大一高數(shù)練習冊參考答案

1、高數(shù)練習冊參考答案高數(shù)練習冊參考答案10級習習題題解解答答參參考考第一章第一章求定義域求定義域. 16116.23 xxxyA0)3)(2)(1( xxx), 32 , 1 :D)arcsin(1.2xxyB 01|22xxxx251, 1()1 , 0()0 ,251: DxxyD1arctan37. 0037xx37, 0()0 ,(:DxyCsinln. 0sin x )12(2 kxk,)12(2|:ZkkxkxD )()(,1 , 0)(. 2axfaxfDxf 求求的的定定義義域域是是設(shè)設(shè))0 a（ 1010axax axaaxa11時時，若若：aa 121 a1 , :aaD 時

2、，時，若：若：21 a :D）或或（打（打判斷下列函數(shù)是否相同判斷下列函數(shù)是否相同 o. 3)()(,)(.2 xxgxxfA)(1)(,)(.3334oxxxgxxxfB )(24)(, 2)(.2 xxxgxxfC）（ xxxgxxfD|)(,sgn)(.、求求xxx|lim. 40 、xxx|lim0 xxx|lim0 xxx|lim0 1lim0 xxxxxx|lim0 1lim0 xxx不存在不存在xxx|lim0、求：求：xxelim. 5、xxe limxxe lim xxelim0lim xxe不不存存在在xxe lim0| )(|lim)(lim. 600 xfxfxxxx語

3、言證明：語言證明：用用 證：證： 0)(lim0 xfxx時時，當當 |0, 0, 00 xx | )(|xf恒有：恒有： | )(|xf |0| )(|xf0| )(|lim0 xfxx計算極限：計算極限：. 772423lim.321 xxxAx11lim.231 xxBx2311lim21 xxxxxxxxCx 220)(lim.xxxxx )2(lim0 x2 221lim.nnDn 2)1(21limnnnn 21 30sintanlim.xxxGx 30)cos1tanlimxxxx （3202limxxxx 21 320sin1lim.xxEx230limxxx 0 32sin1

4、lim.xxFx 0 xxHxtanlim.0 xxx5lim0 5 xxxI10)31(lim. 3310)31(lim xxx3 exxxxJ)3(lim. 33)31(limxxx 3e 是正的常數(shù)）是正的常數(shù)）、knmxkxKmnx()(sin)(tanlim.0mnxxkx)(lim0 mnxnxk 0lim mnmnkmnn, 0 xxxxL2)1212(lim. 124212)1221(lim xxxxx2e baxxbaxxx, 22lim. 8222求求已知已知 由已知：由已知：)(lim22baxxx , 0)22lim2222 xxxxbaxxx（024 baab24 2

5、lim222 xxbaxxx）（1)(2)2)(2lim2 xxaxxx12lim2 xaxx234 a8,2 ba另另法法：由由已已知知，可可設(shè)設(shè)：)(2(2cxxbaxx c代代入入極極限限，求求得得:. 9 計算極限計算極限xxeeAxxx sinlim.sin0 xxeexxxx sin)1(limsin0 xxxxx sinsinlim01 )1sin1)(11(tansinlim.320 xxxxBxxxxxxsin2131)1(costanlim20 xxxxx2131)21(lim220 3 否是可去間斷點？否是可去間斷點？，并指明一、二類，是，并指明一、二類，是找出下列函數(shù)的

6、間斷點找出下列函數(shù)的間斷點.10 1, 31,)(.2xxxxxfA1)(lim1 xfx4)(lim1 xfx不不是是可可去去間間斷斷點點是是第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點點，1 xxxxfBsin)(. )(Zkkx 間斷點為：間斷點為：, 00 xk即即1)(lim0 xfx。是第一類的可去間斷點是第一類的可去間斷點0 x,0 kxk 即即 )(limxfkx 。是第二類的無窮間斷點是第二類的無窮間斷點)0( kkx )1( |)(.22 xxxxxfC1, 0 xx間斷點為：間斷點為：1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx是是第第一一類類跳跳躍躍間間斷斷點點，0 x是是可可去去間

