利用算子半群理論看熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上利用算子半群理論看熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的存在性蔡園青 PB在偏微分發(fā)展的歷史上，人們?yōu)榱饲蠼飧黝惙匠贪l(fā)展了不同的方法，比如Fourier變換法，Laplace變換法等等。而作為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)，后出現(xiàn)的理論往往是從一個(gè)更高的層面上去看前面的理論。比如說(shuō)代數(shù)中用模的理論去看待Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，從而引伸出更加深刻的結(jié)果。在偏微分發(fā)展的理論中，算子半群理論就是在一定高度上去看待偏微分方程可解性的一個(gè)工具。算子半群方法是求解偏微分方程中的發(fā)展方程（包括熱傳導(dǎo)方程、波動(dòng)方程、拋物型方程、雙曲型方程、Schrodinger方程等）。它可以用來(lái)求解線形與非線性發(fā)展方程的定解問(wèn)題。

2、接下來(lái)，本人將利用自己這學(xué)期所學(xué)的泛函分析的知識(shí)，利用算子半群理論來(lái)考慮熱傳導(dǎo)方程的初邊值問(wèn)題的求解。一、算子半群的定義及原型設(shè)是一個(gè)Banach空間。一族到它自身的有界線性算子稱為一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群（簡(jiǎn)稱強(qiáng)連續(xù)半群）是指：（1）；（2），；（3）在模下連續(xù)。（2）稱為半群條件，（3）稱為連續(xù)條件。另外，聯(lián)合（1）、（2）可以推出（3）等價(jià)于下面的條件：（4），當(dāng)。（4）成為在點(diǎn)處的連續(xù)條件。 算子半群在微分方程、概率論（馬氏過(guò)程）、系統(tǒng)理論、逼近輪和量子理論是經(jīng)常出現(xiàn)的。下面給出兩個(gè)例子說(shuō)明其原型。來(lái)自常微分方程的例子。設(shè)是一個(gè)實(shí)矩陣，方程組在空間中解存在唯一。設(shè)，考察映射。那么由解的存在性

3、，有定義。它們顯然是線性算子，并且由解對(duì)初值的連續(xù)依賴性，他們是有界的。容易驗(yàn)證滿足強(qiáng)連續(xù)半群的條件。實(shí)際上，條件（1）為初值定義所蘊(yùn)含，條件（2）由方程平移不變性和唯一性保證，條件（3）由解的連續(xù)性推出。另一方面，在常微分理論中，我們可以將具體寫(xiě)出來(lái)：。由上式可以看出算子半群與矩陣的關(guān)系：可以通過(guò)的指數(shù)表達(dá)出來(lái)。再看熱傳導(dǎo)方程。在中考察熱傳導(dǎo)方程：利用分離變量法，其解為，其中，。若，方程的解將會(huì)在時(shí)絕對(duì)收斂。而且關(guān)于或逐項(xiàng)求導(dǎo)所得級(jí)數(shù)均內(nèi)閉一致收斂。同樣的考慮，固定，將方程的解看作從到的一個(gè)映射，記為，則。于是對(duì)，為到的一個(gè)線性映射，而且容易看出這是有界的。又對(duì)于是，而顯然又有。又由積分的絕

4、對(duì)收斂性及極限函數(shù)與賦值的可交換性，當(dāng)時(shí)， 由此知算子族構(gòu)成單參數(shù)連續(xù)半群。在第一個(gè)例子中我們看到，可以通過(guò)的指數(shù)表達(dá)出來(lái)，那么對(duì)于第二個(gè)例子甚至是其他的例子，是否也有類似的關(guān)系。這個(gè)問(wèn)題的回答依賴于無(wú)窮小生成元的定義及著名的Hille-Yosida- Philips定理。二、無(wú)窮小生成元及Hille-Yosida- Philips定理設(shè)是一個(gè)Banach空間。是上一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群，令并按下列方式定義上算子：算子成為上的無(wú)窮小生成元。無(wú)窮小生成元有以下比較好的性質(zhì)：（1）稠定性，線性性（2）將映入到內(nèi)，并且當(dāng)時(shí)，容易看出對(duì)于上面的第一個(gè)例子，矩陣是算子半群的無(wú)窮小生成元。在第二個(gè)例子中，這個(gè)

5、問(wèn)題變得不明顯。實(shí)際上，對(duì)于一般的問(wèn)題，Hille-Yosida-Philips定理給了一個(gè)很好的回答。（Hille-Yosida-Philips）為了一個(gè)線性稠定閉算子成為一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群的無(wú)窮小生成元，必須且僅須：（1），使得；（2），使得當(dāng)時(shí)，我們利用Hille-Yosida-Philips定理再來(lái)考慮熱傳導(dǎo)方程。記，令，則可以擴(kuò)張成一個(gè)的閉算子，記為，此時(shí)定義域?yàn)椤Ｓ蒅arding不等式，存在常數(shù)，使得，其中是模。于是當(dāng)時(shí)，從而，其中。所以。因此。于是由Hille-Yosida-Philips定理知是一個(gè)強(qiáng)連續(xù)算子半群的生成元。當(dāng)時(shí)，初邊值問(wèn)題有解事實(shí)上，即為原方程的解。于是這就從算子半群的角度證明了熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題解的存在性。 從這個(gè)例子可以看出算子半群方法在偏微分方程中的威力。實(shí)際上，這也只是泛函分析方法在偏微分方程中的應(yīng)用的冰山一角。相信隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，會(huì)由越來(lái)越多的泛函分析工具為偏微分方程注入更強(qiáng)大的活力。參考文獻(xiàn)：1泛函分析講義（下冊(cè)）.張恭慶 郭懋