第七章2連續(xù)小波變換ppt課件

1、2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換基本小波基本小波連續(xù)小波變換的定義連續(xù)小波變換的定義連續(xù)小波變換的性質(zhì)連續(xù)小波變換的性質(zhì)常用的基本小波常用的基本小波連續(xù)小波變換的逆變換連續(xù)小波變換的逆變換連續(xù)小波變換的再生核連續(xù)小波變換的再生核小波時頻分析小波時頻分析CWT的變換過程示例的變換過程示例連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示連續(xù)小波變換的應用連續(xù)小波變換的應用基本小波基本小波定義：定義：2|( )|Cd| 則稱)(t為基本小波，或母小波。2( )( )tL R，其Fourier變換為 ()滿足設(shè)允許條件性質(zhì)：性質(zhì)：(1) 帶通性質(zhì)(2) 零均值和波動性(3) 局部化特性t)ab

2、-t(t)|a |b) )(a,(21 -dffW尺度因子平移因子歸一化因子a,ba,b (W f )(a, b)f (t)(t)dtf (t), (t)連續(xù)小波變換的定義連續(xù)小波變換的定義定義：定義： 對任意，它的連續(xù)小波變換定義為：2( )( )f tL R-1/2a,bt-b(t)|a|(): aR, a0; bR a稱為小波基函數(shù)一般可簡記為連續(xù)小波變換的性質(zhì)連續(xù)小波變換的性質(zhì) (4)自相似性:對應不同尺度參數(shù)a和不同的平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的 線性性: 一個多分量信號的連續(xù)小波變換等于各個分量 的小波變換之和(2)平移不變性:假設(shè)的小波變換為( )f t( , )fW

3、ab()f t，那么( ,)fW ab的小波變換為(3)伸縮共變性:假設(shè)的小波變換為( )f t的( , )fW ab，那么( )f ct1( , ),0fW cacbcc小波變換為(5)冗余性: 連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余連續(xù)小波變換的逆變換連續(xù)小波變換的逆變換 逆變換存在的可能性： 窗口寬度任意調(diào)節(jié)，在時域上或頻域上能完全恢復出信號的信息。 連續(xù)小波變換結(jié)果有很大的冗余度。 以a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換： 假設(shè) f(t)、(t) L2(R)：(t) (t),t(t)(t)b) )(a,( ba,ba,fdffWbaa(t)b) )(a,(C(t)2ba,1 -ddfW

4、f 2|( )| Cd|其中：常用的基本小波常用的基本小波 Haar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 2. Daubechies小波小波D4尺度函數(shù)與小波尺度函數(shù)與小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函數(shù)與小波尺度函數(shù)與小波 常用的基本小波常用的基本小波 3、雙正交小波、雙正交小波雙正交雙正交B樣條小波樣條小波5-3）、）、 （9-7小波濾波器小波濾波器bior2.2, bior4.4（7-5小波濾波器小波濾波器: 11 1 3 1 1,8 2 4

5、2 82h2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281 212qpqqqpqqpqqqpqqqq 13355533,164 16 2 164 162h常用于圖形學中。其中尺度函數(shù)是一常用于圖形學中。其中尺度函數(shù)是一個三次個三次B樣條。樣條。常用的基本小波常用的基本小波 4. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e Morlet小波不存在尺度函數(shù)小波不存在尺度函數(shù); 快速衰減但非緊支撐快速衰減但非緊支撐. Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波

6、Morlet小波1,5常用的基本小波常用的基本小波 5. 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 這是高斯函數(shù)的一階導數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應用。這是高斯函數(shù)的一階導數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應用。主要應用于階梯型邊界的提取。主要應用于階梯型邊界的提取。 特性：特性： 指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化； 關(guān)于關(guān)于0軸反對稱。軸反對稱。常用的基本小波常用的基本小波 6. Marr小波也叫墨西哥草帽小波）小波也叫墨西哥草帽小波） 這是高斯函數(shù)的二階導數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取

7、中具有重要的應用。這是高斯函數(shù)的二階導數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應用。主要應用于屋脊型邊界和主要應用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。邊緣的提取。 22/22( )(1)3ttte242/22 2( )3e 特性：特性： 指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化； 關(guān)于關(guān)于0軸對稱。軸對稱。( ) t常用的基本小波常用的基本小波 7. Meyer小波小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進行定義的。具體定義如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1

