高等數(shù)學(xué)1-6極限的運(yùn)算法則ppt課件

1、一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得得(Operation rules of limits)（可推廣到有（可推廣到有限個(gè)函數(shù)）限個(gè)函數(shù)）)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB.

2、0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立類似有數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則類似有數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則P59Th 6)二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1(P591(P59例例2 2）.531lim232 xxxx

3、求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .

4、, 0)(0能能應(yīng)應(yīng)用用則則商商的的求求極極限限的的法法則則不不若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 )14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx商的法則不能用商的法則不能用（與（與P61例例4同類）同類）解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零的無(wú)窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221

5、xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)(zero divisor)（與（與P60例例2同類）同類）例例4 （補(bǔ)充）（補(bǔ)充） 求求.211lim1 xxx2)1()21)(1(lim1 xxxx)21(lim1 xx解解原式原式. 22 1,.x 時(shí)時(shí) 分分子子 分分母母的的極極限限都都是是零零)00(型型分母有理化后再求極限分母有理化后再求極限.例例5 5.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的極極限限都都是是無(wú)無(wú)窮窮大大分分子子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x

6、332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無(wú)窮小因子無(wú)窮小因子分出法分出法)（與（與P61例例6同類）同類）233233535limlim0417417xxxxxxxxx 322741lim35xxxx 小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 ., 0,lim00110110nmnmnmbabxbxbaxaxannnmmmx無(wú)窮小分出法無(wú)窮小分出法: :以分母中自變量的最高次以分母中自變量的最高次冪除分子冪除分子, ,分母分母, ,以分出無(wú)窮小以分出無(wú)窮小, ,然后再求然后再求極限極限. .例例6 6補(bǔ)充）補(bǔ)充）).21

7、(lim222nnnnn 求求解解是是無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例7(P627(P62例例8 8）.sinlimxxx 求求解解,1,為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例8(8(補(bǔ)充）補(bǔ)充）).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩兩個(gè)個(gè)單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點(diǎn)點(diǎn) ,0 x)1(lim)

8、(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故注意注意 ：求分段點(diǎn)的極限時(shí)，要用左右極限討論：求分段點(diǎn)的極限時(shí)，要用左右極限討論.00000( )lim ( )( )lim( ) ( )lim ( )lim( ).xxuaxxuau xxxa xax xaf uAf xxxf xf uA 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在且且等等于于，即即，但但在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，又又，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限也也存存定定理理（復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的極極限限運(yùn)運(yùn)算算法法

9、在在且且則則），)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：例例9(9(補(bǔ)充）補(bǔ)充）.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原原式式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令三、小結(jié)三、小結(jié) Brief summry1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限

10、利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則思考題思考題 Consideration 在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè)在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè) 有極限，有極限， 無(wú)極限，那么無(wú)極限，那么 是否有極限？為什么？是否有極限？為什么？)(xf)(xg)()(xgxf 與與)()(xgxf 思考題解答思考題解答:假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾， 故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤沒(méi)有極限沒(méi)有極

11、限)()(xgxf )()(xgxf 可能有極限，也可能無(wú)極限，如可能有極限，也可能無(wú)極限，如,1sin)(,)(xxgxxf . 01sinlim0 xxx,1)(,)(2xxgxxf xxxxx1lim1lim020 不存在不存在._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習(xí)習(xí) 題題 Exercises ._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx