第六章_FIR濾波器設(shè)計(jì)

1、1第六章 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1 引言6.2 線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)6.3 FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法6.4 FIR濾波器頻率采樣法設(shè)計(jì)6.5 FIR濾波器和IIR濾波器的比較一、IIR濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，而模擬濾波器濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)： 相位的非線性，若需線性相位，則需要全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，使濾波器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜。6.1引言二、FIR濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 在滿(mǎn)足幅度特性的同時(shí)，很容易做到線性相位。 極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題； 任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以因果性

2、總滿(mǎn)足； 無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。 缺點(diǎn)： (1)因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)； (2)無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。線性相位的意義：線性系統(tǒng)的失真：l幅度失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；l相位失真：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置產(chǎn)生變化，引起相位失真；無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件： 000tjtjKejHjXKejYjHjXjYttKxty0tjKejH txtxtx21)( jH0K)(0 0tjHjXjXjY21jXKejXKejYtjtj2100

3、0201ttKxttKxtyx(t)0tt不發(fā)生相位失真的條件： )(常數(shù)群延遲cdd786.2.1 FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為：注意：幅度特性幅頻特性 jjNnnjjeeHenheH)(10其中 幅度特性，純實(shí)數(shù)，可正可負(fù)，即 H )(jeHH相位特性 jeH9例34jjesineH用 形式 jeH用 形式 jjeeH)(101. 線性相位概念jeH 線性相位是指 是 的線性函數(shù)，即群延遲jeH cdd 為常數(shù),第一類(lèi)線性相位 為起始相位00,第二類(lèi)線性相位112.FIR濾波器具有線性相位的條件 是實(shí)序列，且滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)或奇對(duì)稱(chēng)，即 nh 2111N

4、nnNhnhnNhnh，對(duì)稱(chēng)軸或123.線性相位條件的證明（1） 偶對(duì)稱(chēng)的情況 nh 10101NnnNnnznNhznhzHnNm1令 101110NmmNNNmmzmhzzzmh11zHzN 1) 1(21zHzzHzHN即有13)21()21(102/ ) 1() 1(101) 1(21)()(21)()(21)(NnNnNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH jNnNjezjeHnNnhezHeHj)21(cos)(| )()(10)21(其求和項(xiàng)全為實(shí)數(shù)14)()()(jjeHeH21)()21(cos)()(10NnNnhHNn21)()(Ndd FIR數(shù)字濾波器的響

5、應(yīng)對(duì)所有頻率的輸入信號(hào)整體延遲了 ，即延遲了單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度的一半。21N15（2） 奇對(duì)稱(chēng)的情況 nh 10101NnnNnnznNhznhzHnNm1令 101110NmmNNNmmzmhzzzmh11zHzN 1) 1(21zHzzHzHN即有16)21()21(102/ ) 1() 1(101) 1(21)()(21)()(21)(NnNnNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH jNnNjezjeHnNnhjezHeHj)21(sin)(| )()(10)21(其求和項(xiàng)全為實(shí)數(shù)17)()()(jjeHeH)21(2)()21(sin)()(10NnNnhHNn21)()(

6、Ndd 無(wú)論是奇對(duì)稱(chēng)或偶對(duì)稱(chēng)，其群延時(shí)均為常數(shù)，為 個(gè)抽樣間隔。21N186.2.2 線性相位FIR數(shù)字濾波器幅度特性的特點(diǎn) 型為奇數(shù)1,1NnNhnh（1）分4種情況進(jìn)行討論： 偶對(duì)稱(chēng)，N取奇數(shù)奇對(duì)稱(chēng)，N取偶數(shù))(nh)(nh)1()(nNhnh10)21(cos)()(NnnNnhH偶對(duì)稱(chēng) 式中的各項(xiàng)相對(duì)于 對(duì)稱(chēng)的項(xiàng)相等2/ ) 1( N)(H19將相等項(xiàng)合并，因N為奇數(shù)，余中間項(xiàng))21(Nh2/ )3(010)21(cos)(2)21()21(cos)()(NnNnnNnhNhnNnhH故令 ，則有nNm212/ ) 1(1cos)21(2)21()(NmmmNhNhH20 21, 2