7、間斷斷點點21)(lim1 xfx )(lim1xfx是是第第一一類類間間斷斷點點， x。是第二類的無窮間斷點是第二類的無窮間斷點1 x不不是是可可去去間間斷斷點點的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xxxxfnnn 2211lim)(.11時，時， nnx2 1| ,1| , 11|0 xxx， 1| ,1| , 01|)(xxxxxxf， 1| , 11| , 01|1xxx，nnnxx2211lim 1)(lim1 xfx1)(lim1 xfx1)(lim1 xfx1)(lim1 xfx1, 1 xx。是第一類的跳躍間斷點是第一類的跳躍間斷點內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在), 1()1 , 1()1,()

8、( xf 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。在在使使選擇選擇設(shè)設(shè)),()(,0, 20,)(.12xfaxexaxxfx解：解：是連續(xù)的，是連續(xù)的，時，時，axxfx )(0是連續(xù)的，是連續(xù)的，時，時，2)(0 xexfx處處：在在0 xaaxfx )(lim)0(01)2(lim)0(0 xxef1 a由連續(xù)性知：由連續(xù)性知：計算極限：計算極限：.13220113lim.xxAx 22023limxxx 23 )(lim.22xxxxBx xxxxxx 222lim1 的正實根。的正實根。至少有一個小于至少有一個小于證明：方程證明：方程1012.147 xx證明：證明：, 12)(7 xxxf設(shè)設(shè)1 ,0)(

9、Cxf 可可知知02)1(, 01)0( ff又又由由零零點點存存在在定定理理知知：0)(),1 , 0( f使使至少存在一點至少存在一點0127 即：即：為所求根。為所求根。 )()(,1,1,)(,sgn)(.152xfgxgfxxxxxgxxf及及求求設(shè)設(shè)解：解： 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf 1,1,)(2xxxxxg 0)(, 10)(, 00)(, 1)(xgxgxgxgf 0, 10, 00, 1xxx 1)(),(1)(),()(2xfxfxfxfxfg 0, 10, 00, 1xxx滿足：滿足：對任意實數(shù)對任意實數(shù)設(shè)設(shè)21,)(.16xxxf),()()(2

10、121xfxfxxf ）內(nèi)連續(xù)。）內(nèi)連續(xù)。，在（在（證明：證明：求求處連續(xù)，處連續(xù)，在在且且 )(.);0(.0)(xfBfAxxf解：解：.A)0()0()00()0(ffff 0)0( f.B),( xyx 0lim)()(lim0 xfxxfx )()()(lim0 xfxfxfx )(lim0 xfx 0)0( f點連續(xù)點連續(xù)在在xxf)(),()( Cxfx的任意性知：的任意性知：由由baxbxaxx、為等價無窮小，求為等價無窮小，求與與時，時，當當11.172 解：由已知：解：由已知：11lim21 xbxaxx0)(lim21 bxaxx01 ba1lim21 xbxaxx11l

11、im21 xaxaxx1)1(1(lim1 xaaxxx）12 a1 0, 1 ba 0,100,sin)(.18xxxbeaexfxx設(shè)設(shè)處連續(xù)。處連續(xù)。在在，使得，使得、確定確定0)( xxfba解解：由由已已知知：10)(lim0 xfx0)(lim0 xxxbeae0 ba又又xbeaexxxsinlim0 xaeaexxxsinlim0 xeaexxxsin)1(lim20 xxaexx2lim0 a2 102 a5, 5 ba計算極限計算極限.19)0()(lim. ahcaxbaxAkhxx)()1(limkhxcaxcbcbcaxxcaxcb caxcbkhxxe )(lima

12、cbhe)( 時時當當cb 時時當當cb 原式原式原式原式1 原式原式綜上：綜上：acbhe)( )(lim.12nnnxxnB )1, 0( xx)(lim1112nnnxxn )1(lim)1(112 nnnnxxn)ln)1(1(lim2xnnnn )1(lim)ln(2 nnnxnxln 習習題題解解答答參參考考第第二二章章是否存在？是否存在？在下列情況下，在下列情況下，)( . 10 xfaxxfxxfAx )()(lim.000 xxfxxfax )()(lim000）（ 1)()(lim000 xxfxxfx)( 0 xf )( 0 xfaxxxfxxfBx )()(lim.00

