【課件】6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、特點(diǎn)：特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減數(shù)1.1.向量加法三角形法則向量加法三角形法則: :aAbBCba aaAbBbOCba 特點(diǎn)特點(diǎn):首尾連首尾連特點(diǎn)特點(diǎn):共起點(diǎn)共起點(diǎn)b a b Ba ABAab O2.2.向量加法平行四邊形法則向量加法平行四邊形法則: :3.3.向量減法三角形法則向量減法三角形法則: :3a3a一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè) ，這種運(yùn)算叫做向量的 ，記作a，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|a| .一 向量數(shù)乘的定義(2)a(a0)的方向當(dāng) 時(shí)，與a的方向相同；當(dāng) 時(shí)，與a的方向相反.特別地，當(dāng)0時(shí)，a .當(dāng)1時(shí)，(1)aa.向量數(shù)乘

2、|a|000a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2二 向量數(shù)乘的運(yùn)算律1.設(shè)，為實(shí)數(shù)，那么(1)(a) .(2)()a .(3)(ab) .特別地，()a(a) ，(ab) .2.向量的線性運(yùn)算向量的 、 、 運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)，1，2，恒有(1a2b) .()aaaab(a)ab加減數(shù)乘1a2b例1(1)若a2bc，則化簡(jiǎn)3(a2b)2(3bc)2(ab)等于（ ） A.a B.b C.c D.以上都不對(duì)題類(lèi)一、向量的線性運(yùn)算解 原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.(2)若3(xa)2(x2a)4(

3、xab)0，則x_.解 由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0， 所以x4b3a.4b3a【悟】向量線性運(yùn)算的基本方法( (1)1)類(lèi)比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)類(lèi)比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、 移項(xiàng)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用， 但是但是這里的這里的“同類(lèi)項(xiàng)同類(lèi)項(xiàng)”“”“公因式公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù). .( (2)2)方程法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把

4、所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方程法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方方 法法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算. .【練1】計(jì)算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.題類(lèi)二、用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量的兩種方法【悟】(1)直接法(2)方程法當(dāng)當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建平行四邊形法則建立立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，

5、然后解關(guān)于所求關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的向量的方程方程. .題類(lèi)二、用已知向量表示其他向量:(1)0,.a abbaab對(duì)對(duì)于于向向量量 ，以以及及實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 如如果果， 那那么么 向向量量 與與 ，事事共共線線實(shí)實(shí)(|)0|-2|abbaabaabbaabba向向量量 與與 共共線線，且且向向量量的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度是是向向量量 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度 即即，那那么么當(dāng)當(dāng) 與與 同同向向時(shí)時(shí)， 有有，當(dāng)當(dāng) 與與 反反向向反反過(guò)過(guò)來(lái)來(lái)， 已已時(shí)時(shí) ，有有知知的的 倍倍。三向量共線定理向量向量a(a0)與與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使使 .b

6、a三向量共線定理思考向量共線定理中為什么規(guī)定a0?答案若將條件a0去掉，即當(dāng)a0時(shí)，顯然a與b共線.(1)若b0，則不存在實(shí)數(shù)，使ba.(2)若b0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有ba.思考辨析 判斷正誤 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若向量b與a共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)使ba.()2.若ba，則a與b共線.()3.若a0，則a0.()4.|a|a|.()題類(lèi)三、向量共線的判定及應(yīng)用,a0a bb 設(shè)是兩個(gè)向量，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，在中，例2(1)0ab若 ， 至少有一個(gè)不為，則與共線，(2)0ab若 與 共線， 至少有一個(gè)不為；000-ababab ， 向量 與向量 共線。證

7、明： (1)， 至少有一個(gè)不為，不妨，由=-10a0=-10a0abRbaabbb 向量 與向量 共線，使得即（ ），在中，至少存在 、，使得成立。證明： (2)，,0/ / )0abbaabba 是兩個(gè)向量，是兩個(gè)實(shí)數(shù)與 共線（， 至少有一若，則個(gè)不為，題類(lèi)三、向量共線的判定及應(yīng)用,a0a bb 設(shè)是兩個(gè)向量，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，在中，例2(3)0ab若只有， 全為時(shí)才成立，則與不共線，(4)= =0ab 若 與 不共線，則。00abab反證，假設(shè)向量 與向量共線，則存在使，與題設(shè)矛盾， 原結(jié)論正確。證明： (3)，至少有一個(gè)不為， 0a0bab反證，若 、 不全為 ，由，向量與向量共線，與題設(shè)矛盾

8、， 原結(jié)論成立。證明： (4),00a babab 是兩與 不共個(gè)向量，是兩個(gè)實(shí)數(shù)，若，線則三向量共線定理（另一種敘述）,0a bab ：是兩個(gè)向量，是【兩個(gè)實(shí)數(shù)，若理】，則定/ / )0abab與 共線（， 至少（ ）有一個(gè)不為20ab與 不共線（1）1212123,4.e eeekeek 例例 ：設(shè)設(shè)是是兩兩個(gè)個(gè)不不共共線線的的向向量量，而而和和共共線線， 求求實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 的的值值12121212-4-4eekeeRkeeee 解：和和共共線線，使使得得（），1212-1-40keeee 即即（） （），又又和和不不共共線線，-011-404kk，題類(lèi)三、向量共線的判定及應(yīng)用例4設(shè)a，b是不

9、共線的兩個(gè)向量.A，B，C三點(diǎn)共線. 132.22tt若，共線，求實(shí)數(shù)的值baab題類(lèi)三、向量共線的判定及應(yīng)用例4設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量. 132.22tt若，共線，求實(shí)數(shù)的值baab 13132-2222tRt 解：，共共 線線 ， 使使 得得（） ，baabbaab13(-1)022t即即 （），與與 不不 共共 線線 ，abab11=03232-1=0=-23tt131-=.223tt當(dāng)，共共 線線 時(shí)時(shí)baab【悟】(1)證明或判斷三點(diǎn)共線的方法 要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)，使得 即可.(2)利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相

10、應(yīng)向量系數(shù)相等求解.A，B，DA，B，D三點(diǎn)共線.核心素養(yǎng)HE XIN SU YANG三點(diǎn)共線的常用結(jié)論A.1 B.2 C.3 D.4解 連接AO，O是BC的中點(diǎn)，又M，O，N三點(diǎn)共線，則mn2.素養(yǎng)判斷三點(diǎn)共線的一個(gè)常用結(jié)論： + =1.OxyOAxOB yOCABx yC 若， 為直線外一點(diǎn)存在實(shí)數(shù) 、， ， 三點(diǎn)共線使 ，則課堂練習(xí)課堂練習(xí)KE TANG LIAN XI課堂練習(xí)1.下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是 (3)2a6a； 2(ab)(2ba)3a； (a2b)(2ba)0. A.0 B.1 C.2 D.3解 據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算和加減運(yùn)算規(guī)律知正確； 中，(a2b)(2ba)a2b2ba0，是零向量，而不是0，所以該運(yùn) 算錯(cuò)誤. 所以運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為2.課堂練習(xí)解 因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，課堂練習(xí)所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確.4.化簡(jiǎn)4(a3b)6(2ba)_.解 4(a3b)6(2ba