第三章多維隨機(jī)變量及其分布第節(jié)ppt課件

1、 在有些隨機(jī)景象中，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不能只在有些隨機(jī)景象中，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不能只用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描畫(huà)，而要同時(shí)用幾個(gè)隨機(jī)變用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描畫(huà)，而要同時(shí)用幾個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描畫(huà)。如對(duì)于鋼的成分的研討，需求同時(shí)指量來(lái)描畫(huà)。如對(duì)于鋼的成分的研討，需求同時(shí)指出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研討它出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研討它們之間的聯(lián)絡(luò)，就該當(dāng)同時(shí)思索假設(shè)干個(gè)隨機(jī)變量們之間的聯(lián)絡(luò)，就該當(dāng)同時(shí)思索假設(shè)干個(gè)隨機(jī)變量即多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律即多維隨機(jī)變量及其取值規(guī)律-多維分布。多維分布。 本章著重引見(jiàn)二維的情況，至于二維以上的本章著重引見(jiàn)二維的情況，至于二維以上的情況可由二維類(lèi)似推得。情況可由

2、二維類(lèi)似推得。 普通地，設(shè)普通地，設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，它的樣本是一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，它的樣本空間是空間是S，再設(shè)，再設(shè)X和和Y是定義在是定義在S上兩個(gè)隨機(jī)變上兩個(gè)隨機(jī)變量。量。 由它們構(gòu)成的一個(gè)二維向量由它們構(gòu)成的一個(gè)二維向量(X,Y)叫做二叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與的性質(zhì)不僅與X及及Y有有關(guān)關(guān), 而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，因此， 逐個(gè)地研討逐個(gè)地研討X和和Y的性質(zhì)是不夠的，的性質(zhì)是不夠的， 還還需將需將(X,Y)作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)展研討。作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)展研討。 和

3、一維的情況類(lèi)似，我們也是借助于和一維的情況類(lèi)似，我們也是借助于 “分分布函數(shù)布函數(shù) 來(lái)研討二維隨機(jī)變量。來(lái)研討二維隨機(jī)變量。 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于恣意實(shí)數(shù)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于恣意實(shí)數(shù)x, y，二元函數(shù)二元函數(shù))()(),(yYxXPyxF ,yYxXP 稱(chēng)為二維隨機(jī)變量稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量的分布函數(shù)或隨機(jī)變量X和和Y的結(jié)合分布函數(shù)。的結(jié)合分布函數(shù)。xy(x,y),2121yYyxXxP ,22yYxXP ,12yYxXP ,21yYxXP .,11yYxXP ).,(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF xy(x2, y2) (x1

4、, y1) (1) F(x, y) 是變量是變量 x, y 的單調(diào)不減函數(shù)，的單調(diào)不減函數(shù)，即對(duì)于恣意固定的即對(duì)于恣意固定的 y, 當(dāng)當(dāng) x2x1 時(shí)時(shí), 有有),(),(12yxFyxF 對(duì)于恣意固定的對(duì)于恣意固定的 x, 當(dāng)當(dāng) y2y1 時(shí)時(shí), 有有);,(),(12yxFyxF (2)且且, 1),(0 yxF對(duì)于恣意固定的對(duì)于恣意固定的 y，有，有, 0),(lim),( yxFyFx對(duì)于恣意固定的對(duì)于恣意固定的 x，有，有, 0),(lim),( yxFxFy, 0),(lim),( yxFFyx. 1),(lim),( yxFFyx(3) F(x, y) 關(guān)于關(guān)于x 右延續(xù)，關(guān)于右

5、延續(xù)，關(guān)于y 也右延續(xù)，也右延續(xù)，).,()0,(),(), 0(yxFyxFyxFyxF 即即 如二維隨機(jī)變量如二維隨機(jī)變量(X,Y)一切能夠取的值是有一切能夠取的值是有限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)，那么稱(chēng)限對(duì)或無(wú)限可列對(duì)，那么稱(chēng)(X,Y)是二維離散型隨是二維離散型隨機(jī)變量。機(jī)變量。 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)一切能夠取的一切能夠取的值為值為), 2 , 1,(),( jiyxji), 2 , 1,(, jipyYxXPijji記記 那么稱(chēng)上述一系列等式為二維離散型隨機(jī)變那么稱(chēng)上述一系列等式為二維離散型隨機(jī)變量量(X,Y)的概率分布律，的概率分布律， 或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量X和和Y