13、0 xxxfxxfax )()(lim000 xxfxxfxfxxfx )()()()(lim00000 未必未必)( 0 xf（米米），律律是是已已知知物物體體的的直直線線運運動動規(guī)規(guī)ttts3)(. 22 秒時的速度。秒時的速度。求其在求其在4 t的的切切線線方方程程。上上過過點點求求曲曲線線)3, 1(. 32 xy解：解：32)( )( ttstv秒秒米米/11| )(4 ttv解：解：，設(shè)切點為設(shè)切點為),(00yx,20 xk 切線切線)(2000 xxxyy 切切線線方方程程為為：在在切切線線上上：又又)3, 1( )1(23000 xxy 在在曲曲線線上上：),(00yx200

14、 xy )9 , 3(),1 , 1( 聯(lián)立解得切點：聯(lián)立解得切點：012 yx切切線線方方程程為為：096 yx及及xyx 0lim？處處是是否否連連續(xù)續(xù)？是是否否可可導(dǎo)導(dǎo)，在在01001sin)(. 42 xxxxxxf解：解：先驗證可導(dǎo)性：先驗證可導(dǎo)性：xfxfx )0()0(lim0 xxxx 1sin)(lim2001sinlim0 xxx點可導(dǎo)，點可導(dǎo)，在在0)( xxf點連續(xù)。點連續(xù)。故在故在0 x處處是是否否可可導(dǎo)導(dǎo)？，在在取取何何值值時時，011)(,. 52 xxbaxxxxfba點可導(dǎo)點可導(dǎo)在在1)( xxf)1()1( ff1)1()(lim)1(1 xfxffx211

15、lim21 xxx1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim1 xbaxx211lim1 xbaxx01 ba11lim1 xbaxxaxaaxx 1lim11, 2 ba解：解：計算導(dǎo)數(shù)：計算導(dǎo)數(shù)：. 6xxxyAxsin322.34 xxxyBcossin5.2 )32(sec.2 xyCxxxxxyxcos3sin92ln28325 xx2sin252 xxxxy2cos52sin52 )32tan()32(sec42 xxyxeyDxlnarctancos. xxexeeyxxx1)(ln11coslnarctansin2 )32(log.233xxyE )66(3ln)32(

16、1223xxxxy 3ln)32()162xxx （)1ln(.2xxyG 22cot.xxyF nxxyHnsinsin. 32222cot2csc2xxxxy )1221(1122xxxxy 211x nnxxnxxxnynn cossinsincossin1xnxnn)1sin(sin1 xyIsin5. xeyJ1arctan. xxyx21cos5ln5sin 21arctan11xex )1()1(11221arctanxxeyx 計算二階導(dǎo)數(shù)：計算二階導(dǎo)數(shù)：. 7xeyAxsin. )1ln(.2xxyB xexeyxxcossin 211xy )cos(sinxxex )sin

17、(cos)cos(sinxxexxeyxx xexcos2 212)1( x232)1( xxy：計算計算dxdy. 8yxexyA 4.27sin.223 yexyxB) 1yexyyyx （yxyxexyey xyxyxy 4407cossin223322 yexxyyxyxyyexyxxy7232sin322 xxyC .xxylnln xxxyy1ln1 )ln1(xxyx 角速度。角速度。時，運動員槍口轉(zhuǎn)動的時，運動員槍口轉(zhuǎn)動的求靶子過垂足求靶子過垂足的速度水平移動，的速度水平移動，子以子以水平移動靶射擊中，靶水平移動靶射擊中，靶奧運會奧運會msmm2/110. 9由已知：由已知：解

18、：解： m10smtv/1)( m2),(tss 離離為為設(shè)設(shè)靶靶子子移移動動過過垂垂足足點點距距)(t 槍槍口口轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動的的角角度度為為10)()(tantst 兩端求導(dǎo)：兩端求導(dǎo)：dtdsdtd 101sec2 dtdsdtd 10cos2 dtds 2sec1101102arctan ，2526tan1sec22 52512625101 dtd 1 dtds時時2 s。時時，求求水水面面上上升升的的速速度度當當水水深深注注入入速速度度為為的的正正圓圓錐錐容容器器中中，底底半半徑徑為為注注水水入入深深msmmm5,/488.103解：解：rh，設(shè)設(shè)水水面面高高度度為為：)(thh )(tr

