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1、2015年專業(yè)碩士生矩陣論試卷學(xué)號(hào) 專業(yè)姓名一、填空題(除了第5小題外每小題4分，共27分)1、設(shè)V是由n階實(shí)對(duì)稱矩陣按通常的矩陣加法與數(shù)乘構(gòu)成的線性空間，則dimV=,并且V有基°2、設(shè)線性空間Vn上的線性變換在基甬金，©下的矩陣為 A,在另一組基ei©, ,en下的矩陣為 B,由基0包 ©到基色©, ©的過(guò)渡矩陣是 C,則B= (用A,C表示)。 kc0.3 0.43、k 0 0.5 0.6 o4、已知A()的行列式因子Di( )1 , D2( ) ( 1)2( 2)2 ,D3( ) ( 1)3( 2)4( 1)5，則A()的初等

2、因子為 o3 115、已知 A 1 q，X 2，則 II Al m2 ， IIAIm =， 1 32IA1 , cond(A)2=, | AXL , I AX 。一， 3 4-6、已知 A,貝U (A) =o1 2二、判斷題(10分)1、同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相合關(guān)系。()2、A是收斂矩陣的充要條件是其譜范數(shù)小于 1。()3、n階矩陣A與B相似的充要條件是它們的不變因子相同。()4、 A 的算子范數(shù)是其所有范數(shù)中最小的。 ()5、 正交變換的必要條件是保持兩個(gè)向量的夾角不變。 ()三、 (8 分)設(shè) A 是 P x 2中的線性變換， 已知 e11 2x2 ，e2 3 x ， e3 x

3、x2 ，且A(e1)5 3x2, A(%)5 x 9x2, A(e3)x 6x2 (1)證明 e,62,Q是Px2的一組基；(2)求向量1 2x 3x2在基61©£3下的坐標(biāo)。四、(9 分)在 Px2中，設(shè) f(x) ki k2x k3x2,線性變換 A 為 A(f(x) k2 ks + (ki k3)x (ki k2)x2o (1)試寫出A在基1, x , x2下的矩陣；(2)求Px2中的 一組基，使A 在該組基下的矩陣為對(duì)角矩陣。71五、 (10 分) 定義 P x 2中的內(nèi)積為： (f(x), g(x) f(x)g(x)dx ， ( 1)求基1,x,x的度量矩陣； ( 2)求Px2 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。六、 （ 8 分） 用初等反射變換將向量（3,4,0,0） 變換為與（3,0,0,0） 同方向的向量（寫出

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