6、的聯(lián)的聯(lián)合概率分布律。合概率分布律。 顯然有：顯然有：, 0 ijp. 1 ijijp隨機(jī)變量隨機(jī)變量X和和Y的結(jié)合概率分布律也可用表格表示的結(jié)合概率分布律也可用表格表示ixxx21XY121111ixppy222122ixppyijjjjxppy21例例1：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X在在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等能夠地取四個(gè)整數(shù)中等能夠地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在在1 X中等能夠地取一中等能夠地取一整數(shù)值。試求整數(shù)值。試求(X, Y)的分布律。的分布律。(X, Y)的一切能夠的取值為：的一切能夠的取值為：X 等能夠地取等能夠地取1,2,3,4中的一個(gè)，中的一個(gè)，Y 等能

7、夠地取等能夠地取1到到 X 之間的整數(shù)值。之間的整數(shù)值。,jYiXP 且且|iXPiXjYP i1 41 ., 4 , 3 , 2 , 1,41ijii 即可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的概率分布表。即可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的概率分布表。離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X和和Y的結(jié)合分布函數(shù)的結(jié)合分布函數(shù)F(x, y)具有方具有方式：式： xixyjyijpyxF,),(.,求和求和的的其中和式是對(duì)一切滿足其中和式是對(duì)一切滿足jiyyxxji 與一維延續(xù)型隨機(jī)變量類(lèi)似，對(duì)二維隨機(jī)變量與一維延續(xù)型隨機(jī)變量類(lèi)似，對(duì)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x, y), 假設(shè)存在非負(fù)的函數(shù)假設(shè)存在非負(fù)的函數(shù) f (x, y), 使使得對(duì)恣

8、意的實(shí)數(shù)得對(duì)恣意的實(shí)數(shù)x, y，有，有 yxdudvvufyxF,),(),(那么稱(chēng)那么稱(chēng) (X, Y) 是延續(xù)型二維隨機(jī)變量，而是延續(xù)型二維隨機(jī)變量，而 f (x, y) 稱(chēng)稱(chēng)為為二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X, Y) 的概率密度或隨機(jī)變量的概率密度或隨機(jī)變量X和和Y的的結(jié)合概率密度。結(jié)合概率密度。, 0),()1( yxf, 1),(),()2( Fdxdyyxf則則連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)若若),(),()3(yxyxf),(),(2yxfyxyxF (4) 設(shè)設(shè) G 是是 xoy 平面上的一個(gè)區(qū)域，那么點(diǎn)平面上的一個(gè)區(qū)域，那么點(diǎn) (X, Y) 落落 在在G 內(nèi)的概率內(nèi)的概率.),(),( Gd

9、xdyyxfGYXP例例2：設(shè)延續(xù)型二維隨機(jī)變量：設(shè)延續(xù)型二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為的概率密度為 222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf.0)2(;)1(XYPA 概率概率常數(shù)常數(shù)求求dxdyyxf ),(1)1(dxdyyxRARyx 22222)( RrdrrRdA020)( ,33RA .33RA 例例2：設(shè)延續(xù)型二維隨機(jī)變量：設(shè)延續(xù)型二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為的概率密度為 222222220)(),(RyxRyxyxRAyxf.0)2(;)1(XYPA 概率概率常數(shù)常數(shù)求求xy y=xGG10)2(XYP 概概率率 GdxdyyxfGYXP),(),

10、( 1223)(3GdxdyyxRR RrdrrRdR0403)(3 .81 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體，具有分作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)布函數(shù)F(x, y)。但。但X，Y 都是隨機(jī)變量，分別也都是隨機(jī)變量，分別也有本身的分布函數(shù)。如將它們分別記為有本身的分布函數(shù)。如將它們分別記為),(xFX),(yFY 那么依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量那么依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù)。的邊緣分布函數(shù)。)(xXPxFX , yxXP),( xF同理可得同理可得).,()(yFyFY 對(duì)于離散型隨機(jī)變量對(duì)于離散型隨機(jī)變量(X, Y), xixyjyijpyx