19、r 水面半徑為：水面半徑為：由已知：由已知：hr 88hr 323131hhrV dtdhhdtdV 2 dtdVhdtdh 21 451|25 hdtdhsm/254 88 。）處處的的切切線線、法法線線方方程程，過過點點（求求曲曲線線2121,2cossin.11tytx解：解：tttdxdysin4cos22sin2 ）點時，）點時，曲線過（曲線過（21216 t2|6 tdxdyk切線切線0232 yx切切線線方方程程：0212 yx法線方程：法線方程：計計算算微微分分：.12xxyA31.3 dxxxdy)233(4 xexyBsin2. dxxxxedyx)cos2(sin xyC

20、xarctan2. dxxxxdyx)1(21arctan2ln2 2211.xxyD dxxxdy22)1(4 填空：填空：.13xdxCxdA5)25(.2 tdtCtdB sin)cos1(. dxxCxdC 12)1ln(2(.dxeCedDxx55)51(. dxCdExx222)2ln22(. dxCdFxx2231)3ln23(. 。存存在在，證證明明是是偶偶函函數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)0)0( )0( )(.14 ffxf證明：證明：)0( f0)0()(lim0 xfxfx0)0()(lim0 xfxfx）（ 10)0()(lim0 xfxfx)0( f 0)0( faxxafaxfa

21、fax )()(lim,)( .15求求存存在在設(shè)設(shè)解：解：axxafaxfax )()(limaxxafaafaafaxfax )()()()(limaxafaxax )()(limaxafxfaax )()(lim)( )(aafaf 時的微分。時的微分。當當求求31,.16sin xexxyx解：解：xxylnsinln 兩兩端端求求微微分分：dxxxxxdyy)sinln(cos1 兩兩端端取取對對數(shù)數(shù)：dxxxxxxdyx)sinln(cossin 31)sin(cos|sin31 eeeedyexex)1,1.173 xyxxy（求求已已知知解：解：13 xxy1113 xx111

22、2 xxx2)1(112 xxy3)1(22 xy4)1(6 xydxdyyettexyt求求，已知：已知： 01sin.183dtdxdtdydxdy 解解：求導(dǎo)：求導(dǎo)：對對ttedtdxtcos 求求導(dǎo)導(dǎo)：對對t0332 dtdydtdyetetyyyyetetdtdy3213 )(cos1(332tyyetetet dyeyyx求求設(shè)設(shè),.19 解：解：yxy lnxyy ln兩兩端端取取對對數(shù)數(shù)：兩兩端端求求微微分分：dxdyyyydy 1lndxyxydy dyxxyx求求設(shè)設(shè),)1(.2034 解：解：)1ln(ln4ln3 xxxy兩兩端端取取對對數(shù)數(shù)：兩兩端端求求微微分分：dx

23、xxxxxdyy13)1ln(141323 dxxxxxxxdyx13)1ln(4)1(33334 dxdyxxxy，求求已已知知2)43)(12)(2(.21 解：解：兩兩端端取取對對數(shù)數(shù)：兩兩端端求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：)43ln(2)12ln()2ln(ln xxxy436122211 xxxdxdyy dxdy)43)(12)(2(6)43)(2(2)43)(12(22 xxxxxxxxaxfxafyfxfxyfxy )(,0,)1(),()()(,0.22時時證明：當證明：當且且時時當當證明：證明：)()()(yfxfxyf 由由1 y令：令：)1()()(fxfxf 0)1( f)()()(

24、)(xxyfyfxfxyf 又：又：)(xf xxfxxfx )()(lim0 xxxxfx )(lim0 xxxfxxfx1)1()1(lim0 xafx )1(1)0()0()0(0001sin)()(.23fggxxxxgxf ，求，求，且，且設(shè)設(shè)解：解：由已知：由已知：0)0()0( gg得：得：0)0()(lim)0(0 xgxggx0)(lim0 xxgx0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxgx1sin)(lim0 01sin)(lim0 xxxgx習習題題解解答答參參考考第第三三章章, 432)(7 xxxf設(shè)設(shè)的正根。的正根。且是小于且是小于只有唯一實根，只有唯一實根