7、, 1,212210NnnNhnaNha 210cosNnnnaH由于 對(duì) 這些點(diǎn)偶對(duì)稱(chēng)，因此ncos2, 0 H偶對(duì)稱(chēng)。2, 02/ ) 1(1cos)21(2)21()(NmmmNhNhH結(jié)論：該濾波器適合設(shè)計(jì)任何關(guān)于 為偶對(duì)稱(chēng)頻率特性的濾波器。2, 0 ，低通、高通帶通、帶阻21 型為偶數(shù)2,1NnNhnh（2）12/0)21(cos)(2)(NnnNnhH令 ，得mNn22/1)21(cos)2(2)(NmmmNhH因N為偶數(shù)，余項(xiàng)不存在，)21(Nh10)21(cos)()(NnnNnhH222, 2 , 1),2(2)(NnnNhnb 2/1)21(cos)()(NnnnbH其中2

8、3 型為奇數(shù)3,1NnNhnh（3）10)21(sin)()(NnnNnhH0)21()211211NhNh(N)Nh(n)h(Nh(n)2/ ) 1(12/ ) 3(12/ ) 3(0)sin()21(2)sin()21(2)21(sin)(2)(NnNnNnnnNhnnNhnNnhHnNm21242/ )1(1)sin()()(NnnncH21, 2 , 1),21(2)( NnnNhnc25 型為偶數(shù)4,1NnNhnh（4）2, 2 , 1),2(2)()21sin()()(2/1NnnNhndnndHNn 10)21(sin)()(NnnNnhH120)21(sin)(2)(-N/nn

9、NnhHnNm2表6-1a 四種線性相位FIR濾波器的特性表6-1b 四種線性相位濾波器低通高通帶通帶阻低通、帶通帶通高通、帶通306.2.3 線性相位FIR數(shù)字濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 11zHzzHN如果 則 。 0izH 01izH 此外，因 是實(shí)數(shù)， 的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn)，所以 nh zH 1iizzzz及 的零點(diǎn)。也一定是zH所以，零點(diǎn)必是互為倒數(shù)的共軛對(duì)或者說(shuō)共軛鏡像。3132例 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為由此可知 2nnnh表示出系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲。sin2sin2122jjjjjjjejeeeeeeH幅度特性表達(dá)式為 sin2H相位特性表達(dá)式為 2 解：顯然 為奇對(duì)稱(chēng)且長(zhǎng)度為N=3，

10、因此，這是第三種類(lèi)型的線性相位FIR數(shù)字濾波器，該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 nh群延遲：因?yàn)閔(n)的長(zhǎng)度為N=3， 。 121 N33 例 一個(gè)FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)為實(shí)數(shù)，且 且系統(tǒng)函數(shù)在由此我們有 如果時(shí)和, 060nhnn 各有一個(gè)零點(diǎn)， 的表達(dá)式是什么？ 10 h35 . 03zezj和 zH 211313125. 05 . 015 . 015 . 01zzzezezHjj 211131132421)5 . 0 (1 )5 . 0 (1 zzzezezHjj 11331131zzzH 1121213113142125. 05 . 01zzzzzzAzH最后為使 ，A=1。 10

11、h一、設(shè)計(jì)思路與方法1、由理想的頻率響應(yīng) 得到理想的 ；6.3 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器（Fourier級(jí)數(shù)法）jdeH nhd 2、將無(wú)限長(zhǎng) 加窗截?cái)酁橛邢揲L(zhǎng)的 ； nhd nh nwnhnhd nRnwN例如， 。 3、由 所設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng) ； nhjeH 10NnnjjenheH 例： 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR數(shù)字低通濾波器。設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)ccjjdeeH, 0,1 ccdeenhnjjd21其中c為濾波器的截止頻率； 為延時(shí)常數(shù) nncsin nRnhnhNd即 1, 1 , 0,sinNnnnnhcd 在一定意義上看，窗函數(shù)決定了我們能夠“看到”多少個(gè)原來(lái)的單位脈沖

