2線段垂直平分線的性質(zhì)

1、線段的垂直平分線線段的垂直平分線（第二課時(shí)）（第二課時(shí)） 如果如果一個(gè)平面圖形一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊沿一條直線折疊,直線直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的這條直線就是它的對(duì)稱軸。對(duì)稱軸。這時(shí)，這時(shí)，也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，如果把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱，也稱軸對(duì)稱軸對(duì)稱。這條直

2、線叫做這條直線叫做對(duì)稱軸對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn) 回憶回憶：軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形有什么區(qū)別：軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形有什么區(qū)別和聯(lián)系？和聯(lián)系？ 1、軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，它反、軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，它反映了一個(gè)圖形的特殊形狀；而軸對(duì)稱反映了一個(gè)圖形的特殊形狀；而軸對(duì)稱反映的是兩個(gè)全等形的一種特殊位置。映的是兩個(gè)全等形的一種特殊位置。 2、把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)、把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)整體，它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形就關(guān)于這

3、條直線對(duì)稱。兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線對(duì)稱。 3、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等嗎、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等嗎?全全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱嗎？等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱嗎？ 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，全等成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等，全等的兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱。的兩個(gè)圖形不一定成軸對(duì)稱。定義定義：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條：經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的直線，叫做這條線段的線段的垂直平分線，也叫中垂線垂直平分線，也叫中垂線. 軸對(duì)稱的性質(zhì)：軸對(duì)稱的性質(zhì)：如果兩個(gè)圖如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的所連線段軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的所連線段

4、的垂直平分線的垂直平分線 類似的，類似的， 軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線的垂直平分線 ABCD復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如圖，木條如圖，木條l與與AB釘在一起，釘在一起，l垂直平分垂直平分AB，點(diǎn)，點(diǎn)P是是l上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在在l上移動(dòng)時(shí)，分別量出點(diǎn)上移動(dòng)時(shí)，分別量出點(diǎn)P到到A、B的距離，的距離， 你有什么發(fā)現(xiàn)？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能證明你的結(jié)論嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？ 已知：已知：直線直線LAB，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)O，AO=BO， 點(diǎn)點(diǎn)P在直線在直線L上。上。求證：求證：PA=PB證明：證明： LAB AOP=BOP=9

5、0 在在AOP和和BOP中中 OA=OB AOP=BOP OP=OP AOP BOP( SAS) AP=BP 探究探究POlBA演示演示如果如果PAPB，那，那么點(diǎn)么點(diǎn)P是否在線是否在線段段AB的垂直平分的垂直平分線上？線上？ABPC線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線線段垂直平分線上的上的點(diǎn)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離距離相等相等. PC垂直平分垂直平分AB PAPB探究探究ABPC求證：求證：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。垂直平分線上。這樣文字表述的證這樣文字表述的證明題，應(yīng)該有哪些明題

6、，應(yīng)該有哪些步驟呢？步驟呢？已知：已知：如圖，平面內(nèi)點(diǎn)如圖，平面內(nèi)點(diǎn)P滿足滿足PA=PB。求證：求證：點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上。的垂直平分線上。證明：證明：作作PCAB，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)C 在在RtPAC與與RtPBC中中 PA = PB PC = PC RtPAC RtPBC (HL) AC = BC PCAB PC垂直平分垂直平分AB 點(diǎn)點(diǎn)P在在AB的垂直平分線上的垂直平分線上 PAPB P點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上還有其他證明方法嗎？還有其他證明方法嗎？ABPC 從上面的結(jié)論看出：從上面的結(jié)論看出： 線段垂直平分線線段垂直平分線l上的點(diǎn)與這上的點(diǎn)與這條線段條線

7、段A、B兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 反過(guò)來(lái)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)反過(guò)來(lái)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線直平分線l上。上。 所以，直線所以，直線l可以看成與可以看成與A、B兩點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合。兩點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合。即即線段的垂直平分線可以看作是線段的垂直平分線可以看作是到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。點(diǎn)的集合。l探究探究例例1 尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線。尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線。已知：已知：直線直線AB和和AB外一點(diǎn)外一點(diǎn)C。求作：求作：AB的

8、垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。作法作法：（：（1）任意取一點(diǎn)）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)，使點(diǎn)K與點(diǎn)與點(diǎn)C在在AB的兩旁；的兩旁；（2）以點(diǎn)）以點(diǎn)C為圓心，為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)D和和E；（3）分別以點(diǎn)）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)和點(diǎn)E為圓心，大于為圓心，大于 DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)弧交于點(diǎn)F；（4）作直線）作直線CF；直線直線CF就是所求作的垂線。就是所求作的垂線。21還記得如何經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線嗎？還記得如何經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線嗎？想一想：想一想：為什么直線為什么直線CF就是求作的垂線？就是求作的垂線？例例1、 如圖，如

9、圖，ADBC，BD=DC，點(diǎn)，點(diǎn)C在在AE的垂直的垂直平分線上，平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與與DE有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ADBEC證明：證明： ADBC BD=DC AD是線段是線段BC的垂直平分線的垂直平分線 AB=AC(線段垂直平分線上的點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等) 點(diǎn)點(diǎn)C在在AE的垂直平分線上的垂直平分線上 AC=CE 又又 AB=AC AB=AC=CE 又又 BD=CD AB+BD=CE+CD=DE證明：證明： AB=ACAB=AC 點(diǎn)點(diǎn)A A在線段在線段BCBC的垂直平分線上的垂直平分

10、線上( (到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上段的垂直平分線上) ) BM=MC BM=MC 點(diǎn)點(diǎn)M M在線段在線段BCBC的垂直平分線上的垂直平分線上 直線直線AMAM為線段為線段BCBC的垂直平分線的垂直平分線 （過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線）（過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線）習(xí)題習(xí)題2.如圖，如圖，AB=AC，MB=MC，直線，直線AM是線段是線段BC的垂直平分線嗎？的垂直平分線嗎？DBCAM3如圖，已知如圖，已知AC = 14cm，AB的垂直平分線的垂直平分線交交AC于于D。1）若）若BC = 8cm，則，則BCD的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是 cm2）若）若D

11、BC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為24cm，則，則BC = cm；CBADE 如圖，八（如圖，八（1）班與八（）班與八（2）班兩）班兩個(gè)班的學(xué)生分別在個(gè)班的學(xué)生分別在M、N兩處參加植樹勞動(dòng)，兩處參加植樹勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使使P到兩條道路的距離相等，到兩條道路的距離相等，且且PM=PN，請(qǐng)你用折紙的方法找出請(qǐng)你用折紙的方法找出P點(diǎn)并點(diǎn)并說(shuō)明理由。說(shuō)明理由。 MNBCA 如圖：ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P求證：PAPBPC 點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平 分線上呢？由此你還能得到什么結(jié)論？ABCP小結(jié)小結(jié)1、線段垂直平分線的性質(zhì)：、線段垂直平分線的性質(zhì)： 線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的