帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)(全)

1、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)vvvvvvvvvvvvvv例題例題1、如圖所示，一束電子、如圖所示，一束電子(電量為電量為e)以速度以速度v垂直垂直射入磁感強(qiáng)度為射入磁感強(qiáng)度為B，寬度為寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿透磁的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿透磁場(chǎng)時(shí)速度方向與電子原來入射方向的夾角是場(chǎng)時(shí)速度方向與電子原來入射方向的夾角是30 ，則，則電子的質(zhì)量是電子的質(zhì)量是_，穿過磁場(chǎng)的時(shí)間是，穿過磁場(chǎng)的時(shí)間是_。若電子能穿過磁場(chǎng)，則最小速度應(yīng)是多大？穿過時(shí)若電子能穿過磁場(chǎng)，則最小速度應(yīng)是多大？穿過時(shí)間是多少？間是多少？由幾何關(guān)系找圓運(yùn)動(dòng)半徑由幾何關(guān)系找圓運(yùn)動(dòng)半徑根據(jù)物理規(guī)律確定半徑與根據(jù)物理規(guī)

2、律確定半徑與其他量的關(guān)系。其他量的關(guān)系。v例題例題2 2、長(zhǎng)為長(zhǎng)為l l的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示，磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示，磁感強(qiáng)度為B B，板間距板間距離也為離也為l l，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m m，電量為電量為q q的的帶正電粒子帶正電粒子( (不計(jì)重力不計(jì)重力) )，從左邊極板間中點(diǎn)處，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度垂直磁感線以速度v v平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是什么？在極板上，可采用的辦法是什么？例例3 3、如圖直線、如圖直線MNMN上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為上方有磁

3、感應(yīng)強(qiáng)度為B B的勻的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)強(qiáng)磁場(chǎng)。正、負(fù)電子同時(shí)從同一點(diǎn)O O以與以與MNMN成成3030 角的同樣速度角的同樣速度v v射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為射入磁場(chǎng)（電子質(zhì)量為m m，電荷為電荷為e e），），它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？它們從磁場(chǎng)中射出時(shí)相距多遠(yuǎn)？射出的時(shí)間差是多少？射出的時(shí)間差是多少？MNBOv2mvsBe 43mtBq 例例4 4、 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m m、電荷量為電荷量為q q的帶電粒子從的帶電粒子從x x軸上的軸上的P P( (a a，0)0)點(diǎn)以速度點(diǎn)以速度v v，沿與沿與x x正方向成正方向成6060 的方向射入第一的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)

4、中，并恰好垂直于象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并恰好垂直于y y軸射出第一象限。軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。 yxOBvavO23, 23amvmvrBBqaq得得射出點(diǎn)的坐標(biāo)射出點(diǎn)的坐標(biāo)(0, )3a例例5 5、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為m m，帶電量為帶電量為q q的粒子以速度的粒子以速度v v0 0從從O O點(diǎn)沿點(diǎn)沿y y軸的正方向射入磁感強(qiáng)度為軸的正方向射入磁感強(qiáng)度為B B的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從（磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從（b b，0 0）處穿過處穿過x x軸

5、，速度方向與軸，速度方向與x x軸正向夾角為軸正向夾角為3030 ，如圖，如圖所示，粒子的重力不計(jì)，試求：所示，粒子的重力不計(jì)，試求：（1 1）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。（2 2）粒子從）粒子從O O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域到達(dá)b b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間。例例6 6、一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m m，電量為電量為q q，以平行于以平行于x x軸的速軸的速度度v v從從y y軸上的軸上的a a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域，為了使該點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域，為了使該質(zhì)點(diǎn)能從質(zhì)點(diǎn)能從x x軸上的軸上的b b點(diǎn)以垂直于點(diǎn)以垂直于x x軸的速度軸的

6、速度v v射出，可在適當(dāng)射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于的地方加一個(gè)垂直于xyxy平面、磁感強(qiáng)度為平面、磁感強(qiáng)度為B B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)最小半徑。重力忽略不計(jì)qBmvRRvmqBv,:2解解qBmvRMNr222221例例7 7、如圖、如圖, ,在一水平放置的平板在一水平放置的平板MNMN上方有勻上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)強(qiáng)磁場(chǎng), ,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,B,磁場(chǎng)方向垂磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里直于紙面向里, ,許多質(zhì)量為許多質(zhì)量為m,m,帶電量為帶電量為+

7、+q q的的粒子粒子, ,以相同的速率以相同的速率v v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向向, ,由小孔由小孔O O射入磁場(chǎng)區(qū)域射入磁場(chǎng)區(qū)域, ,不計(jì)重力不計(jì)重力, ,不計(jì)粒不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域, ,其中其中R=R=mvmv/ /qBqB。哪個(gè)哪個(gè)圖是正確的圖是正確的? ( )? ( )2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.AMNBO2RR2RMNO解解: :帶電量為帶電量為+ +q q的粒子，以相同的速率的粒子，以相同的速率v v沿位于紙面

8、內(nèi)沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔的各個(gè)方向，由小孔O O射入磁場(chǎng)區(qū)域，由射入磁場(chǎng)區(qū)域，由R=R=mvmv/ /qBqB, ,各各個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均相同個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑均相同, , 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心是在以在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以為圓心、以R=mv/qB為半徑的為半徑的1/2圓弧上，如圖虛線示圓弧上，如圖虛線示: 各粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖實(shí)線示各粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖實(shí)線示: 帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示例例8 8、核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下、核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下

9、高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖所示，環(huán)狀勻通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為場(chǎng)的內(nèi)半徑為R R1 1=0.5m=0.5m，外半徑外半徑R R2 2=1.0m=1.0m，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B B=1.0T=1.0T，若被束縛