11、F,),(因?yàn)橐驗(yàn)?,()( xFxFX所所以以 xixjijp1 xixixXP), 2 , 1(1 ipxXPjiji所所以以), 2 , 1(1 jpyYPiijj同同理理), 2 , 1(1 ipxXPjiji), 2 , 1(1 jpyYPiijj記記), 2 , 1(1 ixXPppijiji), 2 , 1(1 jyYPppjiijj 分別稱(chēng)上述兩式為二維離散型隨機(jī)變量分別稱(chēng)上述兩式為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。對(duì)于二維延續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)，設(shè)其概率密度為，設(shè)其概率密度為 f (x, y)。),()( xF

12、xFX由由 xdxdyyxf),(知知X是一延續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度函數(shù)為是一延續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度函數(shù)為.),()( dyyxfxfX同理同理, Y也是一延續(xù)型隨機(jī)變量也是一延續(xù)型隨機(jī)變量, 其概率密度函數(shù)為其概率密度函數(shù)為.),()( dxyxfyfY 它們分別被稱(chēng)為二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。例例1：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：求關(guān)于求關(guān)于 X 和關(guān)于和關(guān)于Y 的邊緣分布律。的邊緣分布律。012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211 XY), 2 , 1(1

13、ixXPppijiji), 2 , 1(1 jyYPppjiijj3/16/12/1 ip3/13/13/1jp 例例2：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：的概率密度為： 其其它它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf求關(guān)于求關(guān)于 X 和關(guān)于和關(guān)于 Y 的邊緣分布密度。的邊緣分布密度。 dyyxfxfX),()(1y = x xxdyxyxx010)2(8 . 41, 00或或 10)2(4 . 21, 002xxxxx或或例例2：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：的概率密度為： 其其它它00, 10)2(8 . 4)

14、,(xyxxyyxf求關(guān)于求關(guān)于 X 和關(guān)于和關(guān)于 Y 的邊緣分布密度。的邊緣分布密度。 dxyxfyfY),()(1y = x 110)2(8 . 41, 00yydxxyyy或或 10)2223(8 . 41, 002yyyyyy或或例例3：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：的概率密度為：,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常數(shù)數(shù)，其其中中的二維正態(tài)分布，的二維正態(tài)分布，服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱(chēng)則稱(chēng) ,),(2121YX),(),(222121 NYX記

15、記為為),(),(222121 NYX如如果果那么可求得那么可求得 xexfxX21212)(121)( yeyfxY22222)(221)( 由此可見(jiàn)，二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是由此可見(jiàn)，二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴參數(shù)一維正態(tài)分布，并且都不依賴參數(shù) , 亦即對(duì)于給亦即對(duì)于給定的定的 不同的不同的 對(duì)于不同的二維正態(tài)分對(duì)于不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布卻都是一樣的。布，但它們的邊緣分布卻都是一樣的。 ,2121 這一現(xiàn)實(shí)闡明，由結(jié)合分布可確定邊緣分布，這一現(xiàn)實(shí)闡明，由結(jié)合分布可確定邊緣分布，但反之不然。但反之不然。 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其

16、分布律為是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為), 2 , 1,(, jipyYxXPijji(X,Y)關(guān)于關(guān)于X 和關(guān)于和關(guān)于Y 的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為), 2 , 1(,1, ippxXPjijii), 2 , 1(,1, jppyYPiijjj), 2 , 1(| iyYxXPji即即求求, 0, jp設(shè)設(shè)jyY 我們來(lái)思索在事件我們來(lái)思索在事件已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的概率：發(fā)生的概率：ixX 顯然顯然,|jjijiyYPyYxXPyYxXP ), 2 , 1(, ippjji易知，上述條件概率具有分布律的特征：易知，上述條件概率具有分布律的特征：), 2 ,

