§9.2二重積分的計(jì)算 (1)

1、整理課件1定義定義 設(shè)設(shè)) ,(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)。將閉上的有界函數(shù)。將閉 區(qū)域區(qū)域 D 任意分成任意分成 n 個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域: :i ) 3, , 2 , 1( i，并，并 以以i 表示表示個個第第i小閉區(qū)域的面積。小閉區(qū)域的面積。 ) , (iii ， 作和式作和式 iniiif 1) ,(。若當(dāng)各小閉區(qū)域的最大直徑。若當(dāng)各小閉區(qū)域的最大直徑 0d時(shí)，和式的極限存在，則稱此極限為時(shí)，和式的極限存在，則稱此極限為) ,(yxf在閉在閉 區(qū)域區(qū)域 D 上的二重積分，記作上的二重積分，記作 Ddyxf),(，即，即 iniiidDfdyxf 10) ,(lim

2、),(整理課件2 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，我們可以用特定的分割上連續(xù)時(shí)，我們可以用特定的分割來解決定積分的計(jì)算。來解決定積分的計(jì)算。9.29.2 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算9.2.19.2.1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分整理課件3xoabxdxx .)( badxxAVRR xyo xxyoRx 已知平行截面面積已知平行截面面積的立體的體積的

3、立體的體積整理課件4 當(dāng)當(dāng)0),( yxf時(shí)時(shí)， Ddyxf),(的的值值等等于于以以 D 為為底底， 以以曲曲面面),(yxfz 為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積積。而而平平行行截截 面面面面積積為為已已知知的的立立體體的的體體積積又又可可以以用用定定積積分分來來計(jì)計(jì)算算。 這這就就啟啟示示我我們們可可以以用用二二重重積積分分的的幾幾何何意意義義來來尋尋求求二二 重重積積分分的的計(jì)計(jì)算算方方法法。 整理課件5 如如圖圖所所示示的的積積分分區(qū)區(qū)域域稱稱為為X型型區(qū)區(qū)域域。 oxyab)(2xy )(1xy Doxyab)(2xy )(1xy D1 1積分區(qū)域積分區(qū)域 D 為為 X 型區(qū)域

4、型區(qū)域 設(shè)設(shè) D： )()(21xyxbxa 其其中中,)(1baCx ，,)(2baCx 。 整理課件6 下下面面用用切切片片法法來來計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分 Ddyxf),(所所表表示示的的柱柱體體 的的體體積積。 )()(21),()(xxdyyxfxA。 )(xAxxx oxyDz)(2xy )(1xy ),(yxfz ab)(1x )(2x )(xA),(yxfz xy z )()(),()(xxdyyxfxA21. 一一般般地地，平平面面的的平平面面且且平平行行于于上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)過過yozxba , ， 與與曲曲頂頂柱柱體體相相交交所所得得截截面面的的面面積積為為 整理課件7從從

5、而而得得曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積 dxdyyxfdxxAVxxbaba),()()()( 21 ， 于于是是，二二重重積積分分 dxdyyxfdyxfxxbaD),(),()()( 21 公式常記作公式常記作 )()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21 。 這這是是把把二二重重積積分分化化為為先先對對 y 后后對對 x 的的二二次次積積分分的的公公式式。 記記憶憶口口訣訣： “先先積積一一條條線線，再再掃掃一一個個面面” 。 整理課件8 用用公公式式時(shí)時(shí)，必必須須是是 X X 型型區(qū)區(qū)域域。 X X 型型區(qū)區(qū)域域的的特特點(diǎn)點(diǎn)是是：穿穿過過 D 內(nèi)內(nèi)部部 且且平平行行于于 y

6、軸軸的的直直線線與與 D 的的邊邊界界 相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)。 oxyab)(2xy )(1xy Dx )()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21 。 整理課件9)(1yx )(2yx oxyDcd)(1yx )(2yx oxyDcd 如如圖圖所所示示的的積積分分區(qū)區(qū)域域稱稱為為Y Y型型區(qū)區(qū)域域。 設(shè)設(shè) D： )()(21yxydyc 其其中中,)(1dcCy 、,)(2dcCy 。 2 2積積分分區(qū)區(qū)域域 D 為為 Y 型型區(qū)區(qū)域域 整理課件10 用用公公式式時(shí)時(shí)，必必須須是是 Y Y 型型區(qū)區(qū)域域。 Y Y 型型區(qū)區(qū)域域的的特特點(diǎn)點(diǎn)是是：穿穿過過 D 內(nèi)內(nèi)部部 且且

7、平平行行于于 x 軸軸的的直直線線與與 D 的的邊邊界界 相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)。 類類似似可可得得，二二重重積積分分 )()( 21),(),(yydcDdxyxfdydyxf 上上式式右右端端的的積積分分稱稱為為先先對對 x 后后對對 y 的的二二次次積積分分公公式式。 )(1yx )(2yx oxyDcd整理課件11 當(dāng)當(dāng)平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的直直線線與與 D 的的邊邊界界曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)多多于于 兩兩點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，一一般般可可把把 D 分分成成幾幾個個子子區(qū)區(qū)域域，分分別別按按 X 型型 或或 Y 型型區(qū)區(qū)域域計(jì)計(jì)算算，然然后后再再 根根據(jù)據(jù)區(qū)區(qū)域域可可加加性性得得到到在在