25、，證明方程證明方程10432. 17 xx證明：證明：1 , 0 x0314)(6 xxf )(xf, 04)0( f又又01)1( f由單調(diào)性知：由單調(diào)性知：0)(10 f），有），有，（唯一唯一為方程根。為方程根。 ,cotarctan)(xarcxxf 設(shè)設(shè))11(2cotarctan. 2 xxarcx 證明：證明：證明：證明：)1 , 1( x01111)(22 xxxfCxf )(2)0( f由由2)( xf證明：證明：設(shè)設(shè), 0. 3 ba證明：證明：xxf1)( xxfln)( 設(shè)設(shè)bbabaaba ln由結(jié)論分析知：由結(jié)論分析知：bbabaa1lnln1 ,abC ),()(

26、abDxf 上滿足拉氏定理條件，上滿足拉氏定理條件，在在.)(abxfbabfaffab )()()(),( 有有baba lnln1 ab bbabaa1lnln1 得證。得證。計算極限：計算極限：. 4xeeAxxxsinlim.0 xeexxxcoslim000 2 xxxxBxsintanlim.0 xxxcos11seclim2000 221tanlim22000 xxx)1112(lim.21 xxCx211limxxx 2121lim100 xx)( )cot1(lim.0 xxDx xxxxxxsincossinlim0 )( 2000cossinlimxxxxx 02sinl

27、im000 xxxx 00)1()(. 52111xexexxfxx函數(shù)函數(shù)處是否連續(xù)？處是否連續(xù)？在在0 x解：解：21)0()0( eff易知：易知： )0(fxxxex110)1(lim 1)1ln(101lim xxxxe20)1ln(limxxxxe )1(21lim0 xxe 21 e處連續(xù)處連續(xù)在在故故0)( xxf的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間。找找出出函函數(shù)數(shù)11232)(. 623 xxxxf解：解：)2)(161266)(2 xxxxxf（0)( xf令令2, 1 xx), 1)2,( 及（及（單增區(qū)間：單增區(qū)間：1 , 2 單減區(qū)間：單減區(qū)間：的單調(diào)性。的單調(diào)性。判斷函數(shù)判斷函數(shù)

28、xxy82. 7 解：解：282xy 0 y令令2, 2 xx 不不y0 x )(), 2()2(xf內(nèi)內(nèi)及及，在在 )(2 , 0()0 , 2xf內(nèi)內(nèi)及及在在xxxx2tansin20. 8 時，時，證明：當證明：當 證明：證明：xxxxf2tansin)( 設(shè)設(shè)2seccos)(2 xxxf0)( xf現(xiàn)證：現(xiàn)證：0)1cos2(sintansec2sin)(22 xxxxxxf0)0( f連續(xù)連續(xù)在在0)( xxf0)( xf0)0( f又又連連續(xù)續(xù)在在且且0)( xxf0)( xf得證。得證。有有幾幾個個實實根根？討討論論方方程程設(shè)設(shè)axxa ln, 0. 9解：解：，設(shè)設(shè)axxxf

29、 ln)(), 0( x,1)(axxf 0)( xf令令ax1 , 0)(,)1, 0( xfa內(nèi)內(nèi)可知：可知： )(xf, 0)(,),1( xfa內(nèi)內(nèi) )(xf以及：以及：,)(lim0 xfx,)(lim xfx1ln)1( aaf為最大值為最大值0a11ln a0)1( af時，時，即即ea10 方程有兩個實根。方程有兩個實根。0)1( af時，時，即即ea1 方程有一個實根。方程有一個實根。0)1( af時，時，即即ea1 方程無實根。方程無實根。)(xf）是是曲曲線線的的拐拐點點。，（處處具具有有水水平平切切線線，且且點點在在的的曲曲線線使使得得過過點點確確定定常常數(shù)數(shù)1012)

