壓縮映射原理在各種方程的解的存在唯一性上的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上壓縮映射原理在各種方程的解的存在唯一性上的應(yīng)用林芳數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2010級(jí)漢（1）班指導(dǎo)教師 劉官廳摘 要 本文介紹了不動(dòng)點(diǎn)原理即壓縮映射原理及其在代數(shù)方程、微分方程、積分方程解的存在性和惟一性方面的重要應(yīng)用關(guān)鍵詞 不動(dòng)點(diǎn)壓縮映射原理方程 不動(dòng)點(diǎn)理論是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中的一支奇葩半個(gè)多世紀(jì)以來其影響可以說遍及整個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)中是指被這個(gè)函數(shù)映射到其自身的一個(gè)點(diǎn)即函數(shù)的取值過程中如果有使就稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)對(duì)此定義有兩方面的理解代數(shù)意義若方程有實(shí)數(shù)根則有不動(dòng)點(diǎn)幾何意義若函數(shù)與有交點(diǎn)則為的不動(dòng)點(diǎn)壓縮映射原理是最簡單的不動(dòng)點(diǎn)定理它不但證明了不動(dòng)點(diǎn)的存

2、在性與唯一性同時(shí)還提供了求不動(dòng)點(diǎn)的方法迭代法就是說在完備度量空間中是一個(gè)壓縮映射從任意選取的一個(gè)初始值出發(fā)逐次作點(diǎn)列這個(gè)點(diǎn)列必然收斂到方程的解因此這種方法叫做逐次逼近法壓縮映射原理在線性代數(shù)方程組微分方程積分方程等方面都有廣泛的應(yīng)用相關(guān)定義及定理不動(dòng)點(diǎn)的定義設(shè)為一非空集是一個(gè)映射如果有使得則稱為映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)壓縮映射的定義設(shè)是度量空間是一個(gè)映射如果存在一個(gè)數(shù)使得對(duì)所有的則稱是壓縮映射稱為壓縮常數(shù)注 壓縮映射在幾何上的意思是說點(diǎn)和經(jīng)映射后它們像的距離縮短了不超過的倍壓縮映射原理設(shè)是完備度量空間是上的壓縮映射那么有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)就是說方程有且只有一個(gè)解證明 設(shè)是中任意一點(diǎn)我們證明點(diǎn)列是中柯西點(diǎn)

3、列事實(shí)上 由三點(diǎn)不等式當(dāng)時(shí) 因所以于是得到所以當(dāng)時(shí)即點(diǎn)列是中柯西點(diǎn)列由完備存在使又由三點(diǎn)不等式和條件我們有這個(gè)不等式右端當(dāng)時(shí)趨于所以即下面證唯一性如果又有使得則由條件得因所以必有即壓縮映射原理在代數(shù)方程方面的應(yīng)用壓縮映射原理在線性代數(shù)方程組方面的應(yīng)用例 在維實(shí)向量空間中是一個(gè)完備度量空間我們定義距離其中我們?cè)谥杏懻撓铝芯€性代數(shù)方程組 在系數(shù)滿足什么條件時(shí)存在唯一的解解 首先將式寫成下列向量形式其中令則式可以寫成于是求方程組的唯一解的問題就化為是否有唯一的不動(dòng)點(diǎn)的問題顯然是的一個(gè)映射下面來討論當(dāng)滿足什么條件時(shí)是一個(gè)壓縮映射任取于是 由此可見當(dāng)對(duì)一切成立時(shí)是上的一個(gè)壓縮映射于是滿足壓縮映射原理的條