8、v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 常用的基本小波常用的基本小波 8. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/2tttt /21, 20, ie 其它在時域，在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。 t常用的基本小波常用的基本小波 9. Battle-Lemarie樣條小波樣條小波 2242224

9、12sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige t常用的基本小波常用的基本小波 連續(xù)小波變換的再生核連續(xù)小波變換的再生核 尺度和位移連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過度完全基，小波展開系數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系可表示為,1( , ; , )( )( )aaRKaatt dtC 1. CWT系數(shù)具有很大的冗余，計算量比較大2. 利用冗余性可以實現(xiàn)去噪和數(shù)據(jù)恢復的目的。重建核方程重建核方程daaKaWadaaWff),;,(),(),(000200重建核小波時頻分析小波時頻分析 小波分析能提供隨頻率改變的時小波分析能提供隨頻率改變的時-頻窗頻窗(自

10、適應窗口自適應窗口)。 假設(shè) 是任一基本小波，并且 與都是窗函數(shù)，它們的中心 與半徑分別為 ,t和。不妨設(shè)和尺度 a都是正數(shù)。1( , )( )()b atafb atatbWTa bf tdtaa ,1( , ),( )()22ibfa baWTa bffead給出了 ft在頻域窗 ( , )fWTa b內(nèi)的局部化信息。 ,aaaa給出了 ft在時間窗 ( , )fWTa b內(nèi)的局部化信息。 ,batabata 小波時頻分析小波時頻分析 內(nèi)的局部化信息, /a( , )fWTa b若用作為頻率變量，那么，那么給出了信號t在時間頻率平面(平面中一個矩形的時間頻率窗 ,batabataaaaa

11、即小波變換具有時頻局部化特征。 120aa2a窗寬窗寬:面積面積:,a b的寬度是寬度的a倍。對信號 f t的高頻成分需用尺度較小的分析小波。信號進行分析。 這時時間窗會自動變窄，并在高頻區(qū)域?qū)? “恒Q性質(zhì)”： 小波函數(shù)a,b(t)的頻率具有帶通特性，帶通濾波特性的品質(zhì)因數(shù)Q為*/*2/2aQa小波時頻分析小波時頻分析 各種變換的比較各種變換的比較 小波變換的特性小波變換的特性分解種類：時間分解種類：時間-尺度或時間尺度或時間-頻率頻率分析函數(shù)：具有固定震蕩次數(shù)的時間有限的波。分析函數(shù)：具有固定震蕩次數(shù)的時間有限的波。 小波函數(shù)的伸縮改變其窗口大小。小波函數(shù)的伸縮改變其窗口大小。變量：變量：

12、 尺度，小波的位置尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的時間局部化及差的頻率信息：窄的小波提供好的時間局部化及差的頻率 局部化，寬的小波提供好的頻率局部化局部化，寬的小波提供好的頻率局部化 及差的時間局部化。及差的時間局部化。適應場合：非平穩(wěn)信號適應場合：非平穩(wěn)信號短時短時Fourier變換的特性變換的特性 分解種類：時間分解種類：時間-頻率頻率 分析函數(shù)：由三角震蕩函數(shù)復合而成的時間有限的波分析函數(shù)：由三角震蕩函數(shù)復合而成的時間有限的波 變量：頻率，窗口的位置變量：頻率，窗口的位置 信息：信息： 窗口越小，時間局部化越好，其結(jié)果是濾掉低頻成分；窗口越小，時間局部化越好，其結(jié)果是濾掉低頻成分

13、； 窗口越大，頻率局部化越好窗口越大，頻率局部化越好, 此時時間局部化較差此時時間局部化較差. 適應場合：次穩(wěn)定信號適應場合：次穩(wěn)定信號 Fourier變換變換的特性變換變換的特性分解種類：頻率分解種類：頻率分析函數(shù)：正弦函數(shù)，余弦函數(shù)分析函數(shù)：正弦函數(shù)，余弦函數(shù) 變量：變量： 頻率頻率信息：組成信號的頻率信息：組成信號的頻率 適應場合：平穩(wěn)信號適應場合：平穩(wěn)信號CWT的變換過程示例的變換過程示例CWT的變換過程示例，見圖，可分如下5步小波 (t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較 計算系數(shù)C該部分信號與小波的近似程度；C值越高表示信號與小波相似程度越高小波右移k得到的小波函數(shù)為 (t-k)

