1.3.2 函數(shù)的極值與導數(shù)1

1、函數(shù)的極值與導數(shù)函數(shù)的極值與導數(shù)已知函數(shù)已知函數(shù) f( (x)=2)=2x3 3-6-6x2 2+7+7 (1) (1)求求f( (x) )的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間, ,并畫出其圖象并畫出其圖象; ;【復習與思考復習與思考】 (2) (2)函數(shù)函數(shù)f( (x) )在在x=0=0和和x=2=2處的函數(shù)值處的函數(shù)值與這兩點附近的函數(shù)值有什么關系與這兩點附近的函數(shù)值有什么關系? ?xyo72-12（，0 0），（2 2，）；（ ，） f(x)= 6x(x - 2)f(x) 0 -+f(x) 0 0解析解析:（1）由由 得增區(qū)間：得增區(qū)間：由由 得減區(qū)間：得減區(qū)間：（2）函數(shù)函數(shù)f (x)在在x=0處的函

2、數(shù)值比其附近的函處的函數(shù)值比其附近的函數(shù)值都大，而在數(shù)值都大，而在x=2處的函數(shù)值比其附近的函處的函數(shù)值比其附近的函數(shù)值都小數(shù)值都小. 設函數(shù)設函數(shù)y= =f( (x) )在在x= =x0 0及其附近有定義，及其附近有定義，(1)(1)如果在如果在x= =x0 0處的函數(shù)值比它附近所有各點的處的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，即函數(shù)值都大，即f(x)f(x0),則稱則稱 f( (x0 0) )是函數(shù)是函數(shù)y= =f( (x) )的一個的一個極小值極小值. .記作記作: :y極小值極小值=f(x0)極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值, ,x0 0叫做函數(shù)的叫做函數(shù)的極值點極值點

3、. .yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf 觀察上述圖象觀察上述圖象,試指出該函數(shù)的極值點與極值試指出該函數(shù)的極值點與極值,并說出哪些是極大值點并說出哪些是極大值點,哪些是極小值點哪些是極小值點. (1) (1)極值是一個極值是一個局部概念局部概念, ,反映了函數(shù)在某一點反映了函數(shù)在某一點 附近的大小情況附近的大小情況; ;(2)(2)極值點極值點是是自變量的值自變量的值，極值極值指的是指的是函數(shù)值函數(shù)值; ; (3) (3)函數(shù)的極大函數(shù)的極大( (小小) )值可能不止一個值可能不止一個, ,而且而且函數(shù)函數(shù)的極大值未必大于極小值的極大值未必大于極小值; ;【關

4、于極值概念的幾點說明關于極值概念的幾點說明】 (4) 函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的函數(shù)的極值點一定在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而函數(shù)的最值既可能在端點不能成為極值點。而函數(shù)的最值既可能在區(qū)間的內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間的端點取得區(qū)間的內(nèi)部取得，也可能在區(qū)間的端點取得?！締栴}探究問題探究】 函數(shù)函數(shù)y= =f( (x) )在極值點的導數(shù)值為多少在極值點的導數(shù)值為多少? ?在極值點附近的導數(shù)符號有什么規(guī)律在極值點附近的導數(shù)符號有什么規(guī)律? ?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf (1) (1)如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x0 0附近的左側(cè)

5、附近的左側(cè) f /(x0)0 右側(cè)右側(cè)f /(x0)0, 那么那么f(x0)是極大值是極大值【函數(shù)的極值與導數(shù)的關系函數(shù)的極值與導數(shù)的關系】 (2) (2)如果如果f /(x0)=0, 并且并且在在x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f /(x0)0, 那么那么f(x0)是極小值是極小值 （1） 求導數(shù)求導數(shù) ； （2） 解方程解方程 =0 （3） 通過列表檢查通過列表檢查 在方程在方程 =0的根的左右兩側(cè)的符號，進而確定函的根的左右兩側(cè)的符號，進而確定函數(shù)的極值點與極值數(shù)的極值點與極值.【求函數(shù)極值的步驟求函數(shù)極值的步驟】( )fx( )f x( )fx( )fx例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值

6、. 44313 xxy44313 xxy解解:因為因為所以函數(shù)的極大值為所以函數(shù)的極大值為 ,極小值為極小值為3144,3yxx224.40yxxx令，=2.428,;,.33xyxy=2 =-=-2 =428.33-例題例題例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.1)1(32 xy解解:函數(shù)的極小值為函數(shù)的極小值為0,極大值為極大值為1.232222(1)1,3(1)26 (1)00,1.0,1.yxyxxx xxxy 或【思考交流思考交流】導數(shù)值為導數(shù)值為0 0的點一定是函數(shù)的極值點嗎的點一定是函數(shù)的極值點嗎? ? 對于可導函數(shù)而言對于可導函數(shù)而言, ,其極值點一定是其極值點一定是導數(shù)為導數(shù)為0 0的點的點, ,反之導數(shù)為反之導數(shù)為0 0的點不一定的點