30、44, 2(,.1023 xdcxbxaxydcba解：解：),10, 1()44, 2( 及及曲線過曲線過0 dcba44248 dcba處處有有水水平平切切線線，即即：曲曲線線在在2 x0|2 xy0412 cba即：即：是拐點是拐點,)10, 1( 0|1 xy026 ba16,24, 3, 1 dcba聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的極極值值：.1111232)(.23 xxxxfA解：解：1266)(2 xxxf612)( xxf0)( xf令令2, 1 xx06)1( f6)1(1 fx處處有有極極小小值值030)2( f21)2(2 fx處處有有極極大大值值xexfB

31、xsin)(. 解：解：)cos(sin)(xxexfx 0)( xf令令1tan x）4cos(2)4(4 kekfk是是極極小小值值是是極極大大值值xexfxcos2)( Zkkx ,4 為奇數(shù)為奇數(shù)為偶數(shù)為偶數(shù)kk, 0, 0為偶數(shù)時：為偶數(shù)時：k422)4( kekf為奇數(shù)時：為奇數(shù)時：k422)4( kekf還是極小值？并求出。還是極小值？并求出。處取得極值？是極大值處取得極值？是極大值在在取何值時，取何值時，常數(shù)常數(shù)33sin31sin)(.12 xxxaxfa解：解：xxaxf3coscos)( 處處取取得得極極值值在在3)( xxf0)3( f0121 a2 axxxf3cos

32、cos2)( xxxf3sin3sin2)( 03)3( f3)3(3)( fxxf處取得極大值：處取得極大值：在在如如何何建建最最省省料料？的的矩矩形形倉倉庫庫，欲欲借借助助一一面面墻墻建建立立一一個個220.13cm解：解：)(20)(mxmx長長，另另一一邊邊長長為為設(shè)設(shè)矩矩形形倉倉庫庫取取墻墻面面長長為為xxxxL40202 則則搭搭建建的的圍圍墻墻周周長長：2401xL 0 L令令102 x因駐點唯一，因駐點唯一，所求最值點。所求最值點。故故102 x時時，最最省省料料。寬寬為為故故當當長長為為mm10,102x有有且且僅僅有有兩兩個個實實根根。證證明明方方程程0593.1423 x

33、xx解：解：593)(23 xxxxf設(shè)設(shè)0963)(2 xxxf令令3, 1 xx66)( xxf012)1( f為極大值為極大值0)1( f012)3( f為極小值為極小值32)3( f )(lim,)(limxfxfxx又又1 3如如左左圖圖所所示示由由上上述述討討論論知知)(xf內(nèi)內(nèi)也也必必有有一一根根。在在為為方方程程的的根根，而而故故),3(1 x得證。得證。),( C漏漏斗斗的的容容積積最最大大？分分的的圓圓心心角角多多大大時時，做做成成一一個個漏漏斗斗，裁裁下下部部扇扇形形，的的圓圓形形鐵鐵片片上上挖挖去去一一個個從從一一塊塊半半徑徑為為 R.15解：解：hrl，高高為為漏漏斗

34、斗的的底底面面半半徑徑為為扇扇形形弧弧長長為為為為設(shè)設(shè)做做漏漏斗斗的的扇扇形形圓圓心心角角, Rl Rl 64223242431 RhrV22,2rRhrl 又又）最最大大最最大大只只須須（6424 V0616532 ）（令令f（舍去）（舍去），0362 駐點唯一，即為所求。駐點唯一，即為所求。6424)( f故故設(shè)設(shè)上上的的最最值值。在在求求2,0.1633xxey 解：解：)33(233 xeyxx0 y令令（舍去）（舍去）1, 1 xx比比較較：，2)1( ey2)2(ey ，1)0( y2maxey 2min ey得：得：為為增增函函數(shù)數(shù)？在在什什么么范范圍圍內(nèi)內(nèi)，83)(.173 a

35、xaxxfx解：解：aaxxf33)(2 0)( xf令令0102 xa時，時，當當 )(11xfxx時，時，及及當當0102 xa時，時，當當 )(11xfx時，時，當當)()(1)()(1lim, 0)( )(.18afaxafxfafaxxfax 求求的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)在在已已知知解：解：)()(1)()(1limafaxafxfax )()()()()()()(limafaxafxfafxfafaxax )00()00()()()()()()()(limafafxfafaxxfxfafax )00()()()()()()()(limafx

