三種方法求橢圓軌跡

1、精品文檔5歡在下載3、求點的軌跡方程：(1)定義法：用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件 (已知兩焦點 的距離或坐標)轉化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在 原點、對稱軸是否為坐標軸，最后由定義產生橢圓的基本量 a, b, c.例題：加圖，P為圓B： (x + 2)2 + y2= 36上一動點，點A坐標為(2,0),線段AP的 垂直平分線交直線BP于點Q求點Q的軌跡方程.連接AQ：直線AP的垂直平分線交直,BP于點Q|AQ| = |PQ| , |AQ| + |BQ| = |PQ| + |BQ| = 6 (>|AB| ),：.由橢圓的定義可知：點Q的軌跡

2、為以A、B為焦點的橢圓，且 2a= 6,2c = 4;Ha=3, c=2；k.點Q的軌跡方程為x+y-j=1.9 - -5,跟蹤訓練：已知圓A： (x + 3)2+y2=100,圓A內一定點B(3, 0),圓P過B且與圓A 內切，求圓心P的軌跡方程.如圖，設圓P的半徑為r,又圓P過點B, .-.|PB| 又.圓P與圓A內切，圓A的半徑為10, ，兩圓的圓心距|PA| = 10-r,即 |PA| 十 |PB| =10( > |AB|).，由橢圓的定義可知：點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓. .2a= 10,2c = |AB| =6a=5, c=3 b2=a2-c2=25- 9=16.22，

3、點p的軌跡方程為25+'y6= 1.6.(2)相關點法：當題目中所求動點和已知動點存在明顯關系時，一般利用相關點的方法求解.用相關點法求軌跡方程的基本步驟為(1)設點：設所求軌跡上動點坐標 P(x, y),已知曲線上動點坐標 Qxi, yi).，一， ，一一，xi = gx, y，(2)求關系式：用點P的坐標表示出點Q的坐標，即得關系式y(tǒng)i = h x, y ,(3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得 方程化簡即可.例題:i口圖，在圓x2 + y2= 4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD, D為垂足.當 點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么

4、？設點M的坐標為(x , y),點P的坐標為(x 0, yo),V。則 x= x。， y= 2-.點 P(xo, yo)在圓 x2+y2= 4 上， x0+ y0= 4.把x。= x, y。= 2y代入方程 ， 2得 x2+ 4y2= 4,即+ y2= 1.點M的軌跡是一個橢圓.跟蹤訓練：如圖，設P是圓x2+y2 = 25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD, 一 一 4 一上一點，且|MD = RPD.當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程，并判斷此5曲線的類型.設M點的坐標為(x , y) , P點的坐標為(x p, yP),xP= x由已知易得 5,yp= 4y252P 在圓上，.

5、-.x + 4y =25,即軌跡C的方程為 蚩+%=1.該曲線表示橢圓.25 16(3)直接法：例題：加圖，設點A, B的坐標分別為(5,0) , (5,0).直線AM BM1目交于點M一、，14 且它們的斜率之積是一求點M的軌跡方程.9設點M的坐標為(x, y),點A的坐標是(一5,0),，八一一、y直線 AM勺斜率 kA9T ( xw 5)； x+ 5同理，直線 BM的斜率kBg=(xw5).x 5,. y y 4由已知有-JL-x-=-(x*±5), x+5 x59化簡，得點M的軌跡方程為 白+蕓=1 ( xw$).25 1009例題變式：4 ,若搔例題史的二三改為_a _(_

6、 a<0h_曲線折狀如何21 9IIIy y 設點 Mx, y),則X:=a( x豐 ±5).； xx -122y x；化簡得，"+=1 (xw均.25a 25i:(1)當a= 1時，曲線表示圓x2+y2= 25 ( xwi5),去掉兩點(巧,0).;(2)當aw 1時，曲線表示橢圓，去掉兩點(±5,0).;當一1<a<0時，橢圓焦點在 x軸上；I當a< 1時，橢圓焦點在 y軸上.例題小結：橢圓的另一種生成方法：一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數(shù) (不等于-1),軌跡即為橢圓，但要注意除去不符合題意的點.跟蹤訓練： 已知M(4,0) ,N(1,0)，若動點P滿足MNMP= 6|Np.求動點P的軌跡C的方程.設動點 P(x, y),則 M2 (x-4, y) , MNk(-3,0) , P2(1 -x, y),22由已知得一3( x 4) = 6 1 x 2+ y