復(fù)變函數(shù)論第4章第1節(jié)ppt課件

1、第四章第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示解析函數(shù)的冪級數(shù)表示 前面兩章我們分別用微分和積分的方法研前面兩章我們分別用微分和積分的方法研究了解析函數(shù)的性質(zhì)究了解析函數(shù)的性質(zhì), , 本章我們將用級數(shù)的方本章我們將用級數(shù)的方法研究解析函數(shù)的性質(zhì)法研究解析函數(shù)的性質(zhì). . 把解析函數(shù)表示為級數(shù)不僅有理論意義把解析函數(shù)表示為級數(shù)不僅有理論意義, , 而而且有實際意義且有實際意義( (如傅立葉變換如傅立葉變換DFTDFT，Z-Z-變換等變換等), ), 而某些應(yīng)用問題也常常用到級數(shù)而某些應(yīng)用問題也常常用到級數(shù). . 本章首先介紹復(fù)數(shù)項級數(shù)本章首先介紹復(fù)數(shù)項級數(shù); ; 然后討論復(fù)變函然后討論復(fù)變函數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)

2、, , 著重討論冪級數(shù)及其收斂性問題；之著重討論冪級數(shù)及其收斂性問題；之后研究解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；最后研究解后研究解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)；最后研究解析函數(shù)零點的孤立性和惟一性問題析函數(shù)零點的孤立性和惟一性問題. .1 1、復(fù)數(shù)項級數(shù)、復(fù)數(shù)項級數(shù)2 2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)、一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)1 復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)復(fù)級數(shù)的基本性質(zhì)3、解析函數(shù)項級數(shù)、解析函數(shù)項級數(shù)對對于于復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)項項無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nn,21 n定義定義4.14.1)1 . 4(nns 21設(shè)設(shè). )( 部分和部分和ns若復(fù)數(shù)列若復(fù)數(shù)列,s存在有限極限存在有限極限即即,limssnn ,)1 . 4(s收斂于收斂于則

3、稱復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)則稱復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)并稱并稱 s1 1、復(fù)數(shù)項級數(shù)、復(fù)數(shù)項級數(shù)，的和的和)1 . 4( 1nns，無無極極限限若若復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列), 2 , 1( nsn.)1 . 4(發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)1 . 4定理定理)1 . 4(211 nnn 則稱則稱nnniba 設(shè)設(shè), ), 2 , 1( n，為實數(shù)為實數(shù)及及nnba的的充充要要條條件件為為：收收斂斂于于則則復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù)ibas )1 . 4(.11babannnn及及分別收斂于分別收斂于及及實級數(shù)實級數(shù) 記作記作 n 21. )1(1 1的收斂性的收斂性考察級數(shù)考察級數(shù) nnin解解 1 11 nnnna因因為為 1121

4、nnnnb所以原級數(shù)發(fā)散所以原級數(shù)發(fā)散. 例例1 1說明說明 復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題 實數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理定理4.1),發(fā)散發(fā)散,收斂收斂則可得則可得由復(fù)數(shù)列的柯西收斂準由復(fù)數(shù)列的柯西收斂準復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列的的柯柯西西準準則則：), 2 , 1( niyxznnn復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列0 有有極極限限的的充充要要條條件件是是：時時，恒恒有有當當NnN , 0.), 2 , 1(| pzznpn2 . 4定理定理收收斂斂的的充充要要條條件件為為：復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù))1 . 4(1 nn對任對任,0 給給, )( NN存存在在正正整整數(shù)數(shù)為為時時且且使使當當pNn 任任何何

5、正正整整數(shù)數(shù)時時，有有.|21 pnnn特別地，特別地，,1 p若若取取.|1 n則則必必有有收斂的必要條件是收斂的必要條件是所以復(fù)數(shù)項級數(shù)所以復(fù)數(shù)項級數(shù) 1nn , 0lim nn 3 . 4定理定理：收收斂斂的的一一個個充充分分條條件件為為復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù))1 . 4(1 nn.|1收收斂斂級級數(shù)數(shù) nn注意注意 ,1的的各各項項都都是是非非負負的的實實數(shù)數(shù)由由于于 nn 應(yīng)用正項級數(shù)的審斂法判定其收斂性應(yīng)用正項級數(shù)的審斂法判定其收斂性.所以可所以可2 . 4定定義義，收斂收斂若級數(shù)若級數(shù) 1|nn稱稱則則原原級級數(shù)數(shù) 1nn為為，非非絕絕對對收收斂斂的的收收斂斂級級數(shù)數(shù)稱為稱為.條件收斂條件

