三角函數(shù)總結(jié)大全整理好的

1、構(gòu)思新穎，品質(zhì)一流，適合各個領(lǐng)域，謝謝采納三角函數(shù)（一）任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式1 .任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置OA,繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫的頂點。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。2 .象限角、終邊相同的角、區(qū)間角角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這

2、個角是第幾象限角。要特別注意：如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個角“具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k兀（kCZ）,即3C313=2k兀+a,kCZ,根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，如aea|<a<=,lo66663.弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作irad,或1弧度，或1（單位可以省略不寫）。角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分，如-兀，-2兀等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負主

3、要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角的弧度數(shù)的絕對值是：1,其中，I是圓心角所對的弧長，r是半徑。r角度制與弧度制的換算主要抓住180rad?；《扰c角度互換公式：1rad=180°57.30°=57°18,；1。=-0.01745（rad）。弧長公式:I4三角函數(shù)的定義：以角的頂點為坐標原點,11C|r（是圓心角的弧度數(shù)）；扇形面積公式：S-lr-|r2。22始邊為x軸正半軸建立直角坐標系，在角的終邊上任取一個異于原點0）,那么的點P(x,y),點P到原點的距離記為r(rJ|x|2|y|2JX2y2sin；cosx;tanrr一；(cot；sec-；csc)xy利用單位圓定

4、義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么:(1)y叫做的正弦，記做sin,即siny；(2)x叫做的余弦，記做cos,即cosx；(3)y叫做的正切，記做tan,即tany(x0)。xx5.三角函數(shù)的符號：由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標的符1我們可以得知：正弦值y對于第一、二象限為正r（y0,r0）,對于第三、四象限為負（y0,r0）；Inmwsin+一一cos+一一+tan+一+一cot+一+一余弦值-對于第一、四象限為正（x0,r0）,對于第二、三象限為負（x0,r0）；正切值工對于第rx三象限為正（x,y同號），對于第二、四象限為負（x,y異號

5、）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。y6.三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題十分方便。以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注這個單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點P（x,y）,過點P作PMx軸交x軸于點M,根據(jù)三角函數(shù)的定義：|MP|y|sin|；|OM|x|cos|。我們知道，指標坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標軸時，以O(shè)為始點、M為終點，規(guī)定:當(dāng)線段OM與x軸同向時，

6、OM的方向為正向，且有正值x；當(dāng)線段OM與x軸反向時，OM的方向為負向，且有負值x；其中x為P點的橫坐標.這樣，無論那種情況都有OMxcos同理，當(dāng)角的終邊不在x軸上時，以M為始點、P為終點，規(guī)定：當(dāng)線段MP與y軸同向時，MP的方向為正向，且有正值y;當(dāng)線段MP與y軸反向時，MP的方向為負向，且有負值y；其中y為P點的橫坐標。這樣，無論那種情況都有MPysin。像MP、OM這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖，過點A（1,0）作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與的終邊交于點T,請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識，借助有向線段OA、AT,我們有tanAT-x我們把這三條與

7、單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6 .同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2+cos2a=1（平方關(guān)系）；sn=tana（商數(shù)關(guān)系）；tanccot=1（倒數(shù)關(guān)系）.cos使用這組公式進行變形時，經(jīng)常把“切”、"害用"弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個常用關(guān)系式：sina+coss,sina-coss,sina-cosa;（三式之間可以互相表示）設(shè)山口CL-tEV2,兩邊平,方.得1+之士ina*cosa=/=強口cosa=-又1-2sj.tiCLtosd=2sinCL-tosCl=±J-戶.同理可

8、以由sinacosa或sinc-cosa推出其余兩式。7 .誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：sin（2k)sin,cos(2k)cos,其中kZ誘導(dǎo)公式二:誘導(dǎo)公式三:誘導(dǎo)公式四:誘導(dǎo)公式五sin(180osin()sin(180osin(360o)sinsin；)sin：)sin；cos(180cos()cos(180ocos(360o)coscos)cos)cos可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。構(gòu)思新穎，品質(zhì)一流，適合各個領(lǐng)域，謝謝采納一22kkZ2sin一sinsin一sin一sinsincoscoscos一cos一coscoscossin(1)要化的角的形式為k180o(k為常整數(shù))；

9、(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；(3) sin(k%+a)=(1)ksina;cos(k兀+a)=(1)kcosa(kCZ);sin-x。(4) sinx-cos-xcosx一；cosx一4444(二)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像y=cosxy=tanxy.y=cotx2 .三角函數(shù)的定義域、值域及周期如下表:函數(shù)定義域值域周期ysinxR1,12ycosxR1,12ytanxx|xk-,kZR3 .三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：3ysinx的遞增區(qū)間是2k,2k一(kZ),遞減區(qū)間是2k-,2k-(kZ)；2222ycosx的遞增區(qū)間是2k,2k(kZ),遞

10、減區(qū)間是2k,2k(kZ);構(gòu)思新穎，品質(zhì)一流，適合各個領(lǐng)域，謝謝采納ytanx的遞增區(qū)間是一，k一22(kZ),4 .對稱軸與對稱中心：ysinx的對稱軸為ycosx的對稱軸為對于yAsin（x,對稱中心為(k(k,0)kZ；-2,0)；Acos(）來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。5 .函數(shù)yAsin(x)B(其中A0,0)最大值是AB,2.周期是T，頻率是f2，相位是x,初相是；其圖象的對稱軸是直線xk-（kZ）,凡是該圖象與直線yB的交點都是該圖象的對稱中心。6 .由y=sinx的圖象變換出y=sin（x+）的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換

