轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題的一把金鑰匙.

1、“五四杯 ”論文 B 類轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題的一把金鑰匙建湖縣顏單中學(xué)陳國華關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)化思想、解決問題、培養(yǎng)能力論點摘要： 一、未知轉(zhuǎn)化為已知二、一般轉(zhuǎn)化為特殊三、特殊轉(zhuǎn)化為一般四、數(shù)轉(zhuǎn)化為形五、形轉(zhuǎn)化為數(shù)六、分散轉(zhuǎn)化為集中七、局部轉(zhuǎn)化為整體八、運(yùn)動轉(zhuǎn)化為靜止九、靜止轉(zhuǎn)化為運(yùn)動十、空間轉(zhuǎn)化為平面數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)使學(xué)生“形成解決問題的一些策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神”。因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容， 滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想， 有意識地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會用“轉(zhuǎn)化”思想解決數(shù)學(xué)問題。 即在解題過程中根據(jù)解題的目標(biāo)， 不斷探索和調(diào)整解題方向，從不同的角度、

2、不同的側(cè)面將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以達(dá)到解決問題的目的。掌握轉(zhuǎn)化思想有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決實際問題的能力，有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。下面舉例說明常見的轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。一、未知轉(zhuǎn)化為已知數(shù)學(xué)問題中的條件有的比較復(fù)雜。需要通過挖掘其隱含的因素把未知條件變?yōu)橐阎獥l件從而使問題得到解決。例 1：如圖 (1) ，已知在ABC 中 BD AC,CE AB ，M 為BC 的中點， N 為 ED 的中點。求證： MN ED 。分析：要證 MN ED ，很難找到直接方法。A但如果把要證的結(jié)論“ MN ED ”看成已知，EN并聯(lián)系“N 為 ED 的中點”，就不難

3、想到等腰三角形的性質(zhì)，從而想到連結(jié)BEM 、DM ，M先證 EM=DM 。再由等腰三角形的三線合一可得 MN ED 。DC1二、一般轉(zhuǎn)化為特殊哲學(xué)原理告訴我們，一般性和特殊性可以互相轉(zhuǎn)化，一般性寓于特殊性之中，我們可以從問題的特殊性入手，在一般情況下難以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律， 在特殊條件下比較容易暴露 .如構(gòu)建特殊點、線、角、等，去探索研究問題的一般性。例 2：在矩形 ABCD 中，已知兩鄰邊 AD=12 ， AB=5 ， P 是 AD 邊上的任意一點， PE BD ， PF AC ， E、 F 分別是垂足，求 PE+PF 的值。分析：如圖 (2) ，由于 P 是 AD 上任一點，故直接求 PE+PF

4、較困難。我們可以作特殊化APFO處理 ,讓點 P 與點 A 重合，這時 PF=0 ，PE 就E是圖中 AM ，問題就轉(zhuǎn)化為求 AM 的長了 ,即有BMPE+PF=AM 。三、特殊轉(zhuǎn)化為一般當(dāng)我們遇到某些特殊問題感到很難解決時，也可適當(dāng)放寬條件或改變一些條件的限制，把問題轉(zhuǎn)化為一般的問題加以研究，先解決一般問題再把解決一般問題的技巧、方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問題上，最終獲得問題的解決。DC例 3：若 ab 1，且 5a 2 +2100a+9=0 ，9b 2 +2100b+5=0 ，則 a 的值是（）b（A） 9 （B） 5（ C） 2001（D） 20015959解析：若由題設(shè)條件分別求出a，b 代

5、入 a 求值，則相當(dāng)b麻 煩 。 現(xiàn) 將 其 中 一 個 等 式 9b22001b 5 0 進(jìn) 行 變 形 得 ：11，5·22100 ·+9=0bb結(jié)合已知等式5a2 +2100a+9=0可 以 看 出 a 、 1 是 方 程b25x2 +2100x+9=0 的根。又 a1，即 a 與 1是此方程的相異實bb根，故由韋達(dá)定理可知19，故選 A。a·=5b四、數(shù)轉(zhuǎn)化為形有些代數(shù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系以某種方式與幾何圖形相關(guān)聯(lián)則可以通過作出與其相關(guān)聯(lián)的圖形背景，借助圖形的直觀性將代數(shù)問題的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中表現(xiàn)出來，從而利用幾何關(guān)系來求解。例 4：已知 a、b

6、、c、d 為正數(shù)，且 a2+b 2 =c2+d 2 ，ac=bd ，求證 a=d ， b=c 。分析：由于題設(shè)條件很象勾定理的形式，因而可通過構(gòu)造有公共斜邊的兩個直角三角形來研究。證明：如圖 (3) 由題設(shè)可作 Rt ABC 和 Rt ADC ，使B= D=90 °，Bc=a ， AB=b ， AD=c ， CD=d 。ac=bd ，即 BC ·AD=AB ·CD ，BCAB ，故 Rt ABC Rt ADC ，CDADBabCA而 AC 為公共邊，Rt ABC Rt ADCBC=CD ，AB=AD即 a=d ， b=c五、形轉(zhuǎn)化為數(shù)dcD把幾何圖形問題中的變量用