6、收斂；絕對收斂絕對收斂4 . 4定理定理)1(的的各各項項可可以以任任意意一一個個絕絕對對收收斂斂的的復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù)重重排排次次序序，性性，而而不不致致改改變變其其絕絕對對收收斂斂亦不致改亦不致改.變其和變其和)2(兩兩個個絕絕對對收收斂斂的的復(fù)復(fù)級級數(shù)數(shù) ns21 ns21可可按按下下列列對對角角線線法法1 2 3 1 2 3 21 12 22 32 31 23 11 13 33 :)(級級數(shù)數(shù)柯柯西西積積得得出出乘乘積積 11 )(1221 )(1121 nnn 11)1(nnkknk .s s 也也絕絕對對收收斂斂于于 定義定義4.34.3設(shè)設(shè)復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù) )()()(21

7、zfzfzfn，上上有有定定義義的的各各項項均均在在點點集集 E)2 . 4(上存在一上存在一且在且在 E, )(zf個函數(shù)個函數(shù), zE 上的每一點上的每一點對于對于均均收收級級數(shù)數(shù))2 . 4(, )(zf斂于斂于的的和和函函數(shù)數(shù)，為為級級數(shù)數(shù)則則稱稱)2 . 4()(zf記作記作. )()(1 nnzfzf2 2、一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)、一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù))()(1zfzfnn ”語語言言來來描描述述就就是是：若若用用“N,0Ez 以以及及給給定定的的對對任任給給 ,0 N時，時，當當Nn 有有,| )()(|zSzfn 一一般般地地說說，而且依而且依不僅依賴于不僅依賴于上述正整數(shù)上

8、述正整數(shù)N. ),(zNNz ：賴賴于于：無無關(guān)關(guān)有有關(guān)關(guān)而而與與只只與與一一種種重重要要的的情情形形是是zN, )(NN 即所謂即所謂一致收斂性：一致收斂性：定義定義4.44.4上上有有一一個個如如果果在在點點集集對對于于級級數(shù)數(shù)E, )2 . 4(),(zf函數(shù)函數(shù),0 使對任何給定的使對任何給定的N存在正整數(shù)存在正整數(shù)),(N 時，時，當當Nn ,Ez 對對一一切切的的均有均有.| )()(|zSzfn ).()2 . 4(zfE 上一致收斂于上一致收斂于在在則稱級數(shù)則稱級數(shù)定定就就是是利利用用上上述述定定義義的的否否證證明明不不一一致致收收斂斂的的方方法法,形形式式 即即有有如如下下定

9、定義義：4. 4 定義定義)()(1zfEzfnn上不一致收斂于上不一致收斂于在點集在點集 )2 . 4()()()(21 zfzfzfn，對任何正整數(shù)對任何正整數(shù)某個某個0,00 N整數(shù)整數(shù) ，時時Nn 0使使總有某個總有某個,0Ez .| )()(|0000zSzfn 5 . 4定理定理)(柯柯西西一一致致收收斂斂準準則則充要充要上一致收斂于某函數(shù)的上一致收斂于某函數(shù)的在點集在點集級數(shù)級數(shù)E)2 . 4(:條件是條件是,0 任給任給, )(NN 存存在在正正整整數(shù)數(shù)使當使當,時時Nn 均均有有對對一一切切,Ez zfzfpnn | )()(|1. ), 2 , 1( p)2 . 4()()

10、()(21 zfzfzfn5 . 4 定定理理)()(1zfEzfnn上不一致收斂于上不一致收斂于在點集在點集 ，對任何正整數(shù)對任何正整數(shù)某個某個0,00 N,0n整數(shù)整數(shù) ，時時Nn 0有有及及某某個個正正整整數(shù)數(shù)總總有有某某個個,00pEz 使當使當.| )()()(|0002010000zfzfzfpnnn 充充分分條條件件，可可得得出出一一致致收收斂斂的的一一個個由由柯柯西西收收斂斂準準則則,即即級數(shù)準則：級數(shù)準則：強強優(yōu)優(yōu))(, ), 2, 1( nMn若若有有正正數(shù)數(shù)列列有有使對一切使對一切,Ez nnMzf | )(|), 2, 1( n收斂，收斂，而且正項級數(shù)而且正項級數(shù) 1n