4、件從而有唯一的不動(dòng)點(diǎn)而就是方程組的唯一解壓縮映射原理在非線性代數(shù)方程方面的應(yīng)用例 證明方程存在唯一解其中為已知常數(shù)證明 空間是完備度量空間在其上定義距離作映射則有顯然是的映射且有在之間令則有所以是壓縮映射由壓縮映射原理可知存在唯一不動(dòng)點(diǎn)即方程存在唯一的解壓縮映射原理在積分方程方面的應(yīng)用例 設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)為正方形上的連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)使得則當(dāng)時(shí)弗雷德霍姆方程 存在唯一的解證明 在完備度量空間上定義距離定義映射記則有 因此是一個(gè)壓縮映射根據(jù)壓縮映射原理有唯一的不動(dòng)點(diǎn)即方程有唯一的解 例設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)為正方形上的連續(xù)函數(shù)令則在時(shí)弗雷德霍姆方程 存在唯一的解證明 在完備度量空間上定義距離定義映射記

5、有 因此是一個(gè)壓縮映射根據(jù)壓縮映射原理有唯一的不動(dòng)點(diǎn)即方程有唯一的解壓縮映射原理在微分方程方面的應(yīng)用壓縮映射原理證明一階線性微分方程的解的存在唯一性例 設(shè)是矩形上的二元函數(shù)設(shè)又在上關(guān)于滿足利普希茨條件即存在常數(shù)使得對(duì)任意的有 那么方程在區(qū)間上有唯一的滿足初值條件得連續(xù)函數(shù)解其中證明 設(shè)表示區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)全體按距離所成的完備度量空間又令表示中滿足條件得連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間且是閉子空間則也是完備度量空間令 則是到中的映射因?yàn)樗匀裟敲串?dāng)時(shí)又因?yàn)槭巧系亩B續(xù)函數(shù)所以式右端積分有意義又對(duì)一切所以有當(dāng)下面證是壓縮映射由條件對(duì)中任意兩點(diǎn)和有 令則且所以是上的壓縮映射由壓縮映射原理可知存在唯一的使得

6、即且兩邊對(duì)求導(dǎo)即得這說明是方程滿足初值條件的解壓縮映射原理證明階線性微分方程的解的存在唯一性一般的階線性微分方程可以寫成如下形式 方程的初值條件記為 有如下結(jié)論例 （階線性微分方程初值問題解的存在性與唯一性）設(shè)和均于區(qū)間上連續(xù)則對(duì)任一和任意個(gè)常數(shù)方程恒有且只有一個(gè)定義在整個(gè)區(qū)間上且滿足初值條件的解 注 有時(shí)映射不滿足壓縮映射原理的條件但的某次冪卻滿足這些條件于是可把壓縮映射原理推廣到下面的情形推論 設(shè)是完備度量空間如果存在自然數(shù)使得對(duì)所有其中則有唯一的不動(dòng)點(diǎn)下面對(duì)定理進(jìn)行證明證明 對(duì)階線性微分方程作如下變化設(shè)則 代入原方程得整理后得到積分方程 其中 此方程為第二類積分方程顯然在區(qū)域上連續(xù)并且方

7、程與方程等價(jià)下面考慮積分方程 在區(qū)域上連續(xù)設(shè)考慮映射 則 歸納的若則 由此得到對(duì)于任何自然數(shù)有由于于是對(duì)于充分大的總可使因此對(duì)于充分大的滿足推論中壓縮映射原理的條件所以方程有唯一解由方程的等價(jià)性可知階線性微分方程有唯一解壓縮映射原理證明隱函數(shù)存在定理例 設(shè)函數(shù)在帶狀域中處處連續(xù)且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)如果還存在常數(shù)和滿足則方程在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解證明 在完備度量空間中作映射使對(duì)任意的函數(shù)有按照題中條件是連續(xù)的故也連續(xù)即所以是到自身的映射下面證是壓縮映射任取根據(jù)微分中值定理存在滿足 由于所以令則有且 按中距離的定義可知因此是壓縮映射由壓縮映射原理可知存在唯一的滿足即這就是說根據(jù)壓縮映射原理若取作為初始函數(shù)通過迭代 得到的函數(shù)列將一致收斂于隱函數(shù)參考