第20至22屆希望杯初一年級組第2試試題及答案解析

1、 2009年第20屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初一 第2試一、 選擇題（每小題4分，共40分）以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請將正確答案的英文字母寫在每題后面的圓括號內(nèi).1（ ）（A） （B） （C） （D）2每只玩具熊的售價(jià)為250元熊的四條腿上各有兩個(gè)飾物，標(biāo)號依次為1，2，3，8賣家說：“1，2，3，4，8號飾物依次要收1，2，4，8，128元如果購買全部飾物，那么玩具熊就免費(fèi)贈送”若按這樣的付費(fèi)辦法，這只熊比原售價(jià)便宜了（ ）（A）5元 （B）-5元 （C）6元 （D）-6元3如圖1，直線MNPQ點(diǎn)O在PQ上射線OAOB，分別交MN于點(diǎn)C和點(diǎn)DBOQ=30°若將射線O

2、B繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，則圖中60°的角共有（ ）（A）4個(gè) （B）5個(gè) （C）6個(gè) （D）7個(gè)4如果有理數(shù)，使得，那么（ ）（A）是正數(shù)（B）是負(fù)數(shù) （C）是正數(shù)（D）是負(fù)數(shù)5As in figure 2In the circular ring of which center is point Oif AOBO，and the area of the shadowy part is 25cm2 ，then the area of the circuiar ring equals to ( ) (（A）147cm2 （B）157cm2 （C）167cm2 （D）177cm

3、26已知多項(xiàng)式和，則的最簡結(jié)果為（ ）（A） （B）（C） （D）7若三角形的三邊長，滿足，且，則、中（ ）（A）最大（B）最大（C）最大（D）最小圖38如圖3，邊長20m的正方形池塘的四周是草場，池塘圍欄的M、N、P、Q處各有一根鐵樁，QP=PN=MN=4m，用長20m的繩子將一頭牛拴在一根鐵樁上，若要使牛的活動(dòng)區(qū)域的面積最大，則繩子應(yīng)拴在（ ）（A）Q樁 （B）P樁 （C）N樁 （D）M樁9電影票有10元、15元、20元三種票價(jià)，班長用500元買了30張電影票，其中票價(jià)為20元的比票價(jià)為10元的多（ ）（A）20張 （B）15張 （C）10張 （D）5張10將圖4中的正方體的表面展開到平面

4、內(nèi)可以是下列圖形中的（ ）二、填空題（每小題4分，共40分）11據(jù)測算，11瓦節(jié)能燈的照明效果相當(dāng)于80瓦的白熾燈某教室原來裝有100瓦的白熾燈一只為了節(jié)約能源，并且保持原有的照明效果，可改為安裝 瓦（取整數(shù)）的節(jié)能燈一只12將五個(gè)有理數(shù)，每兩個(gè)的乘積由小到大排列，則最小的是 ；最大的是 13十進(jìn)制的自然數(shù)可以寫成2的方冪的降冪的多項(xiàng)式，如： ，即十進(jìn)制的數(shù)19對應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)10011按照上述規(guī)則，十進(jìn)制的數(shù)413對應(yīng)二進(jìn)制的數(shù)是 14如圖5，點(diǎn)P在正方形ABCD外，PB=10cm，APB的面積是60cm2，BPC的面積是30cm2,則正方形ABCD的面積是 cm215若是的一個(gè)因式，則的值是

5、 16若，則的最大值是 ；最小值是 17已知表示關(guān)于的運(yùn)算規(guī)律：，（例如）又規(guī)定，則 18一條公交線路從起點(diǎn)到終點(diǎn)有8個(gè)站一輛公交車從起點(diǎn)站出發(fā)，前6站上車100人，前7站下車80人則從前6站上車而在終點(diǎn)站下車的乘客有 人19If the product of a simple binomial and a quadratic is a cubic multinomial ，then = ，= ，= 20方程的解是 三、解答題（每題都要寫出推算過程）21（本題滿分10分）如果兩個(gè)整數(shù)，的和、差、積、商的和等于100那么這樣的整數(shù)有幾對？求與的和的最小值，及與的積的最大值22（本題滿分15分）某

6、林場安排了7天的植樹工作從第二天起每天都比前一天增加5個(gè)植樹的人，但從第二天起每人每天都比前一天少植5棵樹，且同一天植樹的人，植相同數(shù)量的樹若這7天共植樹9947棵，則植樹最多的那天共植了多少棵樹？植樹最少的那天，有多少人在植樹？23（本題滿分15分）5個(gè)有理數(shù)兩兩的乘積是如下的10個(gè)數(shù)： ， ，請確定這5個(gè)有理數(shù)，并簡述理由第二十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)初一 第2試一、選擇題（每小題4分）題號12345678910答案ABDDBACCCD二、填空題（每小題4分，第12、16題，每空2分，第19題，前兩空各1分，后一空2分）題號11121314151617181920答案1

7、41100111011801504；-420-3；2；21005三、解答題21由題意得，（，即，亦即，因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，所以，都是整數(shù)，(2分)又它們與的和是整數(shù)100，故也是整數(shù).（1） =25，時(shí)，所以或（2）=4，時(shí)，所以或（3）=1，時(shí)，所以或（4）=100，時(shí)，所以（舍去）或由上可知，滿足題意的整數(shù)，共7對. (8分)其中的最小值為-200+（-2）=-202的最大值為：（-200）×（-2）=400 (10分)22設(shè)第4天有人植樹，每人植樹棵，則第4天共植樹棵.于是第3天有（）人植樹，每人植樹（）棵，則第3天共植樹棵.同理，第2天共植樹棵； 第1天共植樹棵； 第5天共植樹棵；

8、 第6天共植樹棵； 第7天共植樹棵.由7天共植樹9947棵，知：+=9947.化簡得，即因?yàn)?521=32×132，又每天都有人植樹，所以，.故.(9分)因?yàn)榈?天植樹的棵數(shù)為39×39=1521.其它各天植樹的棵數(shù)為 ()(其中或10或15).所以第4天植樹最多,這一天共植樹1521棵. (12分)由()知,當(dāng)時(shí),的值最小.又當(dāng)時(shí),植樹人數(shù)為39+15=54或39-15=24,所以植樹最少的那天有54人或24人植樹. (15分)23.將5個(gè)有理數(shù)兩兩的乘積由小到大排列:-6000<-15<-12.6<-12<0.168<0.2<0.21

9、<80<84<100.因?yàn)?個(gè)有理數(shù)的兩兩乘積中有4個(gè)負(fù)數(shù)且沒有0,所以這5個(gè)有理數(shù)中有1個(gè)負(fù)數(shù)和4個(gè)正數(shù),或者1個(gè)正數(shù)和4個(gè)負(fù)數(shù). (3分)(1) 若這5個(gè)有理數(shù)是1負(fù)4正,不妨設(shè)為,則(其中和的大小關(guān)系暫時(shí)還不能斷定)所以=-6000,=-15,=100,三式相乘,得,又,所以,則,.再由,得，.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.(9分)（2）若這5個(gè)有理數(shù)是4負(fù)1正.不妨設(shè)為：， 則 (其中和的大小關(guān)系暫時(shí)還不能斷定)所以，三式相乘，得，又，解得 ，所以，再由，得，.經(jīng)檢驗(yàn), ，滿足題意.(15分)第二十一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初一 第2試2010年4月11日 上午9:00至11:

10、00 得分一、選擇題（每小題4分，共40分）以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題后面的圓括號內(nèi)1若a-b的相反數(shù)是2b-a，則b=( ) (A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.2某工廠3月份的產(chǎn)值比2月份增加10%，4月份的產(chǎn)值比3月份減少10%，則( )(A)4月份的產(chǎn)值與2月份相等 (B)4月份的產(chǎn)值比2月份增加(C)4月份的產(chǎn)值比2月份減少 (D)4月份的產(chǎn)值比2月份減少3如圖1，ABC中，A、B、C的外角分別記為，若：:，=3:4:5，則A：B：C=( )(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.4若m