11、nM則則復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù).)(1上絕對收斂且一致收斂上絕對收斂且一致收斂在集在集 Ezfnn 的的稱稱為為復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)正正項項級級數(shù)數(shù))(11zfMnnnn .優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù)注：注： 優(yōu)級數(shù)準則是一個被廣泛應(yīng)用的方法優(yōu)級數(shù)準則是一個被廣泛應(yīng)用的方法. . 因因為它把判別復(fù)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性轉(zhuǎn)化為為它把判別復(fù)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性轉(zhuǎn)化為判別正項級數(shù)的收斂性；另外，優(yōu)級數(shù)準則同判別正項級數(shù)的收斂性；另外，優(yōu)級數(shù)準則同時還可以判定絕對收斂性時還可以判定絕對收斂性. .別別法法強強級級數(shù)數(shù)準準則則亦亦即即比比較較判判)(魏魏爾爾斯斯特特拉拉斯斯判判別別法法2例例級數(shù)級數(shù) nzzz

12、21rz |在在閉閉圓圓.)1(上一致收斂上一致收斂 r.0 nnr優(yōu)級數(shù)優(yōu)級數(shù)因為上述級數(shù)有收斂的因為上述級數(shù)有收斂的下述兩個定理和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行下述兩個定理和數(shù)學(xué)分析中相應(yīng)的定理平行. .6 . 4定理定理,)(1上上連連續(xù)續(xù)的的各各項項在在點點集集設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)Ezfnn , )(zf并且一致收斂于并且一致收斂于則和函數(shù)則和函數(shù) 1)()(nnzfzf.上上連連續(xù)續(xù)也也在在 E7 . 4定理定理,)(1上上連連續(xù)續(xù)的的各各項項在在曲曲線線設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)Czfnn , )(zfC 上上一一致致收收斂斂于于且且在在可可以以逐逐項項積積分分：則則沿沿 C并并.)()(1 nCnCdzzf

13、dzzf定義定義4.54.5內(nèi)，內(nèi)，定義于區(qū)域定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Dnzfn), 2, 1()( ,)2 . 4(收收斂斂內(nèi)內(nèi)任任一一有有界界閉閉集集上上一一致致在在若若級級數(shù)數(shù)D則稱則稱內(nèi)內(nèi)此此級級數(shù)數(shù)在在 D.內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂)2 . 4()()()()(211 zfzfzfzfnnn8 . 4定理定理內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂在在圓圓級級數(shù)數(shù)RazK |:|)2 . 4(的的充充要要條條件件為為：,R 只要只要對任意正數(shù)對任意正數(shù))2 . 4(級數(shù)級數(shù).|:|上上一一致致收收斂斂在在閉閉圓圓azK 證證必要性必要性.內(nèi)內(nèi)的的有有界界閉閉集集就就是是因因為為KK 充分性充分性在在閉閉圓圓級級數(shù)數(shù)已已知知對對任任意意)2 . 4(,R 上上一一致致收收斂斂， |:|azK內(nèi)內(nèi)任任意意有有界界閉閉集集，而而圓圓 K,上上都都可可包包含含在在某某個個 K.|:|)2 . 4(內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂在在從從而而級級數(shù)數(shù)RazK 例如，例如， 幾何級數(shù)幾何級數(shù) nzzz21,1|時此級數(shù)收斂時此級數(shù)收斂當當 z.但不一致收斂但不一致收斂,2知知而由例而由例.1|內(nèi)內(nèi)是是內(nèi)內(nèi)閉閉一一致致收收斂斂的的它它在在單單位位圓圓 z,顯然顯然內(nèi)內(nèi)閉內(nèi)內(nèi)閉內(nèi)一致收斂的級數(shù)必在內(nèi)一致收斂的級數(shù)必在在區(qū)域在區(qū)域DD,一致收斂一致收斂.但其逆不成立但其逆