17、 1(, 0|)1( iyYxXPji 1,1|)2(ijjiijippyYxXP 1,1ijijpp. 1 于是，我們有于是，我們有 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)固定的是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)固定的 j，, 0 jyYP若若), 2 , 1(|, ippyYxXPjjiji則則稱(chēng)稱(chēng)為在條件為在條件 下隨機(jī)變量下隨機(jī)變量X 的條件分布律。的條件分布律。jyY 同理，對(duì)于固定的同理，對(duì)于固定的 i，, 0 ixXP若若), 2 , 1(|, jppxXyYPijiij則則稱(chēng)稱(chēng)為在條件為在條件 下隨機(jī)變量下隨機(jī)變量Y 的條件分布律。的條件分布律。ixX 現(xiàn)設(shè)現(xiàn)設(shè)(X,Y)是二維延續(xù)型隨機(jī)

18、變量，是二維延續(xù)型隨機(jī)變量， 這時(shí)由于對(duì)恣意這時(shí)由于對(duì)恣意的的X, Y, 有有 , 0 xXP, 0 yYP 因此不能由因此不能由條件概率公式直接引入條件概率公式直接引入 “條件分布函數(shù)，下面我們條件分布函數(shù)，下面我們用極限方式來(lái)處置。用極限方式來(lái)處置。給定給定 y，設(shè)對(duì)任意固定的設(shè)對(duì)任意固定的0 , 0 yYyP于是對(duì)恣意于是對(duì)恣意 x ，有，有,| yYyPyYyxXPyYyxXP由此引入下述定義：由此引入下述定義：給定給定 y，設(shè)對(duì)任意固定的設(shè)對(duì)任意固定的0 , 0 yYyP有有且對(duì)恣意且對(duì)恣意 x ，極限，極限存在，存在，,lim|lim00 yYyPyYyxXPyYyxXP那么稱(chēng)此極

19、限為在條件那么稱(chēng)此極限為在條件 Y = y 下隨機(jī)變量下隨機(jī)變量 X 的條件的條件分布函數(shù)，分布函數(shù)，|yYxXP 記為記為).|(|yxFYX或或 設(shè)(X, Y)的分布函數(shù)為F(x,y), 概率密度為f (x,y)， 假設(shè)在點(diǎn)假設(shè)在點(diǎn)(x,y)處，處， f (x,y)延續(xù)，邊緣概率密度延續(xù)，邊緣概率密度 連連續(xù)，且續(xù)，且)(yfY, 0)( yfY那么有那么有,lim)|(0| yYyPyYyxXPyxFYX)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY /)()(/),(),(lim0yFyFyxFyxFYY dyydFyyxFY)(),( )(),(yfduyufYx .)(),(

20、 xYduyfyuf.)(),()|(| xYYXduyfyufyxF條件概率密度，條件概率密度，的的下隨機(jī)變量下隨機(jī)變量為在條件為在條件若記若記XyYyxfYX )|(|那么由上式可得那么由上式可得.)(),()|(|yfyxfyxfYYX .)(),()|()|(|xfyxfxyfxyFXXYXY 和和同同理理可可定定義義例例1：設(shè)：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A。假設(shè)。假設(shè)二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它0),(1),(GyxAyxf那么稱(chēng)那么稱(chēng)(X, Y)在在G上服從均勻分布?，F(xiàn)設(shè)二維隨機(jī)變上服從均勻分布。現(xiàn)設(shè)二維隨

21、機(jī)變量量(X, Y)在圓在圓 上服從均勻分布，求條件上服從均勻分布，求條件概率密度概率密度122 yx).|(|yxfYX由假設(shè)隨機(jī)變量由假設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其它其它011),(22yxyxf 其它其它011),(22yxyxf 由假設(shè)隨機(jī)變量由假設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)具有概率密度具有概率密度且有邊緣概率密度且有邊緣概率密度 dxyxfyfY),()( 其它其它011,12121122yydxyy 其它其它011),(22yxyxf 其它其它011,121)(21122yydxyfyyY 時(shí)時(shí)有有于于是是當(dāng)當(dāng)11 y 22|1211)/2(/1)|(yyyxfYX