11、=，則m是( )(A)奇數(shù)，且是完全平方數(shù) (B)偶數(shù)，且是完全平方數(shù)(C)奇數(shù)，但不是完全平方數(shù) (D)偶數(shù)，但不是完全平方數(shù)5有兩個(gè)兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，且它們平方的個(gè)位數(shù)字相同，這樣的兩位質(zhì)數(shù)的組數(shù)是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area ofthombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C) 43cm2. (D) 53cm2

12、.（英漢詞典：square正方形；thombus菱形）7要將40kg濃度為16%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，則需蒸發(fā)掉水( )(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.8如圖3，等腰直角ABC的腰長為2cm.將ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。則線段AB掃過的面積是( ) 9若一個(gè)兩位數(shù)恰等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則這個(gè)兩位數(shù)稱為“巧數(shù)”則不是“巧數(shù)”的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) (A)82. (B)84. (C)86. (D)88.10.如果在一個(gè)正方體的每個(gè)面內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，然后，在每個(gè)頂點(diǎn)處再寫一個(gè)數(shù)，該數(shù)等于過這個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面內(nèi)的數(shù)的乘積，那么當(dāng)該正方體各個(gè)頂點(diǎn)處的

13、數(shù)之和是290時(shí)，各個(gè)面內(nèi)的數(shù)之和等于( ) (A)34. (B)35. (C)36. (D)37.二、填空題（每小題4分，共40分）11.甲、乙兩車從A向B行駛，甲比乙晚出發(fā)6小時(shí)，甲、乙的速度比是4：3.甲出發(fā)6小時(shí)后，速度提高1倍，甲、乙兩車同時(shí)到達(dá)B則甲從A到B共走了 小時(shí)12.若有理數(shù)x,y滿足方程，則 13.圖4是一個(gè)六角星，其中 14.加工某種工件，須順次進(jìn)行三道工序，工作量的比依次是2：1：4甲完成1個(gè)工件與第二個(gè)工件的前兩道工序，所用時(shí)間為t已知甲和乙的加工效率比是6:7，則乙完成一個(gè)工件，需要的時(shí)間是t的_倍15. -個(gè)直四棱柱的三視圖及有關(guān)數(shù)據(jù)如圖5所示，它的俯視圖是菱形

14、，則這個(gè)直四棱柱的側(cè)面積為 16.有這樣一種衡量體重是否正常的算法：一個(gè)男生的標(biāo)準(zhǔn)體重（單位：千克）等于其身高（單位：厘米）減去110.當(dāng)實(shí)稱體重在標(biāo)準(zhǔn)體重的90%和110%之間（舍邊界）時(shí)，就認(rèn)為該男生的體重為正常體重，已知男生甲的身高是161厘米，實(shí)稱體重是55千克根據(jù)上述算法判定，甲的體重 正常體重（填“是”或“不是”）17. If and are opposite numbers to each other,and the inverse number of a is less than the opposite number of a,then= （英漢詞典：inverse numb

15、er倒數(shù)；opposite相反的）18.從長度為1的線段開始，第一次操作將其三等分，并去掉中間的一段；第二次操作將余下的線段各三等分，并去掉所分線段中間的一段此后每次操作都按這個(gè)規(guī)則進(jìn)行圖6是最初幾次操作的示意圖，當(dāng)完成第六次操作時(shí)，余下的所有線段的長度之和為19.已知m，n都是正整數(shù)，且是整數(shù)若的最大值是a，最小值是b，則a+b= 20.從最小的質(zhì)數(shù)算起，若連續(xù)n（n是大于1的自然數(shù)）個(gè)質(zhì)數(shù)的和是完全平方數(shù)，則當(dāng)n最小時(shí)， 三、解答題 每題都要寫出推算過程21（本題滿分10分）設(shè)a=，證明：a是37的倍數(shù)22（本題滿分15分） (1)已知平面內(nèi)有4條直線a，b，c和d直線a，b和c相交于一點(diǎn)