12、響應(yīng)，“窗”這個(gè)用詞的含義也就在此。二、加窗對(duì)濾波器頻率特性的影響 nRnhnwnhnhNdd jRNjNnnjNjReWNeenReW2sin2sin2110jRjdjeWeHeH21deWeHjRjd21 ccjjdjdeeHeH0,1 deWeHeHjRjdj21je dWHRd21 jeH RdRdWHdWHH212120log10(9%)-21dB矩形窗對(duì)理想低通幅 度 特 性 的 影 響1.加窗對(duì)濾波器頻響產(chǎn)生的影響 （1）出現(xiàn)過(guò)渡帶。寬度等于 的主瓣寬度（對(duì)于矩形窗 ）； （2）通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生波動(dòng)，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度。N4 RW2.對(duì)窗函數(shù)的要求p主瓣寬度小，以獲得

13、較陡的過(guò)渡帶；p與主瓣的寬度相比，旁瓣應(yīng)盡可能小，把能量集中在主瓣內(nèi)，以減小通帶和阻帶中的波紋幅度。 由于對(duì) 截?cái)?，?dǎo)致了所設(shè)計(jì)濾波器幅度特性的起伏波動(dòng)，波動(dòng)的幅度強(qiáng)弱完全取決于窗函數(shù)的類(lèi)型，而與窗的寬度N無(wú)關(guān)。這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯效應(yīng)。 nhd三、常用的窗函數(shù)（2）三角形窗(Bartlett Window)（1）矩形窗 nRnwN 1212sin2sinNjjRjReNeWeW121,122210,12)(NnNNnNnNnnw212)2/sin()4/sin(2)(NjjeNNeW主瓣寬度為N/8主瓣寬度為N/4（3）漢寧(Hanning)窗，又稱(chēng)升余弦窗)()12cos(1 21)(nRN

14、nnwN22110.5( )0.25( )nnjjNNNNRneeRn 11222112211220.50.25121220.50.2511NNjjjNRRNjNRNjRRRW eWeWeNWeNWWWeNN43 NWNWWNWNWWWeWeNWNWWeWRRRNNRRRajNjRRRj2225. 05 . 0121225. 05 . 0121225. 05 . 01)21(其頻率響應(yīng) 和幅度響應(yīng) 分別為)(jeW)(W漢寧(Hanning)窗窗譜（4）漢明(Hamming)窗，又稱(chēng)改進(jìn)的升余弦窗 nRNnnwN12cos46. 054. 0其幅度響應(yīng)為同漢寧窗的主瓣寬度 相同，但旁瓣幅度更小

15、N/8 121223. 054. 0NWNWWWRRR（5）布萊克曼(Blankman)窗，又稱(chēng)二階升余弦窗 nRNnNnnwN14cos08. 012cos5 . 042. 0其幅度響應(yīng)為 141404. 0121225. 042. 0NWNWNWNWWWRRRRR其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量通過(guò)加入余弦的二次諧波分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變?yōu)?。N/1247 N=31時(shí)矩形窗、三角窗、漢寧窗、漢明窗及布萊克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線5種窗函數(shù)的包絡(luò)曲線常用窗函數(shù)的頻譜（ N=51 ）-13 dB-31 dB-41dB-57dBN4N8N8N12理想低通加窗后的幅度響應(yīng)（N=

16、51）-21dB-44dB-53dB-74dB（6）凱澤(Kaiser)窗10 ,)()1/(21 1)(020NnINnInw是一個(gè)可選參數(shù)，用來(lái)選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說(shuō)來(lái)，越大，過(guò)渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。210)2(!11)(kkxkxII0()是第一類(lèi)修正零階貝塞爾函數(shù)。一般取15-25項(xiàng)就可滿(mǎn)足精度要求。51凱澤窗 接近為矩形窗 接近布萊克曼窗 接近漢明窗5 . 844. 50 對(duì)于相同的N，可選擇提供 不同的過(guò)渡帶寬，這是其他窗做不到的。參數(shù) 決定了加窗濾波器響應(yīng)阻帶上的最小衰減，對(duì)于給定的 和歸一化過(guò)渡帶帶寬 ，Kaiser推導(dǎo)了用于估計(jì) 和N的公式：sA

17、5250)7 . 8(1102. 05021)21(07886. 0)21(5842. 02104 . 0ssssssAAAAAA 參數(shù) 的計(jì)算公式為pssAN285. 295. 7 濾波器階數(shù)N的公式為 Kaiser窗函數(shù)并未對(duì)通帶波紋 進(jìn)行獨(dú)立限制，不過(guò)在實(shí)際中， 一般近似等于 。pps凱澤窗的性能幾種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較 要求：熟悉各種窗函數(shù)的技術(shù)指標(biāo)和加窗后對(duì)濾波特性的影響，能根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)正確選擇窗函數(shù)的類(lèi)型及其長(zhǎng)度N。（1）理想高通濾波器ccajjHPeeH00)(頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：四、幾種常用的理想濾波器anananananannhccHP1)()(sin)()(sin)(5