22、 2211yxy 0其它其它例例2：設(shè)二維隨機(jī)變量：設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)具有概率密度具有概率密度 其其它它010,|1),(xxyyxf求條件概率密度求條件概率密度).|(|xyfXY dyyxfxfX),()( 101xdyxx其它其它0 其它其它0102xx于是當(dāng)于是當(dāng) 0 x 1 時(shí)有時(shí)有 取取其其它它值值yxyxxfyxfxyfXXY0|21)(),()|(| 在這一節(jié)中，我們將利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立在這一節(jié)中，我們將利用兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念。為此，的概念引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念。為此，我們有：我們有：函函數(shù)數(shù)，的的分分布布函函數(shù)數(shù)和和邊邊緣緣

23、分分布布量量分分別別是是二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變?cè)O(shè)設(shè)),()(),(),(YXyFxFyxFYX假設(shè)對(duì)于任假設(shè)對(duì)于任意的意的x, y，有，有,yYPxXPyYxXP ),()(),(yFxFyxFYX 即即那么稱(chēng)隨機(jī)變量那么稱(chēng)隨機(jī)變量 X 和和 Y 是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)，X 和和 Y 是相互獨(dú)立的充要條件是：是相互獨(dú)立的充要條件是：,jijiyYPxXPyYxXP ), 2 , 1(, ipppjiji即即012/112/3212/112/112/22/312/3012/10211 XY3/16/12/1 ip3/13/13/1jp 例

24、例1：設(shè)：設(shè)(X,Y)的分布律為：的分布律為：X 與與Y 不獨(dú)立。不獨(dú)立。對(duì)于二維延續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，X 和和 Y 是相互獨(dú)立的充要條件是：是相互獨(dú)立的充要條件是：).)( )(),( yYxyxXdyyfdxxfdxdyyxf即即),()(),(yFxFyxFYX 兩邊對(duì)兩邊對(duì)x, y 求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得：求二階混合偏導(dǎo)數(shù)，得：),()(),(yfxfyxfYX 續(xù)點(diǎn)處成立。續(xù)點(diǎn)處成立。的一切連的一切連這一等式只須在這一等式只須在)(),(),(yfxfyxfYX例例2：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：的概率密度為： 其其它它0

25、0, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf前面已求得關(guān)于前面已求得關(guān)于 X 和關(guān)于和關(guān)于 Y 的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 10)2(4 . 21, 00)(2xxxxxxfX或或 10)2223(8 . 41, 00)(2yyyyyyyfY或或 其其它它00, 10)2(8 . 4),(xyxxyyxf 10)2(4 . 21, 00)(2xxxxxxfX或或 10)2223(8 . 41, 00)(2yyyyyyyfY或或)41,21(取取點(diǎn)點(diǎn),59)41,21( f則則,109)21( Xf,8099)41( Yf)41()21()41,21(YXfff 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?X

26、與與Y 不獨(dú)立。不獨(dú)立。例例3：二維正態(tài)隨機(jī)變量：二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：的概率密度為：,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且且都都是是常常數(shù)數(shù)，其其中中那么可求得那么可求得 xexfxX21212)(121)( yeyfxY22222)(221)( 2)(2)(21exp21)()(2222212121 xxyfxfYX，因因此此，如如果果0 ),()(),(,yfxfyxfyxYX 有有則對(duì)于所有則對(duì)于所有即即X和和Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。反之，反之，假設(shè)假設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立

27、，,)(),(),(都是連續(xù)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)由于由于yfxfyxfYX),()(),(,yfxfyxfyxYX 有有故故對(duì)對(duì)于于所所有有的的,21 yx特特別別，令令那么從上述等式可得：那么從上述等式可得：,2112121221 . 0 從從而而對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y)，X和和Y相互獨(dú)立的充要條件是：相互獨(dú)立的充要條件是：. 0 參數(shù)參數(shù)例例4：設(shè)：設(shè)X和和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為：分別為： , 00, 0)(xxexfxX , 00, 0)(yyeyfyY YXYXZ當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)是常數(shù)。引入隨機(jī)變量是常數(shù)。引入隨機(jī)變量其中