16、直線b，c和d也相交于一點(diǎn)，試確定這4條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？并說明你的理由 (2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行，說明：以這5條直線的交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？23.（本題滿分15分） 軌道AB長16.8米，從起點(diǎn)站A到終點(diǎn)站B，每2.4米設(shè)一站點(diǎn)甲、乙兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)從A站點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)B站點(diǎn)后，再返回，在A和B兩站點(diǎn)之間反復(fù)運(yùn)動(dòng)甲、乙運(yùn)動(dòng)的速度都是0.8米秒，甲每到達(dá)一個(gè)站點(diǎn)就休息1秒鐘，而乙從不休息，若甲、乙從A站點(diǎn)出發(fā)后2分鐘結(jié)束運(yùn)動(dòng)，問：它們出發(fā)后，曾幾次同時(shí)到達(dá)同一站點(diǎn)（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站）?第二十一屆希望杯”希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽參考答案初一 第2試第二十二屆”希望杯”全國數(shù)學(xué)

17、邀請賽 初一 第2試2011年4月10日 上午9：00至11：00一、選擇題(每小題4分，共40分。)以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一個(gè)是正確的，請將表示正 確的英文字母寫在每題后面的圓括號內(nèi)。1. 有理數(shù)a，b滿足20a+11| b |=0 (b¹0)，則是 (A) 正數(shù) (B) 負(fù)數(shù) (C) 非正數(shù) (D) 非負(fù)數(shù) 。圖1ONMABPQ2. 如圖1，直線MN/直線PQ，射線OA射線OB，ÐBOQ=30°。 若以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將射線OA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，這時(shí)圖 中30°的角的個(gè)數(shù)是 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。3. 有理

18、數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖2所示，圖2-1ab10 那么代數(shù)式-+-的值是GABCDEFHHIS1S2S3S4圖3 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。4. 如圖3，ABCD，AEFG，BIHE都是平行四邊形，且E是DC的 中點(diǎn)，點(diǎn)D在FG上，點(diǎn)C在HI上。GDA，DFE，EHC， BCI的面積依次記為S1，S2，S3，S4，則 (A) S1+S2>S3+S4 (B) S1+S2<S3+S4 (C) S1+S2=S3+S4 (D) S1+S2與S3+S4大小關(guān)系不確 定 。5. If x is a prime number, y is an integer, a

19、nd x21-x=, than xy2= (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 。圖4FDEGaHABCb (英漢小辭典：prime number 質(zhì)數(shù)，integer：整數(shù))6. 如圖4，AB/CD/EF/GH，AE/DG，點(diǎn)C在AE上，點(diǎn)F在DG上。設(shè) 與Ða相等的角的個(gè)數(shù)為m，與Ðb互補(bǔ)的角的個(gè)數(shù)為n，若a¹b，則m+n 的值是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。7. 甲用1000元購買了一些股票，隨即他將這些股票轉(zhuǎn)賣給乙，獲利10%， 而后乙又將這些股票反賣給甲，但乙損失了10%。最后甲按乙賣給甲的 價(jià)格的九折將這些股票

20、賣給了乙，若上述股票交易中的其它費(fèi)用忽略不計(jì)， 則甲 (A) 盈虧平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 虧損1.1元 。8. 梯形的上底長5，下底長10，兩腰分別長3和4，那么梯形的面積是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25圖5AB20°CM50° (D) 30 。9. 已知| x |£3，| y |£1，| z |£4且| x-2y+z |=9，則x2y2011z3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) -432 (D) -576。10. 如圖5，BP是ABC中ÐABC的平分線，CP是Ð

21、ACB的外 角的平分線，如果ÐABP=20°，ÐACP=50°，則ÐA+ÐP=ABCDEF圖6 (A) 70° (B) 80° (C) 90° (D) 100° 。二、填空題 (每小題4分，共40分)11. 若y2=2x-a，則4x2-4ax-4x2y+2ay2+y4+a2-1= 。12. 如圖6，有兩個(gè)長度相同的滑梯BC和EF，滑梯BC的高度 AC等于滑梯EF在水平方向上的長度DF，則ÐABC+ÐDFE = 度。13. 能被7整除的各個(gè)數(shù)碼均不相同的最小的十位數(shù)是= 。14