7、字母來表示，用代數(shù)中的方程思想將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題 ,這是解決幾何問題的一種常用行之有效的方法。例 5：如圖 (4) 已知 a、 b、 c 為 Rt ABC 的三邊之長， c為斜邊， Rt ABC 的內(nèi)切圓半徑為r,求證： r= 1 （ a+b c）。2證明：設(shè) CE=x ，EA=y ，F(xiàn)B=z ，易得 OECD 是正方形，A3則 r=x 。依題意得：xyb,yzc,zxa.+ +得，x+y+z=1 （a+b+c）2代入得x= 1 （a+b c），2即 r= 1 （ a+b c）。2六、分散轉(zhuǎn)化為集中有些題目中的條件或者需解決的對象比較分散，難以進(jìn)行研究，因而轉(zhuǎn)化為研究問題的整體形式或

8、結(jié)構(gòu)，往往可以達(dá)到事半功倍之效。例 6：如圖 (5) ，在高 2 米坡角為 30 ° 樓梯表面鋪上地毯，地毯的長至少需要多少米？解析：若先求鋪在各級臺階的地毯的長度，再求和，非明智之舉?，F(xiàn)用平移的方法，從整體上考慮，各級臺階的高度之和等于 BC 長，寬度之和等于AC 長，所以只需求 AC+BC 的長度就確定了地毯的最小長度。七、局部轉(zhuǎn)化為整體在解幾何題有時根據(jù)原圖形的特點通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造成我們熟知的圖形，再利用這些熟知的圖形性質(zhì) ,溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，就可以將問題化難為易。如圖 (6) ，凸五邊形 ABCDE 中，有A= B=120 °，EA=AB=BC=2

9、，CBFCD=DE=4 求它的面積。解析：延長 EA 、 CB 交于點 F，ADE4GEAB= CBA=120 °，可得FAB 為等邊三角形。EA=AB=BC=2， CD=DE=4 ，F(xiàn)E=FC=CD=DE=4，四邊形 PCDE 為菱形。過 C 作 CG DE, 垂足為 G。易得 CG= 2 3 。SABCDE =S菱形2 313 ×22= 7 3FCDE S FAB =4×4八、運(yùn)動轉(zhuǎn)化為靜止事物的運(yùn)動都是相對的，由于參照物的不同，原來動的對象變?yōu)椴粍樱瓉聿粍拥膶ο笞優(yōu)檫\(yùn)動，在解題時，有時可變換角度，運(yùn)動問題可以轉(zhuǎn)化為靜止問題來研究。例 8：某氣象臺A 正西

10、方向 300 公里有一臺風(fēng)中心，現(xiàn)正以 40 公里 /小時的速度向東北方向移動，距臺風(fēng)中心 250 公里以內(nèi)的地方均受到其影響，問從現(xiàn)在起多長時間后，氣象臺會受臺風(fēng)影響？影響會持續(xù)多長時間？分析：直接解題時，不動的是氣象臺 A，移動的是臺風(fēng)中心及其影響區(qū)域，由于影響范圍為一簇圓覆蓋的平面區(qū)域，因而解題時計算繁瑣，按動靜互換策略，假設(shè)臺風(fēng)中心不動，而氣象臺 A 沿西方向以 40 公里 /小時的速度移動，則問題就轉(zhuǎn)化為求氣象臺 A 進(jìn)入臺風(fēng)區(qū)域的時刻及 A 穿越這塊區(qū)域所需的時間。如圖（ 7），設(shè)臺風(fēng)中心 O 不動，影響范圍為半徑 250 公里以內(nèi)的圓面，OA=300 ，OAD=45 °

11、，連OB 、 OC 不難得出： AB=AE BE=150250 7，OABECBC=100 7.t1= AB 2.0 ，t2= BC 6.6 ，4040D即從現(xiàn)在起約 2 個小時后氣象臺遭受臺風(fēng)影響，持續(xù)時間約 6.6 小時。5九、靜止轉(zhuǎn)化為運(yùn)動有的數(shù)學(xué)問題，在靜止?fàn)顟B(tài)下往往解題繁難，如果我們把本來靜止的問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)動問題 ,變靜態(tài)為動態(tài) ,即通過研究變動的一般狀態(tài)來考慮確定的特殊的情形，有時會事半功倍。例 9：如圖（ 8），在 RtABC 中， B=90 °，AD 是 BC 邊上的中線，CAD=，求證： sin1 .3分析：根據(jù)題意， Rt ABC 中，點 B 在以 AC 為直徑的

12、半圓上運(yùn)動，點 D 保持 BD=DC ，問題即為何時 CAD= 最大？此時 sin是否等于 1 ？顯然，當(dāng) B 在以 AC 為直徑的半圓上3運(yùn)動時， BC 的中點 D 應(yīng)在以 OC 為直徑的半圓上運(yùn)動（圖9），故只有當(dāng) AD 與半圓 O相切時 最大。此時，因為O DAD 所以sin = O DO O1 ，故 sin1 .O AO A33十、空間轉(zhuǎn)化平面在立體圖形上有時求折線段或曲線段的長度，直接求無從下手。我們可以把立體圖形通過展開為平面圖形這樣立體圖形上兩點之間的曲線段或折線段問題就轉(zhuǎn)化平面上的線段問題了。例 10 ：如圖（ 10 ）已知圓錐的母線長OA=6 ，底面的圓的半徑為2，一小蟲在圓錐底面的點A 處繞圓錐側(cè)面一周又回到點 A 處。則小蟲所走的最短距離為（）。（A）12（B）4（C）6 2（D