28、其中010, 0 的分布律和分布函數(shù)。的分布律和分布函數(shù)。求求求條件概率密度求條件概率密度ZyxfYX)2();|()1(|)()(),()1(yfxfyxfYX 其它其它00, 0 yxeyx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 y)(),()|(|yfyxfyxfYYX , 00, 0 xxex 1)2(YXPZP yxdxdyyxf),( Ayxdxdye A xyxdxdyedx 0 0YXPZP 11YXP 所以所以 Z 的分布律為的分布律為 kpZ10 Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 111000)(zzzzFZ 1. 離散型的情形：離散型的情形：例例1：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)

29、的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為6/26/126/26/1110XY求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z = X+Y 的的分布律。分布律。 Z = X+Y 的能夠取的值為的能夠取的值為 1, 2, 3,11 YXPZP且且1, 0 YXP, 6/1 22 YXPZP1, 12, 0 YXPYXP, 2/16/26/1 例例1：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合分布律為的結(jié)合分布律為6/26/126/26/1110XY求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z = X+Y 的的分布律。分布律。 Z = X+Y 的能夠取的值為的能夠取的值為 1, 2, 3,11 YXPZP且且1, 0 YXP, 6/1 2

30、2 YXPZP1, 12, 0 YXPYXP, 2/16/26/1 33 YXPZP2, 1 YXP. 3/16/2 所以隨機(jī)變量所以隨機(jī)變量 Z = X+Y的分布律為的分布律為3/12/16/1321kpZ2. 延續(xù)型的情形：延續(xù)型的情形：的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為則則，的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf),(xyx+y=z dydxyxfyz),(yux dyduyyufz),(uyz zdudyyyuf),(所以所以 Z 的概率密度為的概率密度為.),()( dyyyzfzfZ所以所

31、以 Z 的概率密度為的概率密度為.),()( dyyyzfzfZ由由 X, Y 的對(duì)稱(chēng)性，的對(duì)稱(chēng)性，)(zfZ又可寫(xiě)成又可寫(xiě)成.),()( dxxzxfzfZ 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) X 和和 Y 相互獨(dú)立時(shí)，設(shè)相互獨(dú)立時(shí)，設(shè) (X, Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣概率密度分別為的邊緣概率密度分別為),(),(yfxfYX那么上式分別可化為那么上式分別可化為.)()()( dyyfyzfzfYXZ.)()()( dxxzfxfzfYXZ或或記為記為).()(yfxfYX ).()()(yfxfzfYXZ 即即例例2：設(shè)：設(shè)X和和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從都服

32、從N(0, 1)分布，其概率密度為分布，其概率密度為 xexfxX2221)( yeyfyY2221)( 求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。.)()()( dxxzfxfzfYXZ dxeexzx2)(22221 dxeezxz22)2(421 dxeezfzxzZ22)2(421)( 2zxt dteetz22421 4221ze4221ze 即即 Z 服從服從N(0, 2)分布。分布。同理可證，如同理可證，如X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且),(211 NX),(222 NY).,(222121 NYXZ則則更普通地，利用數(shù)學(xué)歸納法可證：更普通地，利用數(shù)學(xué)歸納法可證：相互獨(dú)立，

33、且相互獨(dú)立，且如如nXXX,21),(2iiiNX ).,(1211 niiniiniiNXZ 則則例例3：設(shè)：設(shè)X和和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 xexfxX2221)( 即即 其它其它即即021)(bybbyfY求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。),(2 NX上均勻分布，上均勻分布，服從服從),(bbY )()()(yfxfzfYXZ dyyfyzfYX)()( bbyzdybe212122)(21 bbyzZdybezf2121)(22)(21 bbyzdyeb22)(21221 tyz bzbztdteb22221)()(21 bzbzb例例4：設(shè)：設(shè)X和和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為密度分別為,0101)( 其它其它xxfX求求 Z = X+Y 的概率密度。的概率密度。,00)( 其其它它yeyfyY.)()()( dyyfyzfzfYXZ 010yyz 01yzyz,0)1(時(shí)時(shí) z yyzyz01. 0)( zfZy0zz -1,10)2(時(shí)