22、. 如圖7，j，k，l，m都是由9個(gè)邊長為1厘米的正方形組成的3´3平方厘米的正方形， 其中的陰影四邊形的面積分別記為S1，S2，S3和S4。則S1，S2，S3和S4中最小的與最大的 和是 平方厘米。j圖7S1S2S3S4klm15. 已知x= -1時(shí)，3ax5-2bx3+cx2-2=10，其中a：b：c=2：3：6，那么= 。16. 將長與寬分別為6與4的長方形紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形后，剩余部分的面積最小是 = 。17. 有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個(gè)環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙。如果它們從同 一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔1分鐘相遇一次。現(xiàn)在，它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)

23、， 沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，乙已經(jīng)行駛了4圈，此時(shí)它們行駛了 分鐘。ACBDEF5168圖818. 如圖8，長方形ABCD的長為8，寬為5，E是AB的中點(diǎn)， 點(diǎn)F在BC上，已知DEF的面積為16，則點(diǎn)D到直線EF 的距離為 。19. If A= is a positive interger, then the maximum value of positive interger n is 。20. 自然數(shù)n的各位數(shù)字中，奇數(shù)數(shù)字的和記為S(n)，偶數(shù)數(shù)字的和記為E(n)，例如S(134)=1+3 =4，E(134)=4，則S(1)+S(2)+S(100)= ，E(1)+E(2)+E

24、(100)= 。三、解答題 每題都要寫出推算過程。21. (本題滿分10分)甲乙兩車在A，B兩城連續(xù)地往返行駛。甲車從a城出發(fā)，乙車從b城出發(fā)，且比甲車早出發(fā)1小時(shí)，兩車在途中分別距離A、B兩城為200千米和240千米的C處第二次相遇。相遇后，乙車改為按甲車的速度行駛，而甲車卻提速了，之后兩車又再C處第二次相遇。之后如果甲車再提速5千米/時(shí)，乙車再提速50千米/時(shí)，那么兩車在C處再次相遇，求乙車出發(fā)時(shí)的速度。22. (本題滿分15分)圖9A45°ABCB30°PQA45°ABCB30°q如圖9所示，ÐC=90°，RtABC中，

25、8;A=30°，RtABC中，ÐA=45°。點(diǎn)A、B分別在線段AC、BC上。將ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角q 時(shí)，邊AB分別交AB、AC于P、Q，且APQ為等腰三角形。求銳角q 的度數(shù)。23. (本題滿分15分)若矩形的長、寬和對角線的長度都是數(shù)，求證：這個(gè)矩形的面積是12的倍數(shù)。第二十二屆”希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽 初一 第2試簡答一、選擇題1. B， 2. A， 3. D， 4. C， 5. C， 6. D， 7. B， 8. A， 9. D， 10. C，二、填空題11. -1， 12. 90， 13. 1023456798， 14. 7， 15. ，

26、 16. ， 17. 12， 18. ， 19. 150， 20. 501；400， 21. 80千米/時(shí)。 22. 15°，60°。23. 證法1 設(shè)矩形的長、寬和對角線長分別為a，b，c且a，b，c都是整數(shù)，則根據(jù)勾股定理知 a2+b2=c2，我們只需證明a，b，c中必有一個(gè)能被3整除，也必有一個(gè)能被4整除。 (1) 先證“a，b中必有一個(gè)能被3整除”。 若a，b都不是3的倍數(shù)，則a2與b2必被3除余1，則c2必被3除余2，但完全平 方數(shù)被3除只能余0或1，故矛盾。所以a，b中必有3的倍數(shù)，即ab為3的倍數(shù)。 (2) 再證“a，b中必有一個(gè)能被4整除”。 將a2+b2=c2中的a，b，c的公約數(shù)約去，得x2+y2=z2，其中x，y，z兩兩互質(zhì)。我 們只需證明“x，y中必有一個(gè)能被4整除”即可。首先x，y不能全是奇數(shù)，因?yàn)椋?若x，y均為奇數(shù)，則x2與y2必都被4除余1，于是z2必被4除余2，但完全平方 數(shù)被4除只能余0或1，故矛盾。所以x，y不能全是奇數(shù)。因?yàn)閤，y互質(zhì)，所以， x，y也不能全是偶數(shù)，因此x，y只能