大學(xué)物理力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) , 力力 作用在剛體上點(diǎn)作用在剛體上點(diǎn) P , 且在轉(zhuǎn)動(dòng)且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點(diǎn)為由點(diǎn)O 到力的到力的作用點(diǎn)作用點(diǎn) P 的徑矢的徑矢 . FrFrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩(Torque) M第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在轉(zhuǎn)

2、動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩zFF第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3） 剛體內(nèi)作用力和剛體內(nèi)作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ormz二二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律(

3、Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis)FtFnFsinrFM mrmaFFttsin2iejjjjrmMM2）剛體剛體質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFiM 1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接軸剛性連接m外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩2tmrrFMOzjmjrjFejFi第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比成反比 .rmMMjjjjj

4、j2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Moment of Inertia)mrJd2OzjmjrjFejFi第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrJrmJjjjd,22三三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 物理物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 . 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2222112rmrmrmJjjj轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元mdJM

5、第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量及其分布質(zhì)量及其分布、形形狀及轉(zhuǎn)軸的位置狀及轉(zhuǎn)軸的位置 .注意注意2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性大小的物理量。地位等同于質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。理量。地位等同于質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是 ，量綱是，量綱是ML22mkg第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量lO O 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一

6、距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrJ02drd32/2/2121dlrrJll231mlrrrmrJddd22 例例1 一一質(zhì)量為質(zhì)量為 、長(zhǎng)為長(zhǎng)為 的的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OROR4032d2RrrJRr dr 例例2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓盤，求通的均勻圓盤，求通過(guò)盤中心過(guò)盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)

7、慣量并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .mR 解解 設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2()mR而而rrmd2d圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例3 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體的物體 A 靜止在光滑水平面上，靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為 R、質(zhì)、質(zhì)量為量為 的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪 C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為

8、 的物的物體體 B 上上. 滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間的摩且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)擦力可略去不計(jì). 問(wèn)：（問(wèn)：（1） 兩物體的線加速度為多少？?jī)晌矬w的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體）物體 B 從從BmCm靜止落下距離靜止落下距離 時(shí)，時(shí)，其速率是多少？其速率是多少？（若水平面不光滑又（若水平面不光滑又如何？）如何？）yAmABCAmBmCm第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FB

9、PBm21,2caRJm RamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2 解解 （1）隔離物體分）隔離物體分別對(duì)物體別對(duì)物體A、B 及滑輪作及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律運(yùn)用牛頓第二定律 、轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程動(dòng)定律列方程 . T2FT1FCPCF第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，

10、下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例4 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng) . 由于此由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng) .試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)的角加速度角時(shí)的角加

11、速度和角速度和角速度 .lm 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFJmglsin21第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定義由角加速度的定義dsin23dlg代入初始條件積分代入初始條件積分 得得)cos1 (3lgJmglsin21第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)4 2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量225ImR證明：如圖所示，在坐標(biāo)證明：如圖所示，在坐標(biāo)z處取高為處取高為dz的小圓柱作的小圓柱作為質(zhì)元為質(zhì)元23,43mdmr dzR222232423()4331()45RRRRmJz dmzRzdzRzzmd