36、fafxfafaxxfxfax 2)( 2)(afaf 的極值。的極值。確定，求確定，求由由設(shè)設(shè))(3223)(.19323xfyxyxxf 解：解：求導(dǎo)：求導(dǎo)：方程兩端對方程兩端對x06633222 yyyxyyx,2yxyy 22yyxyy 0 y令令xy 2, 2 yx代入原方程得：代入原方程得：041|22 yxy2 極小極小y 不不令令y,2, 035 xy 0235|yxy軸的切線，軸的切線，即有垂直于即有垂直于x故不可能取得極值。故不可能取得極值。短短。被被坐坐標標軸軸截截下下的的長長度度最最的的切切線線上上求求一一點點，使使得得過過該該點點在在曲曲線線xy1.20 解：解：),

37、1,(xxM設(shè)設(shè)所所求求點點為為21xy 此此點點處處點處的切線：點處的切線：在在M)(112xXxxY )0 ,2(),2, 0(xx切切線線與與坐坐標標軸軸的的交交點點：:L的的線線段段長長度度的的平平方方為為設(shè)設(shè)切切線線夾夾在在坐坐標標軸軸之之間間222244)2()2(xxxxL 388 xxL0 L令令1 x1 y為所求為所求故點故點)1, 1(),1 , 1( 圍圍成成的的面面積積最最大大。該該點點的的切切線線與與直直線線上上的的一一點點，使使得得其其在在上上找找出出曲曲線線在在0, 88 , 0.212 yxxy解：解：),(2xx設(shè)設(shè)所所求求點點為為xy2 此此點點處處：在該點

38、處的切線方程為在該點處的切線方程為)(22xXxxY )16, 8(82xxx 的的交交點點：切切線線與與0 S令令,316 x為所求點。為所求點。，)9256316(22xxXY )0 ,2(0 xy的的交交點點：切切線線與與 所圍圖形的面積：所圍圖形的面積：2)16(41xxS )316)(16(41xxS （舍舍去去）16 x為為所所求求最最值值點點。因因駐駐點點唯唯一一，故故316 x80yx2xy x習習題題解解答答參參考考第第四四章章計計算算不不定定積積分分：.1dxxxA 52. dxx511 dxxxB)2(.2 dxxx)2(23Cxx 343241Cx 516165計計算算

39、不不定定積積分分：. 1 dxxxC221.Cxx arctan dxeDxx2. dxex)2(Ceex 2ln)2( dxxx22111 dxx)111(2dxxE 3)43(. )43()43413xdx（ dxxeFx243. )43(812432xdexCex 24381Cx 4)43(161 dxxxG231.Cxx )1ln(212122 dxxxxH)1(arctan. )(arctanarctan2xdxCx 2)(arctan dxxxxx231 dxxxx)1(2dxxxI )tan(tan.53 xdxx23sectan dxxJ311. tdtt 3211Ctt )1

40、ln(3232Cx 4tan41)(tantan3 xxd tx 3 dttt11132Cxx )31ln(32332 xdxxK3cos. dxexLx)32(. )()32(xedx )(sin31xxd xdxxx3sin313sin31Cxxx 3cos913sin31 dxeexxx2)32(Cexx )12(dxxM 2)(ln. dxxxxxx1ln2)(ln2 xdxxxln2)(ln2Cxxxxx 2ln2)(ln2 dxeNx2. tdtet22tx 設(shè)設(shè) )(2tetd dtetett22Cetett 2221Ceexxx 2221 dxxxO)8(1.7Cxx |8|l

41、n561|ln817 dxxxxx)8(881777 dxxxx)81(8176 dxxP11.2dxxx)11112 （Cxx |11|ln21dxQxxxx 4932. dxxx2)32(1)32( )32()32(1132ln12xxd duu2113ln2ln1Cuu |11|ln213ln2ln1Cxx |1)32(1)32(|ln)3ln2ln21（xu)32( 設(shè)設(shè)dxxxxR 23.4811dxxxxxx )2323(48373 dxxxxdxxxxxx232523128834148348374 )(23185)23ln(8341448484xdxxxxxCxxxxx 21ln