18、6anananananannheeHccccBPccccajjBP12122121)()(sin)()(sin)(,00)(頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：（2）理想帶通濾波器57anananananananannheeHccccBPccccajjBP122121211)()(sin)()(sin)()(sin)(0,0)(頻率響應(yīng)：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)：（3）理想帶阻濾波器五、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)線性相位 FIR濾波器的一般步驟 利用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟歸納如下： (1)確定要求設(shè)計(jì)濾波器的理想頻率響應(yīng) 的表達(dá) 式。 (2)求 的離散時(shí)間傅里葉反變換：()jdH e1( )()2jnjddh nHe

19、ed (3)根據(jù)技術(shù)要求（在通帶 處衰減不大于 ,在阻帶 處衰減不小于 ），確定窗函數(shù)形式 ,并且根據(jù)取樣周期T，確定相應(yīng)的數(shù)字頻率ps( )w nppTssTpAsA()jdH e60確定濾波器長(zhǎng)度：濾波器 的特性和過(guò)渡帶來(lái)確定。過(guò)渡帶帶寬 確定加窗寬度： 其中系數(shù) 根據(jù)窗函數(shù)確定。sp 4 /N P P(5) 求所設(shè)計(jì)濾波器的單位取樣響應(yīng))(nh( )( )( ), 01dh nh n w nnN(6) 考察 的指標(biāo)： (7) 審核技術(shù)指標(biāo)是否已經(jīng)滿(mǎn)足。如不滿(mǎn)足，則重新選取 較大的進(jìn)行(5)，(6)計(jì)算；如果滿(mǎn)足有余，則選取 較小的進(jìn)行(5)，(6)項(xiàng)計(jì)算。()jH e10()( )Njj

20、 nnH eh n e()jdH e 例： 試用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR數(shù)字低通濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下： 在 處衰減不大于 ， 在 處衰減不小于 ， 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣的周期T=0.01s。30/prad s dB346/srad s dB40解 求數(shù)字指標(biāo) 根據(jù)阻帶指標(biāo)，查表可知漢寧窗，海明窗和布萊 克曼窗都滿(mǎn)足阻帶40dB的衰減 濾波器長(zhǎng)度 ，和 確定后， 也就確定了)(nh()jH e( )w n 求d( )h n 求 62 求 ：( )dh n1( )()2jnjddh nH eed0.30.312sin 0.3 ()()jnjeednn 求數(shù)字指標(biāo)300.01 0.3ppT460

21、.01 0.46ssT ()0-j apjdeHe其他為常數(shù) 濾波器長(zhǎng)度一般由線性相位的斜率 決定，當(dāng) 未給定時(shí)，可由過(guò)渡帶確定，確定后， 也就確定了。它們關(guān)系為 。 此題過(guò)渡區(qū)寬度要求 漢寧窗設(shè)計(jì)的濾波器過(guò)渡帶寬度為 ，則12N8N80.16N5016. 08N51N2521N選 ，則16. 03 . 046. 0 根據(jù)阻帶指標(biāo)，查表可知漢寧窗，海明窗和布萊 克曼窗都滿(mǎn)足阻帶40dB的衰減64 ，和 確定后， 也就確定了： 求 ：( )w n)(nh( )( ) ( )sin 0.3 (25)20.50.5cos()(25)50dh nh n w nnnn500 n()jH e1225()(

22、 )( )NjjjH eHeHe6501-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-150-100-500Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)FIR數(shù) 字 濾 波 器 -blackman window01-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/

23、sample)Phase (degrees)01-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)FIR數(shù) 字 濾 波 器 -kaiser window01-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-100-50050Normalized Frequency ( rad/sampl

24、e)Magnitude (dB)FIR數(shù) 字 濾 波 器 -hamming window01-1500-1000-5000Normalized Frequency ( rad/sample)Phase (degrees)01-100-50050Normalized Frequency ( rad/sample)Magnitude (dB)FIR數(shù) 字 濾 波 器 -hanning window051015202530-0.500.5kaiser0510152025-0.500.5Hann

