一元二次不等式及其解法典型例題透析(供參考)

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我14一元二次不等式及其解法典型例題透析類型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式2.(1) x 5x 0;，一、2， 一(2) x 4x 4 0;x24x 5思路點(diǎn)撥：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號(hào)法則解答解析:(1)方法一:因?yàn)樗苑匠?5)2 4 1 0 25 0x2 5x 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為:Xi0,X2(3)2函數(shù)y因而不等式x方法二：x-，口 x解得x因而不等式方法一:因?yàn)榉匠毯瘮?shù)5x 0的解集是x|05x5x5.x(x 5),即0 50的解集是0,x | 0 x5.4x0的解為xix22 .4的簡(jiǎn)圖為:4x2 x所以，原不等式的解集

2、是方法二：x2 4x 4所以原不等式的解集是方法一:x|x(x 2)2x|x原不等式整理得x2 4x 5 0.20 (當(dāng) x 2時(shí)，(x2)20)2因?yàn)?0,方程x2 4x 5 0無(wú)實(shí)數(shù)解,x2 4x 5的簡(jiǎn)圖為:函數(shù)y所以原不等式的解集是5 0的解集是方法二:2一 2x 4x 5 (x 2)11 0，原不等式的解集是總結(jié)升華：1 .初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來(lái)解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分2、3小題)；當(dāng)0且析能力；2 .當(dāng) 0時(shí)，用配方法，結(jié)合符號(hào)法則解答比較簡(jiǎn)潔(如第是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，利用因式分解和符號(hào)法則比較快捷,3.當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于舉一反三：【變式1】解下列不等式0

3、時(shí),般都轉(zhuǎn)化為大于0后,(如第1小題).再解答. 2x 4x3x4x(2)(4)3x22x6x2x00.【答案】(1)方法一:因?yàn)?3)2 4(2)25方程2x23x 20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為:Xi2y 2x 3x2的簡(jiǎn)圖為:函數(shù)0的解集是:x|x1一或x 2.2方法二：原不等式等價(jià)于(2x 1)(x2)0,原不等式的解集是:1 ex| x一或x22.0,(2)整理，原式可化為3x2 6x 2 0,因?yàn)榉匠?x2 6x 2 0的解x11函數(shù)2的簡(jiǎn)圖為:所以不等式的解集是(1 拳1).(3)方法一：因?yàn)?0方程4x2 4x 10有兩個(gè)相等的實(shí)根： x x?12,由函數(shù)y 4x2 4x 1的圖象為:一

4、1原不等式的的解集是1. 2方法二：原不等式等價(jià)于：(2x 1)2 0,，原不等式的的解集是(4)方法一:因?yàn)?,方程 x2 2x 3 0無(wú)實(shí)數(shù)解,3的簡(jiǎn)圖為：方法二:2_x2 2x 3(x1)20,原不等式解集為.【變式2】解不等式：6 x2【答案】原不等式可化為不等式組2x2x120 即(x 4)(xx(x 1)3) 003解得x,原不等式的解集為x|x 4.類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)mx 1例2.不等式x2 mx n 0的解集為x (4,5)，求關(guān)于x的不等式nx 解集。0的二根,思路點(diǎn)撥：由二次不等式的解集為 (4,5)可知：4、5是方程x2 mx n由韋達(dá)定理可求出

5、m、n的值，從而解得解析：由題意可知方程mx0的兩根為X 4和x 5由韋達(dá)定理有m. 2一nx9,520mx(4x 1)(5x1)20化為20x0,解得-49x故不等式nx2mx 1 0的解集為總結(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn),21 0 ,即 20x 9x 1 01-,51, 1）.45也是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn).根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理， 找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1 不等式ax2+bx+120的解集為x|-3x2,則a=,b二【答案】由不等式的解集為x|-3x2 知 a0 對(duì)一切實(shí)數(shù) x恒成立，

6、求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。思路點(diǎn)撥：不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R,要解決這個(gè)問(wèn)題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)。解析：當(dāng) n2+4m-5=0 時(shí)，m=1 或 m=-5若m=1,則不等式化為30,對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，符合題意。若m=-5,則不等式為24x+30,不滿足對(duì)一切實(shí)數(shù) x均成立，所以 m=-5舍去。 2(2)當(dāng) m+4m-5W0 即 ml 且 m -5 時(shí)，由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3開(kāi)口向上，且與x軸無(wú)交點(diǎn)，4m m所以5 016(m1)2 12(m2 4m 5) 05 一,. 1m19。m 19綜上所述，實(shí)數(shù) m的取值范圍是