14、 ，然后重復步驟1和2，直到信號結(jié)束 擴展小波，如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為 (t/2) 重復步驟14 圖2-1 連續(xù)小波變換的過程 對于含噪聲的周期性信號noissin進行連續(xù)小波分解，首先使用db4小波對比小波對信號進行不同尺度的分解，重新選擇分解尺度后腳明顯地顯示出了信號的周期性特征，最后使用復小波cgau4對信號進行分解，分別得到信號的實部、虛部、模和相位。結(jié)果如圖2-2、2-3和圖2-4所示。連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示01002003004005006007008009001000-1.5-1-0.500.511.5連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示連續(xù)

15、小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示圖2-2 原始信號連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 .time (or space) bscales a2004006008001000 1 4 710131619222528313437404346Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50

16、58 66 74 82 90 98106114122圖2-3 不同尺度下的連續(xù)小波分解連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示連續(xù)小波變換的數(shù)值積分結(jié)果演示Real part of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 98106114122Imaginary part of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42

17、 50 58 66 74 82 90 98106114122Modulus of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 98106114122Angle of Ca,b for a = 2 4 6 8 10 .time (or space) bscales a2004006008001000 2 10 18 26 34 42 50 58 66 74 82 90 98106114122圖2-4 信號的復連續(xù)小波分解 正弦信號在位置正

18、弦信號在位置500處有一間斷點，由于間斷點持續(xù)的處有一間斷點，由于間斷點持續(xù)的時間很短，因此在波形圖中無法辨識出間斷點來。如圖時間很短，因此在波形圖中無法辨識出間斷點來。如圖2-5。連續(xù)小波變換用于斷點分析連續(xù)小波變換用于斷點分析020040060080010001200-101正 弦 信 號 x102004006008001000120000.050.1間 斷 信 號 x2020040060080010001200-101含 間 斷 點 的 正 弦 信 號 x圖2-5 原始信號 對該信號進行快速對該信號進行快速Fourier變換，得到信號的頻譜圖。觀察變換，得到信號的頻譜圖。觀察信號的頻譜，

19、除了正弦信號的基頻之外，無任何額外的信息。信號的頻譜，除了正弦信號的基頻之外，無任何額外的信息。如圖如圖2-6。 連續(xù)小波變換用于斷點分析連續(xù)小波變換用于斷點分析0501001502002503003504004505000100200300信 號 x1的 頻 譜 圖0501001502002503003504004505000100200300信 號 x的 頻 譜 圖圖2-6 頻譜圖 選取選取db4小波，尺度小波，尺度a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，對信號實施連續(xù)小波變換，得到小波系數(shù)分布圖。在空間位對信號實施連續(xù)小波變換，得到小波系數(shù)分布圖。在空間位置置500處間斷點的信息一

20、目了然地顯現(xiàn)出來。在尺度為處間斷點的信息一目了然地顯現(xiàn)出來。在尺度為1處，處，在整個時間范圍空間位置內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號在整個時間范圍空間位置內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號的基頻信息。而空間位置的基頻信息。而空間位置500處的間斷點在時間上是局部的，處的間斷點在時間上是局部的，小波系數(shù)集中發(fā)生在間斷位置的各個尺度上，將間斷信息凸小波系數(shù)集中發(fā)生在間斷位置的各個尺度上，將間斷信息凸現(xiàn)了出來。如圖現(xiàn)了出來。如圖2-7。連續(xù)小波變換用于斷點分析連續(xù)小波變換用于斷點分析 傳統(tǒng)的快速Fourier變換對此卻無能為力，究其原因在于間斷分布的能量在整個信號中所占的比例太小，而Fourier變換并無時間局部化能力。連續(xù)小波變換用于斷點分析連續(xù)小波變換用于斷點分析信 號 x的 連 續(xù) 小 波 變 換time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 1 2 3 4 5 6 7 8 910圖2-7 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換用于自相似性檢測連續(xù)小波變換用于自相似性檢測 直觀上講，小波分解可通過計算信號和小波之間的自相似指數(shù)(小波系數(shù))得到。自相似指數(shù)大，則信號的自相似程度就高；