25、ing0510152025-0.500.5Hamming0510152025-0.500.5Blackman67%根據(jù)給定的參數(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)根據(jù)給定的參數(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)fir濾波器濾波器clear allf=.3 .46;a= 1 0;Ap=3;As=40;dp=10(Ap/(-20);ds=10(As/(-20);dev=dp ds;N,Wn,beta=kaiserord(f,a,dev); %求開(kāi)求開(kāi)賽窗函數(shù)的參數(shù)賽窗函數(shù)的參數(shù)b1=fir1(N,Wn,kaiser(N+1,beta); %參數(shù)參數(shù)window必須是一個(gè)長(zhǎng)度為必須是一個(gè)長(zhǎng)度為N+1的列向量的列向量wp=0.3;ws=0.46;wn1

26、=(ws+wp)/2;n1=ceil(8*pi/(wn1*pi);b2=fir1(n1,wn1,hann(n1+1); %求求Hanning窗函數(shù)的參數(shù)窗函數(shù)的參數(shù) b3=fir1(n1,wn1,hamming(n1+1); %求求Hamming窗函數(shù)的參數(shù)窗函數(shù)的參數(shù) b4=fir1(n1,wn1,blackman(n1+1); %求求 Blackman窗函數(shù)的參數(shù)窗函數(shù)的參數(shù) figure(1)subplot(411),stem(0:N,b1),ylabel(kaiser)subplot(412),stem(0:n1,b2),ylabel(Hanning)subplot(413),stem

27、(0:n1,b3),ylabel(Hamming)subplot(414),stem(0:n1,b4),ylabel(Blackman)figure(2)freqz(b2,1,length(b2);title(FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器-hanning window)figure(3)freqz(b3,1,length(b3);title(FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器-hamming window)figure(4)freqz(b4,1,length(b4);title(FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器-blackman window)figure(5)freqz(b1,1,length(b1);ti

28、tle(FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器-kaiser window)68這時(shí)實(shí)際的過(guò)渡帶寬將為：例：設(shè)計(jì)一線性相位FIR數(shù)字低通濾波器,截止頻率 ，過(guò)渡帶寬度 ，阻帶衰減 dB。2 . 0c4 . 040sA解：1)()(21)(nnsindeenhcnjjdcc)(nw40sA2)選擇窗函數(shù)，估計(jì)階數(shù)N：僅從要求阻帶衰減 dB來(lái)說(shuō)，可選擇漢寧窗、海明窗、布拉克曼窗或凱塞窗等，若再考慮從濾波器階數(shù)最小的原則出發(fā)，可選擇漢寧窗或海明窗。21N204 .0/8N8N38.021869，求得 1021N)(nwh)()()(nwnhnhhd)12cos(1 21Nn)()(sinnnc)(nRN)10(

29、2)10(2 . 0sin)1 . 0cos(1 nnn)(21nRnjNnjenheH)()(103）確定延時(shí)值 4）采用漢寧窗5）求頻率響應(yīng) 707172例：用凱塞窗函數(shù)設(shè)計(jì)一線性相位FIR數(shù)字高通濾波器，截止頻率 ，阻帶邊頻 外阻帶衰減 不小于60 dB。 6 . 0p2 . 0ssAdBAs606533. 5)7 . 8(1102. 0sA4 . 0sp1 .18285. 295. 7AsN解：1）確定階數(shù)N：可求得 再求得階數(shù)N因?qū)τ诟咄V波器，N必須為奇數(shù)，取N=21。，將所求 和N值代入下式即可73)(nwk1021N20, 1 , 010110)10()10(sin)10()1

30、0(sin)(nnnnnnnnhccHP)()()(nwnhnhkd2）計(jì)算凱塞窗函數(shù)3）確定延時(shí)值 4）計(jì)算理想高通的單位脈沖響應(yīng)5）求高通數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)：10 ,)()1/(21 1()(020NnINnInwk747576%根據(jù)給定的參數(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)根據(jù)給定的參數(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)fir高通濾波器高通濾波器clear allwp=0.6;ws=0.2;f=ws wp;% a=1 0;% 低通理想幅度低通理想幅度a=0 1; % 高通理想幅度高通理想幅度% Ap=3;As=60;% dp=1-10(Ap/(-20);ds=10(As/(-20);dev=ds ds;N,Wn,beta=kais