11、。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）無論哪種變形，請切記每一個變換總先將y=sinx的圖象向左（>0）或向右（v0=平移|1個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?.一倍(3>0),便彳#y=sin（cox+）的圖象。途徑二：先周期變換（伸縮變換）再平移變換。1先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊槐叮?gt;0）,再沿x軸向左（>0）或向右（0=平移L個單位,便得y=sin(cox+)的圖象。三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)

12、Asin（x）k的圖象與函數(shù)ysinx的圖象之間可以通過變化A,k來相互轉(zhuǎn)化.周期變換,影響圖象的形狀，它們都是伸縮變換；由,k影響圖象與x軸交點的位置.由A引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱相位變換，由k引起的變換稱上下平移變換,引起的變換稱它們都是平移變換.既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移.變換方法如下：先平移后伸縮sinx的圖象向左（>0）或向右（0）平移|個單位長度得ysin(x)sin（x）的圖象橫坐標伸長（0<<1）或縮短（>1）1,到原來的一（縱坐標不變）得ysin(xsin(x）的圖象縱坐標伸長（A1）或縮短（0<A<

13、;1）為原來的A彳（橫坐標不變）得yAsin(Asin(x）的圖象向上（k0）或向下（k0）平移|k|個單位長度得yAsin(xk圖象ysinx的圖象yAsinx先伸縮后平移縱坐標伸長（A1）或縮短（0A1）為原來的A倍（橫坐標不變）yAsinx的圖象得yAsin(x)構(gòu)思新穎，品質(zhì)一流，適合各個領(lǐng)域，謝謝采納橫坐標伸長（01）或縮短（1）1到原來的1（縱坐標不變）yAsin(x)的圖象向左（0）或向右（0）平移一個單位得yAsinx(xyAsinx(x向上（k0）或向下（k0）的圖象平移|k|個單位長度得yAsin（x）k圖象例1將ysinx的圖象怎樣變換得到函數(shù)y2sin2x-1的圖象.4

14、解：（方法一）把ysinx的圖象沿x軸向左平移個單位長度，得ysinx4小到原來的1,得ysin2x-的圖象；將所得圖象的縱坐標伸長到原來的24-的圖象；將所得圖象的橫坐標縮42倍，得y2sin2x-的圖象；4最后把所得圖象沿y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)2sin2x-1的圖象.4（方法二）把ysinx圖象的縱坐標伸長到原來的2倍，得y2sinx的圖象；將所得圖象的橫坐標縮小到原來的-,2得y2sin2x的圖象；將所得圖象沿x軸向左平移個單位長度得y2sin2x-的圖象；最后把圖象沿88y軸向上平移1個單位長度得到y(tǒng)2sin2x-1的圖象.4說明：無論哪種變換都是針對字母x而言的.由ysin2

15、x的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)圖象的解析式是8ysin2x-而不是ysin2x，把ysinx的圖象的橫坐標縮小到原來的-,得到的函數(shù)圖象的解析式8842是ysin2x一而不是ysin2x一.44對于復(fù)雜的變換，可引進參數(shù)求解.例2將ysin2x的圖象怎樣變換得到函數(shù)ycos2x-的圖象.4分析：應(yīng)先通過誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù).解：ysin2xcos2xcos2x，在ycos2x中以xa代x,ycos2（xa）cos2x2a22222根據(jù)題意，有2x2a2x,得a.248所以將ysin2x的圖象向左平移三個單位長度可得到函數(shù)ycos2x-的圖象.845.由y=Asin（cox+）的圖象求

16、其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ax+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（一，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準,第一個零點的位置。8 .求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意A、的正負利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù)，并且在同一單調(diào)區(qū)間；9 .求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“yAsin（x）、yAcos（x）”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。10.五點法作y=Asin(3x+)的簡圖:31、2兀來求相應(yīng)的2x值及對應(yīng)的y值，再描點作圖。sin()sincoscossin；cos()coscossinsi

17、n；tan(2.二倍角公式2.222sin22sincos；cos2cossin2cos112sin；3.三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應(yīng)用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角；tan2tantan1mtantan2tan1tan2三角公式的逆用等。(2)化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1)降哥公式-121cos22sincos-sin2;sin;cos22(2)輔助角公式1cos2o2asinxbcosxa2b2sinx,其中sin,cos構(gòu)思新穎，品質(zhì)一流，適合各個領(lǐng)域，謝謝采納五點取法

18、是設(shè)x=3X+，由X取0、三、兀2(三)三角恒等變換1 .兩角和與差的三角函數(shù)4 .三角函數(shù)的求值類型有三類(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；(3)給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5 .三角等式的證明(1)三角恒等式證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變

19、換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。(四)解三角形1 .直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在ABC中，C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。(1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2。(勾股定理)(2)銳角之間的關(guān)系：A+B=90°(3)邊角之間的關(guān)系：(銳角三角函數(shù)定義)abasinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=。ccb2 .斜三角形中各元素間的關(guān)系:如圖6-29,在ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對邊。(1)三角形內(nèi)角和：A+B+C=n。(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即:absinAsinBcsinC2RO(R為外接圓半徑)(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC。3 .三角形的面積公式:構(gòu)思新穎，品質(zhì)一流，適合各個領(lǐng)域，謝謝采納(1) SA=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高)；(2) SA=abs