8、整整個個 區(qū)區(qū)域域 D 上上的的二二重重積積分分。例例如如 在在圖圖中中，把把 D 分分成成三三部部分分， 它它們們都都是是 X 型型區(qū)區(qū)域域。 D1 1D2 2D3 3o oxy3積分區(qū)域積分區(qū)域D既不是既不是X型區(qū)域也不是型區(qū)域也不是Y型區(qū)域。型區(qū)域。整理課件12 D 是是 X X 型型的的，可可表表示示為為 D： )()(21xyxbxa； D 又又是是 Y Y 型型的的，可可表表示示為為 D： )()(21yxydyc，則則有有 4 4積積分分區(qū)區(qū)域域 D 既既是是 X X 型型區(qū)區(qū)域域又又是是 Y Y 型型區(qū)區(qū)域域。 .),(),(),()()()()( yy d cxx b aDd

9、xyxfdydyyxfdxdyxf2121o oxyabcdD整理課件13 二二重重積積分分化化為為二二次次積積分分，確確定定積積分分限限是是關(guān)關(guān)鍵鍵。 其其定定限限方方法法如如下下： （1 1）在在xoy平平面面上上畫畫出出積積分分區(qū)區(qū)域域 D 的的圖圖形形； （2 2）若若區(qū)區(qū)域域 D 為為 X 型型的的，則則把把 D 投投影影到到 x 軸軸上上，得得 投投影影區(qū)區(qū)間間,ba，a 和和 b 就就是是對對 x 積積分分的的下下限限和和上上限限。 ,bax ， 過過點(diǎn)點(diǎn) x 畫畫一一條條與與 y 軸軸平平行行的的直直線線，假假如如它它 與與邊邊界界曲曲線線交交點(diǎn)點(diǎn)的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為)

10、(1xy 和和)(2xy ， 且且)()(12xx ，則則)( )(21xx 和和就就是是對對 y 積積分分的的下下限限 和和上上限限。 整理課件14 定定限限原原則則： （1）上上限限一一定定要要大大于于下下限限， （2）最最外外層層的的限限不不允允許許有有積積分分變變量量。 )()(),(),(xxbaDdyyxfxdyxf21 doxy)(2xy )(1xy Daxb整理課件15解解法法1：D是是X型型的的。 例例 1計(jì)計(jì)算算 Dxyd，其其中中 D 是是由由直直線線1 y，2 x及及xy 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。 12o oxyxy 1 y)2 , 2() 1 , 2() 1 ,

11、 1 (x 21 21 21 12dxyxxydydxxydxxD.89482222421 31 xxdxxx整理課件16解法解法 2：D是是 Y 型的。型的。 21 222 21 2dyxyxydxdyxydyyD .8982224221 31 yydyyy 21o oxyyx 2 x 注注：化化二二重重積積分分為為二二次次積積分分時(shí)時(shí)，積積分分限限的的確確定定順順序序 與與積積分分順順序序相相反反。 在在計(jì)計(jì)算算內(nèi)內(nèi)積積分分時(shí)時(shí)，外外積積分分變變量量是是常常數(shù)數(shù)。 y整理課件17解解法法 1 1：先先積積 x 后后積積 y， D： 2, 212yxyy， 例例 2 2計(jì)計(jì)算算 Dxyd，其

12、其中中 D 由由xy 2和和2 xy所所圍圍成成。 o oxy2 yx)1, 1( )2 ,4(2yx 2212yyDxydxdyxyddyyyy)2(212152 dyyxyy2212221 .8556234421262341 yyyy1 2y整理課件18o oxy2 xy)1, 1( )2 ,4(xy xy 1D： 10 xxyx，2D： 412xxyx。 .8552411021 xxxxDDDxydydxxydydxxydxydxyd4D1 1D2 21解解法法 2 2：先先積積 y 后后積積 x， 2121DDDDD且且， 整理課件19因因?yàn)闉?ye 的的原原函函數(shù)數(shù)不不是是初初等等函

13、函數(shù)數(shù)， 則則無無法法計(jì)計(jì)算算積積分分的的值值，故故只只能能用用 先先積積 x 后后積積 y 的的次次序序進(jìn)進(jìn)行行計(jì)計(jì)算算。 yo oxxy 1 y1解解：若若先先積積 y 后后積積 x，得得 11022 xyDydyedxde， 例例 3 3 Dyde2，其其中中D是是由由直直線線xy ，1 y和和 y 軸軸所所圍圍成成。 10010222dyyedxedydeyyyDy).1(21211102 eey整理課件20 積積分分次次序序的的選選擇擇原原則則： （1 1） 第第一一原原則則函函數(shù)數(shù)原原則則：必必須須保保證證各各層層積積分分的的原原函函數(shù)數(shù) 能能夠夠求求出出。 （2 2） 第第二二原

14、原則則區(qū)區(qū)域域原原則則：若若積積分分區(qū)區(qū)域域是是X X 型型（或或Y Y 型型） 則則先先對對積積分分或或 ) ( xy。 （3 3） 第第三三原原則則分分塊塊原原則則：若若積積分分區(qū)區(qū)域域既既是是X X 型型又又是是Y Y 型型 且且滿滿足足第第一一原原則則時(shí)時(shí)， 要要使使積積分分分分塊塊最最少少。 整理課件21例例 4交交換換二二次次積積分分的的積積分分次次序序。 （1） yyf(x,y)dxdy2 4 0 改變二次積分次序的關(guān)鍵是正確畫出積分區(qū)域的改變二次積分次序的關(guān)鍵是正確畫出積分區(qū)域的圖形，要經(jīng)歷圖形，要經(jīng)歷 “由限畫圖由限畫圖”和和“由圖定限由圖定限”兩個過兩個過程。程。先先積積 y 后后積積 x，則則21DDD ， 1D： xyxx2022，2D： xyx2020， yyf(x,y)dxdy2 4 0 .2 0 2 0 2 0 22 xx xf(x,y)dydxf(x,y)dydx解解：先先積積 x 后后積積 y， 則則 D： yxyy240， yo ox4(2,