31、erord(f,a,dev); %求開(kāi)賽窗函數(shù)的參數(shù)求開(kāi)賽窗函數(shù)的參數(shù)b1=fir1(N,Wn,high,kaiser(N+1,beta); %window必須是一個(gè)長(zhǎng)度為必須是一個(gè)長(zhǎng)度為N+1的列的列向量向量wn1=abs(ws+wp)/2;n1=ceil(8*pi/(wn1*pi);n2=ceil(12*pi/(wn1*pi);b2=fir1(n1,wn1,high,hann(n1+1); %求求Hanning窗函數(shù)的參數(shù)窗函數(shù)的參數(shù) b3=fir1(n1,wn1,high,hamming(n1+1); %求求Hamming窗函數(shù)的參數(shù)窗函數(shù)的參數(shù) b4=fir1(n2,wn1,high,

32、blackman(n2+1); %求求 Blackman窗函數(shù)的參數(shù)窗函數(shù)的參數(shù) 77例:設(shè)計(jì)一個(gè)100階的FIR濾波器： 頻率范圍0-0.28，幅度為0.3 頻率范圍0.3-0.5，幅度為1.0 頻率范圍0.52-1.0，幅度為0.7%根據(jù)給定的參數(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)根據(jù)給定的參數(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)fir多通帶濾波器多通帶濾波器clear allf=0 0.28 0.3 0.5 0.52 1;a=0.3 0.3 1 1 0.7 0.7; %理想幅度理想幅度b1=fir2(100,f,a); figure(1)stem(0:100,b1)figure(2)freqz(b1,1,length(b1);title(F

33、IR多通帶數(shù)字濾波器多通帶數(shù)字濾波器)78a=0.3 0.3 1 1 0.7 0.7a=0.3 0.3 1 1 0.7 0.1 （1）對(duì)待設(shè)計(jì)的濾波器頻響 在 之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到一、設(shè)計(jì)方法()jdHe6.4利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器0 22( )()01jddkNHkHekN要注意線性相位的約束條件！ （2）將此 作為所設(shè)計(jì)濾波器頻響的采樣值，即令 dHk ,0,1,1dH kHkkN （3）對(duì)N點(diǎn)的H(k)求IDFT，得到h(n)，將h(n)代入z變換或DTFT公式，可得所設(shè)計(jì)濾波器的H(z)或 。jH e 也可以根據(jù)H(z)或 的內(nèi)插公式，由H(k)內(nèi)插恢復(fù)H(z)和 。 jH

34、 ejH e二、設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件（1）1型線性相位FIR濾波器（ ） 1,h nh NnN 為數(shù)奇 222()()kjkjjNddkkNH kHeHk eH eN 由于 關(guān)于 偶對(duì)稱(chēng)， ，因此 也滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)的要求。 dH 1,2jjddNHeHe 2ddHHkH 令相位?kH 21112kkNNkN （2）其它類(lèi)型線性相位FIR濾波器 頻率采樣法設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，所得的系統(tǒng)頻率響應(yīng)在每個(gè)頻率采樣點(diǎn)上嚴(yán)格與理想特性一致，各采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。 101,0,1,2,1,2,1,1,2,0,1,2122,1cccccH kH kH NkNkkNkkkkkNkkk

35、kNh(n)為偶對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù) ,0,1,2,1,2,1,1,2,0,1,12,112,120cccccHkkkkkNkkkNkkNkNkH kH Nkh(n)為偶對(duì)稱(chēng)， N為偶數(shù) 假設(shè)用理想低通濾波器作為所希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為 ，采樣點(diǎn)數(shù)為N， 將用下面公式計(jì)算c H kk和三、逼近誤差 從時(shí)域方面分析 根據(jù)頻域采樣定理， 的關(guān)系為 dNrh nhnrN Rn2kN dh nhn和由于時(shí)域混疊，引起 有偏差，可增大N來(lái)減小。 dh nhn和 從頻域方面分析 10NjkH eH k內(nèi)插函數(shù) 采樣點(diǎn)處 與理想特性一致，采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸疊加而成。逼近誤差和 的平

