偏微分方程期末考試試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 黑龍江科技學(xué)院考試試題 第一套課程名稱：偏微分方程數(shù)值解法 課程編號(hào)： 適用專業(yè)（班級(jí)）：數(shù)學(xué) 共1頁(yè)命題人：潘曉麗 教研室主任： 第1頁(yè) 一、（15分）寫(xiě)出三類典型泛定方程并分別說(shuō)明其名稱和特點(diǎn).二、（10分）求一維波動(dòng)方程的通解.三、（15分）寫(xiě)出達(dá)朗貝爾公式并利用公式求解 四、（10分）計(jì)算積分.五、（15分）設(shè)，證明 六、（15分）用分離變量法求解七、（10分）解固有值問(wèn)題八、（10分）敘述斯圖模-劉維爾定理.黑龍江科技學(xué)院考試試題答案 第一套課程名稱：偏微分方程數(shù)值解法 課程編號(hào)： 適用專業(yè)（班級(jí)）：數(shù)學(xué) 共1頁(yè)命題人：潘曉麗 教研室主任： 第1頁(yè) 一、解

2、：波動(dòng)方程： 熱傳導(dǎo)方程： 位勢(shì)方程： .5分 其中，為常數(shù)，及為已知函數(shù)，在波動(dòng)方程及熱傳導(dǎo)方程中，未知函數(shù)是時(shí)間變量和空間坐標(biāo)變量的函數(shù)，在位勢(shì)方程中，未知函數(shù)是空間坐標(biāo)變量的函數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)，三類典型方程均為二階線性偏微分方程。.15分二、解：首先判別方程的類型， 2分即此方程在整個(gè)全平面上都是雙曲型的。特征方程為：特征曲線為 6分做變量替換，令，由鏈?zhǔn)椒▌t得 通解 .10分三、解： .5分 .10分 .15分四、解：由分部積分法及微分關(guān)系，有 .5分 .8分.10分五、證明： .5分 .10分 .15分移項(xiàng)有 六、解： 設(shè)分離變量代入方程組得.3分解固有值問(wèn)題得 ； .6分將代入得.

3、9分所以疊加得原解代入初值條件得系數(shù) .13分所以得原問(wèn)題的解 .2分七、解：題中方程是斯-劉方程，其中，又題中兩端邊界條件都是第二類，故，而且有零固有值，相應(yīng)固有函數(shù)為。當(dāng)時(shí)，設(shè)，方程的通解為.3分將此式代入邊界條件，并消去公因子，得 （1）為使A,B不全為0，必須系數(shù)行列式故.7分把代入（1）有這個(gè)方程的一個(gè)非零解是 與相應(yīng)固有函數(shù)為.10分八、Sturm-Liouville定理：若滿足：在上連續(xù)；當(dāng)時(shí)，而至多是的一級(jí)零點(diǎn)；在上連續(xù)，而在端點(diǎn)至多有一級(jí)極點(diǎn)。則S-L固有值問(wèn)題.2分的固有值和固有函數(shù)有下列重要性質(zhì)：1、 可數(shù)性：存在可數(shù)無(wú)窮多個(gè)固有值，。與每一個(gè)固有值相應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的固有函數(shù)有且只有一個(gè)。.4分2、 非負(fù)性：，有零固有值的充要條件是：，且兩端都不取第一、三類邊界條件，這時(shí)相應(yīng)的固有函數(shù)為常數(shù)。6分3、 正交性：設(shè)是任意兩個(gè)不