10、帶電粒子的荷質(zhì)比為若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/mq/m=4=4C/C/，中空區(qū)中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算（1 1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。速度。（2 2）所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。解析：（解析：（1 1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切場(chǎng)，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切, ,軌跡如圖所示。軌跡如圖所示。由圖中知，由圖中知， 解得解

11、得由得由得得得 r12122121)(rRRrmr375. 011211rVmBqV smmBqrV/105 . 1711所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為大速度為smV/105 . 171OO2（2 2）當(dāng)粒子以）當(dāng)粒子以V V2 2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場(chǎng)且軌道與外圓相切時(shí)，則以入磁場(chǎng)且軌道與外圓相切時(shí)，則以V V2 2速度沿速度沿各方向射入磁場(chǎng)區(qū)的粒子都不能穿出磁場(chǎng)邊各方向射入磁場(chǎng)區(qū)的粒子都不能穿出磁場(chǎng)邊界，如圖所示。界，如圖所示。由圖中知由圖中知由由 得得所以所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最

12、大速度所以所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度帶電粒子在有帶電粒子在有“圓孔圓孔”的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)mRRr25. 021222222rVmBqV smmBqrV/100 . 1722smV/100 . 172例例9 9、在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy中，有一個(gè)中，有一個(gè)圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁場(chǎng)方向垂直圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出），磁場(chǎng)方向垂直于于xoy平面，平面，O點(diǎn)為該圓形區(qū)域邊界上的一點(diǎn)?，F(xiàn)有一點(diǎn)為該圓形區(qū)域邊界上的一點(diǎn)。現(xiàn)有一質(zhì)量為質(zhì)量為m，帶電量為帶電量為+q的帶電粒子（重力不計(jì)）從的帶電粒子（重力不計(jì)）從O點(diǎn)為以初速度點(diǎn)為以初速度vo沿

13、沿+x方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子經(jīng)過方向進(jìn)入磁場(chǎng)，已知粒子經(jīng)過y軸上軸上P點(diǎn)時(shí)速度方向與點(diǎn)時(shí)速度方向與+y方向夾角為方向夾角為30，OP=L 求：求：磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向 該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。面積。OyxPv0v0L分析分析: : OP的垂直平分線與的垂直平分線與v v0 0的反向延的反向延長(zhǎng)線交于長(zhǎng)線交于Q, Q, 作作OQOQ的垂直平分線與的垂直平分線與OP相相交于交于O, O即帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓即帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心。帶電粒子在磁場(chǎng)中所做的是心。帶電粒子在磁場(chǎng)中所做的是1/31/3圓圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。OyxPv0v

14、0OQOyxPv0v0解：解：（1）由左手定則得磁場(chǎng)方向垂直）由左手定則得磁場(chǎng)方向垂直xoy平面向里平面向里,粒子粒子在磁場(chǎng)中所做的是在磁場(chǎng)中所做的是1/3圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，粒子在粒子在Q點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，設(shè)其圓心為點(diǎn)飛出磁場(chǎng)，設(shè)其圓心為O，半徑為半徑為R，Q OL120(L-R)sin30=R R=L/3得由RMvBqv200qBmvR0 得得qLmvB03（2）由圖得）由圖得LROQ33322122LQOS例例10 、如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為、如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為電量為e的電的電子從子從y軸上的軸上的P（0，a）點(diǎn)以初速度點(diǎn)以初速度v0平行于平

15、行于x軸射出，軸射出，為了使電子能夠經(jīng)過為了使電子能夠經(jīng)過x軸上的軸上的Q（b，0）點(diǎn)，可在點(diǎn)，可在y軸右側(cè)加一垂直于軸右側(cè)加一垂直于xOy平面向里、寬度為平面向里、寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，該磁場(chǎng)左、右邊界與該磁場(chǎng)左、右邊界與y軸軸平行平行,上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）。已知，上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）。已知， Lb。試求磁場(chǎng)的左邊界距坐標(biāo)原試求磁場(chǎng)的左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的可能距離。點(diǎn)的可能距離。（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）002mvmvaeBeBxy0Qv0P解：解：xy0Qv0P圖圖1設(shè)電子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為設(shè)電子在

16、磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r, 則則200veBvmr0mvreB解得解得 當(dāng)當(dāng)rL時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)域及電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)域及電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，所示，由幾何關(guān)系有由幾何關(guān)系有 0sinLeBLrmv則磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為則磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1(1 cos ) cotxbLar 01(1 cos ) cotmvxbLaeB0arcsineBLmv（其中（其中 ） 當(dāng)當(dāng)rL時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)域及電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)域及電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，所示，xy0Qv0P圖圖2由幾何關(guān)系得磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為由幾何關(guān)系得磁場(chǎng)左邊界距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為222()xbrar解得解

17、得 2022mv axbaeB例例11、設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強(qiáng)電設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小方向是相同的，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=4.0V/mE=4.0V/m，磁磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.15TB=0.15T。今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以點(diǎn)以v=20m/sv=20m/s的速度在的區(qū)域內(nèi)沿垂直場(chǎng)強(qiáng)方向的速度在的區(qū)域內(nèi)沿垂直場(chǎng)強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比之比q/mq/m以及磁場(chǎng)的所有可能方向（角度可用反以及磁場(chǎng)的所有可能方向（角度可用反三角函數(shù)表示）。三角函數(shù)表示）。 分析：分析：帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)在同時(shí)具有勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)和重力場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，表明帶電質(zhì)點(diǎn)受重力mg、電場(chǎng)力qE和洛侖茲力qvB的作用處于平衡狀態(tài)。因重力方向豎直向下，3個(gè)力合力為零，要求這3個(gè)力同在一豎直平面內(nèi)，且電場(chǎng)力和洛侖茲力的合力方向應(yīng)豎直向上。 由此推