36、滑程度有關(guān)。jH ejdHe內(nèi)插后矩形理想特性與梯形特性頻率采樣的響應(yīng)由圖可見(jiàn)：誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。 理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插（采樣）值越接近理想值，逼近誤差越小。 110111NNkkkkNzH zH kzzNWz 1120sin221sin2NNjjkNH eH kkeNN四、過(guò)渡帶采樣的最優(yōu)設(shè)計(jì) 為了提高逼近質(zhì)量，在理想特性不連續(xù)點(diǎn)處人為加入過(guò)渡采樣點(diǎn)（13個(gè)），雖然加寬了過(guò)渡帶，但緩和了邊緣上兩采樣點(diǎn)之間的突變，將有效的減少起伏振蕩，提高阻帶衰減。過(guò)渡點(diǎn)的值，可由計(jì)算機(jī)通過(guò)線性最優(yōu)化技術(shù)來(lái)確定。 例：利用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，已知 （1）

37、采樣點(diǎn)數(shù) （2）采樣點(diǎn)數(shù) 設(shè)置兩個(gè)過(guò)渡點(diǎn) 。33,2cN34,2cN 120.5925,0.1099HkHk 解：（1）首先選擇濾波器的種類(lèi)。由于要設(shè)計(jì)的是低通，且N為奇數(shù)，故選擇1型濾波器，于是有1321,0,1,3233kkkkN由 ，確定通帶內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)2ckN2332334kk 取k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個(gè)采樣點(diǎn)（ ）,第10個(gè)采樣點(diǎn)已在通帶截止頻率之外，處于阻帶內(nèi)。1,08,25 320,9 24kkkHk08k 根據(jù) ，可得 為kN kHHkH 因此 3233,08,25320,9 24jkekkH kk 將 代入 內(nèi)插公式即得所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。 H kjH e （2）選擇濾

38、波器的種類(lèi)。由于要設(shè)計(jì)的是低通，且N為偶數(shù)，故選擇2型濾波器，于是有1331,0,1,3334kkkkN由 ，確定通帶內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)2ckN2342344kk 取k=8，應(yīng)在通帶內(nèi)設(shè)置9個(gè)采樣點(diǎn)（ ）,第10個(gè)采樣點(diǎn)已在通帶截止頻率之外，可將第10、11點(diǎn)設(shè)為過(guò)渡點(diǎn)08k 根據(jù) ，可得 為kN kHHkH108 ,0.59259 ,0.109910 ,0.109924 , 0.592525 , 12633 ,0kHkkkkkk其它因此將 代入 內(nèi) 插公式即得所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。 H kjH e 333433343334333433343334,0805925,901099,1001099,2

39、405925,25,26330,jkjkjkjkjkjkekekekH kekekek .其它仿真曲線91例 用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，通帶截止頻率2 . 0p的偶對(duì)稱(chēng)情況。rad,采樣點(diǎn)數(shù)N=20，采用h(n)=h(N-n-1)2 , 0190,95. 0221)(kkkNNk解：由于N=20，在 范圍內(nèi)等間隔采樣，在通帶共有3個(gè)采樣點(diǎn)，分別是k=0,1,2。因N為偶數(shù)，可得到1 . 0/2Nrad，采樣間隔為173019181201)(kkkkHd92)()()(kjdekHkH)(kH)(zH)(jeH)(kHd)(k將 和代入 求得 ；進(jìn)而求得或過(guò)渡帶為 。 其幅度響應(yīng)如下圖所示

40、，圖中還給出了它的單位脈沖響應(yīng) 110111NNkkkkNzH zH kzzNWz 1120sin221sin2NNjjkNH eH kkeNN102029394由上圖 d）可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶衰減很小，只有-16dB。為了改進(jìn)阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，為了保證過(guò)渡帶寬不變，將采樣點(diǎn)數(shù)增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過(guò)渡點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化，取H1=0.3904，得到 和 分別為)(kHd k346039361353904. 053904. 0401)(kkkkkkHd390,975. 0221)(kkkNNk如下圖所示。)(nh過(guò)渡帶為 ，求得的單位脈沖響應(yīng) 和幅度響應(yīng)1024029596由上圖 d）可見(jiàn)，這時(shí)阻帶衰減達(dá)到了-43dB。為了進(jìn)一步