此題的關鍵.9.如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD,點P為正方形AD邊上的一點（不與點 A、點D重合），將正方形紙片折卷，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,（2）當點P在邊AD上移動時，求證：4PDH的周長是定值：（3）當BE+CF

25、的長取最小值時，求AP的長.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.（3） 2.【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質得出N PBC=Z BPH,進而利用平行線的性質得出Z APB=Z PBC即可得出答案：（2）首先證明aAB匿a QBP,進而得出4 BCH2 BQH.即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）過F作FMJ_AB,垂足為M,貝lj FM二BC二AB,證明 EFM合4 BPA,設AP=x,利用折 疊的性質和勾股定理的知識用X表示出BE和CF,結合二次函數(shù)的性質求出最值.試題解析：（1）解：如圖1, PE=BE, , Z EBP=Z EPB.文

26、:Z EPH=Z EBC=90S , Z EPH-Z EPB=Z EBC-Z EBP.即N PBC=Z BPH.又二 AD II BC,/. Z APB=Z PBC. , Z APB=Z BPH.(2)證明：如圖2,過B作BQ_LPH,垂足為Q.由(1)知N APB=Z BPH,又; Z A=Z BQP=90% BP二BP,在 ABP和 QBP中，N/PB =乙BPHzlA = zlBQP = c)OqBP = BP：. ABP合 QBP (AAS),：.AP=QP, AB=BQ,又；AB=BC, , BC=BQ.又N C=N BQH=90°, BH=BH,在aBCH和aBQH中，BC=BQ ZC=Z/?QH = 9O° BH = BH . a BCH合 BQH (SAS), CH=QH.:, & PHD 的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. PDH的周長是定值.(3)解：如圖3,過F作FM_LAB,垂足為M,則FM=BC=AB.EF±BP./. Z EFM+Z MEF=Z ABP+Z BEF=90°, Z EFM=Z ABP.又 Z A=Z EMF=90",在a EFM BPA 中，乙