42、85)23ln(834144484dxxxxR 23.4811dxxxxx 234838Cxxx )1ln(41)2ln(41444)(23)()(442424xdxxx 4xu 設(shè)設(shè)duuuu 234122duuuu)23231(412 duuuu)1124(4141 Cuuu )1ln(41)2ln(41dxxxxS 841.2)84ln(212 xxdxxxx 84242212dxxxxxd 84)84(2122dxx 4)2(2212Cxxx )22arctan(21)84ln(212 )2()22122xdx（dxeTx 11.tex 1設(shè)設(shè)Ctt 11lndtttt1212 原式原

43、式)1ln(2 txdtttdx122 dtt 1122dttt )1111(Ceexx 1111lndxeUx 11.dxeeexxx 11)1(11 xxedexCexx )1ln(Cxx 2cot382cot83dxxxV 44cossin1.dxx 4)2(sin116dxx 2csc164)2(cot2csc82xdx )2(cot)2cot1(82xdx )(, 1)(. 2xfxefx求求設(shè)設(shè) xet 設(shè)設(shè)Ctt lntxln dtt )1(ln1ln)( ttf dttftf)()(Cxxxf ln)()(xfy 設(shè)設(shè)曲曲線線方方程程為為的平方，求其方程。的平方，求其方程。法線

44、的斜率是其橫坐標法線的斜率是其橫坐標處的處的且其上任一點且其上任一點過點過點設(shè)曲線設(shè)曲線),(),3 , 2(. 3yxC解：解：21xy 3|2 xy且滿足：且滿足：由已知：由已知：21xy Cxdxxy 1123|2 xy代入代入25 C251 xy所所求求曲曲線線方方程程為為 dxxfxxxxxf)(,ln)sin1()(. 4求求的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為已已知知解：解： dxxfx)(由已知：由已知：ln)sin1()( xxxxfxxxxxxx1)sin1(ln)cos(sin 又：又：Cxxxdxxf ln)sin1()( )(xfxd dxxfxxf)()(Cxxxxxx l

45、nsinlncos2。，求求取取得得極極大大值值時時，且且當當處處的的切切線線的的斜斜率率為為上上任任一一點點設(shè)設(shè)曲曲線線)(211)(1, 63),()(. 52xfxfxxaxyxxf 解：解：63)(2 xaxxf由已知：由已知：Cxxxa 6233232 Cdxxaxxf )63()(2又：又：0)1( f3 a211)1( f2623)(23 xxxxf)20()(,tan2cos)(sin. 622 xxfxxxf求求設(shè)設(shè)xt2sin 設(shè)設(shè)Ctt )1ln(2ttttf 121)( dttftf)()(Cxxxf )1ln()(2tt 112dxeeexxx . 7dxeexx 2

46、21)(112122xxede Cex )1ln(212習習題題解解答答參參考考第第五五章章. 0)(, 0)(, 0)(,)(. 1 xfbadxxfxfbaxfba上，上，則在則在證明：若證明：若上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)證明：證明：反證法：反證法：, 0)(,00 xfbax有有假設(shè)假設(shè)0)(0 xf不不妨妨設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)：由由)(xf，,)(210ccxU 0)(,21 xfccx，有，有由由積積分分保保號號性性知知：0)(21 ccdxxf又：又： badxxf)( bcdxxf2)( 1)(cadxxf 21)(ccdxxf由題已知：由題已知：; 0)(1 cadxxf; 0)(21 ccdxxf0)(2 bcdxxf故：故：0)( badxxf與已知矛盾與已知矛盾0)(, xfba上，上，故在故在的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。對對確定的函數(shù)確定的函數(shù)求由求由xxfytdtdtexyt)(0cos. 200 解：解：求導(dǎo)：求導(dǎo)：方程兩端對方程兩端對x0cos xyeyyexycos 另法：另法：; 10 yytedtextdtxsincos0 方程化為：方程化為：0sin1 x