7、m|1wm0 ;(3) x2-(a+1)x+a0 , 即 a2 或 a-2 時(shí) ，x| xa2 4;2當(dāng)A =0,即a=2或-2時(shí)，原不等式的解集為x|x a。2當(dāng)A 0,即-2a2時(shí)，原不等式的解集為R。(3) (x-1)(x-a)1時(shí)，原不等式的解集為x|1xa當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|ax1當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的解集為。總結(jié)升華：對(duì)含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號(hào)：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開(kāi)口方向；求根：求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無(wú)法判斷判別式與0的關(guān)系時(shí)，要引入討論，分類求定解：根據(jù)根的情況寫(xiě)出不等式的解集；當(dāng)無(wú)法判斷兩根的大小時(shí)，引入討論。舉一反三：2

8、1【變式1】解關(guān)于x的不等式：x2 (a 1)x 1 0(a 0)a1、 八【答案】原不等式化為(x a)(x 1) 0aa=1或a=-1時(shí)，解集為 ；11當(dāng) 0a1 或a1 或-1a 1時(shí)，解集為x|x a或x a2；當(dāng)a=0時(shí)，解集為x|x 0；當(dāng)0a 1時(shí)，解集為x|x a2或x a；當(dāng)a=1時(shí)，解集為x|x 1;例5.解關(guān)于x的不等式：ax2 (a+1)x+1 1;1(x -)(x 1) 0 a1(x )(x 1) 0, a.211右av 0,原不等式x (1 )x 0a a1;211若a0,原不等式x2 (1 -)x - 0a a1其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故a(1)當(dāng)a=1

9、時(shí)，原不等式 x ；一一 1(2)當(dāng)a 1時(shí)，原不等式一x 1 ;a 1(3)當(dāng)0vav1時(shí)，原不等式 1 x 1a綜上所述：1當(dāng)av0,解集為x|x ，或x 1； a當(dāng)a=0時(shí)，解集為x|x 1;當(dāng)0vav1時(shí)，解集為x|1 x 1; a當(dāng)a=1時(shí)，解集為 ； 一 1當(dāng)a 1時(shí)，解集為x| x 1。a總結(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對(duì)最高項(xiàng)含有字母系數(shù) 的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要“不重不漏”舉一反三：【變式1解關(guān)于x的不等式：(ax-1)(x-2)0;【答案】當(dāng)a=0時(shí)，xC (- ,2.1-當(dāng)aw0時(shí)，萬(wàn)程(ax-1)(x-2)=0兩根為

10、 x1 一，x22a當(dāng)a0時(shí)，H1c rr右 a 0, 2,即 0 a1 -右 a 0, =2 ,即 a a1 一右 a 0, 2,即 a a一 ，1當(dāng)a0時(shí)，則有：一a【變式2解關(guān)于x的不等式：ax2-11a 時(shí)，x (,2-,2a1時(shí)，xC R;2111二時(shí)，x (- 2,).2a1 ,2 , x ,2。a2x-10時(shí)，貝U A 0, x (,).aaa0時(shí),若 a0, 0, 即 a-1 時(shí)，x C R；若a0, =0, 即a=-1 時(shí)，xCRtMxw1;若a0, 即-1a0 【答案】 若a=0,原不等式化為-x+10,解集為x|x1；若aw0,原不等式為關(guān)于x的一元二次不等式方程ax2 x 10的判別式 =1-4a12(I)當(dāng)=1-4a。，即a 時(shí) 方程ax x 1 0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根 4114a114axi , X2 ,2a2a12當(dāng)0 a 時(shí)，函數(shù)f(x) ax x 1的圖象開(kāi)口向上, 4與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且 x1 x2 ,其簡(jiǎn)圖如下：所以，此時(shí)不等式 ax2 x 1 0 的解集為114a114a ,；2a2a當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)2ax x 1的圖象開(kāi)口向下,與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且xx2,其簡(jiǎn)圖如下:所以，此時(shí)不等式a