結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)多自由度體系的自由振動(dòng)ppt課件

1、13-513-5多自在度體系的自在振動(dòng)多自在度體系的自在振動(dòng)一一. .運(yùn)動(dòng)方程的建立及其解運(yùn)動(dòng)方程的建立及其解自在振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性自在振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性. .可不計(jì)阻尼。可不計(jì)阻尼。1.1.建立運(yùn)動(dòng)方程建立運(yùn)動(dòng)方程(1)(1)剛度法剛度法)(1tFp2k1EI1EI1k)(2tFp)(22tym )(1tFp)(2tFp)(1ty)(2ty)(11tym 11k21k112k22k1= =1y2y)(1tFR)(2tFR+ + +1111pRFymF 2222pRFymF 11k21k2k1k12k22k2k2111kkk221kk212kk222kk0212

2、111111ykykFymp 0222121222ykykFymp )(2tFp)(1tFp2k1EI1EI1k11ym 22ym )(1ty)(2ty或記作或記作 0ykym 0)()()(21211111tyktyktym 0)()()(22212122tyktyktym 002122mmm 2221121122kkkkk 2112yyy 00012 2112yyy其中其中假設(shè)為自在振動(dòng)那么有假設(shè)為自在振動(dòng)那么有 , ,于于是是: :0)( tFp(2)(2)柔度法柔度法)(tFPEIl/3l/3l/3)(1ty)(2ty)(11tym )(22tym 1112111222= =)()(1

3、1tymtFp )(22tym )()()()(221211111tymtymtFtyp )()()()(222211212tymtymtFtyp )()()()(221211111tymtymtFtyp )()()()(222211212tymtymtFtyp 2121222112112221121121000yymmFyyp 簡記為簡記為 ymFyp 位移位移向量向量柔度矩陣柔度矩陣荷載向量荷載向量質(zhì)量質(zhì)量矩陣矩陣加加速速度度向向量量假設(shè)為自在振動(dòng)那么有假設(shè)為自在振動(dòng)那么有 , ,于于是是: :0)( tFp)()(00)()(21212221121121tytymmtyty 簡記為簡記為

4、 ymy 設(shè)方程的特解為設(shè)方程的特解為)sin()()sin()(2211tYtytYty2.2.運(yùn)動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)方程的解0)()()(21211111tyktyktym 0)()()(22212122tyktyktym 代入方程代入方程, ,得得0121212111YmYkYk0222222121YmYkYk經(jīng)整理經(jīng)整理, ,得得0)(21212111YkYmk0)(22222121YmkYk0)()()(21211111tyktyktym 0)()()(22212122tyktyktym -振型方程振型方程)sin()()sin()(2211tYtytYty為尋求為尋求Y1Y1、Y2Y2的

5、非零解，上式中的系數(shù)行列式必為零，于是有：的非零解，上式中的系數(shù)行列式必為零，于是有：0)()(222221122111mkkkmk-頻率方程頻率方程展開上式可得到一個(gè)關(guān)于展開上式可得到一個(gè)關(guān)于 的二次方程的二次方程20)()(222221122111mkkkmk-頻率方程頻率方程0)(211222221211kkmkmk展開展開212112221122221112221112)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk整理后有：整理后有：0)()(2121122211222211122mmkkkkmkmk-與第一頻率相對與第一頻率相對應(yīng)的振型，簡稱第應(yīng)的振型，簡稱第一振型一振型解頻率方程得解

6、頻率方程得 的兩個(gè)根的兩個(gè)根2值小者記作值小者記作21稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作根本頻率也稱作根本頻率; ;值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .將將 頻率代入振型方程，留意到行列式等于零，振型方程中頻率代入振型方程，留意到行列式等于零，振型方程中的兩個(gè)方程是線性相關(guān)的，只需一個(gè)獨(dú)立的方程：的兩個(gè)方程是線性相關(guān)的，只需一個(gè)獨(dú)立的方程：10)(21121121111YkYmk11211122111kmkYY同樣處置將同樣處置將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程20)(22121222111YkYmk11221122212kmkYY2111YY-與第二頻率相對與

7、第二頻率相對應(yīng)的振型，簡稱第應(yīng)的振型，簡稱第二振型二振型2212YY00)00(2122122211211YYmmkkkk 0)(2Ymk 02mk-頻率方程頻率方程即即或記作或記作0)(21212111YkYmk0)(22222121YmkYk-振型方程振型方程解頻率方程得解頻率方程得 的兩個(gè)根的兩個(gè)根2將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程10)(21121121111YkYmk11211122111kmkYY11221122212kmkYY將將 頻率代入振型方程頻率代入振型方程20)(22121222111YkYmk特解特解1 1)sin()sin(212121111111tYytYy特

8、解特解2 2)sin()sin(222222221212tYytYy值小者記作值小者記作21稱作第一頻率稱作第一頻率也稱作根本頻率也稱作根本頻率; ;值大者記作值大者記作稱為第二頻率或高階頻率稱為第二頻率或高階頻率. .)sin()()(112111121tYYtyty)sin()()(222212221tYYtyty通解通解)sin()sin()()(2222122112111121tYYAtYYAtyty特解特解1 1)sin()sin(212121111111tYytYy特解特解2 2)sin()sin(222222221212tYytYy其中其中A1A1、A2A2是由初始條件確定的恣意

9、常數(shù)。是由初始條件確定的恣意常數(shù)。特解特解1 1也可寫為也可寫為特解特解2 2也可寫為也可寫為二二. .關(guān)于頻率與振型的討論關(guān)于頻率與振型的討論體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn)1)1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步各質(zhì)點(diǎn)同頻同步; ;21111121111121)sin()sin()()(YYtYtYtyty)sin()()sin()(112121111111tYtytYty11211122111kmkYY2)2)恣意時(shí)辰恣意時(shí)辰, ,各質(zhì)點(diǎn)位移的比各質(zhì)點(diǎn)位移的比 值堅(jiān)持不變值堅(jiān)持不變定義定義: :體系上一切質(zhì)量按一樣頻率作自在振動(dòng)時(shí)體系上一切質(zhì)量按一樣頻率作自在振動(dòng)時(shí) 的振動(dòng)外形稱作體系

10、的主振型。的振動(dòng)外形稱作體系的主振型。幾點(diǎn)闡明：幾點(diǎn)闡明：1.1.按振型作自在振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的按振型作自在振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值一樣。比值一樣。2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty2.2.發(fā)生按振型的自在振動(dòng)是有條件的發(fā)生按振型的自在振動(dòng)是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(YYyyYYyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界要素?zé)o關(guān)與外界要素?zé)o關(guān). .幾點(diǎn)闡明：幾點(diǎn)闡明：1.1.按振型作自在振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的按振

11、型作自在振動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值一樣。比值一樣。2111111211111121)cos()cos()()(YYtYtYtyty2.2.發(fā)生按振型的自在振動(dòng)是有條件的發(fā)生按振型的自在振動(dòng)是有條件的. .211121211121) 0() 0(,) 0() 0(YYyyYYyy3.3.振型與頻率是體系本身固有的屬性振型與頻率是體系本身固有的屬性, , 與外界要素?zé)o關(guān)與外界要素?zé)o關(guān). .4.N4.N自在度體系有自在度體系有N N個(gè)頻率和個(gè)頻率和N N個(gè)振型個(gè)振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得N N個(gè)個(gè) 從小從小到大陳列到大

12、陳列N21,依次稱作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作根本頻率第一頻率稱作根本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N個(gè)振型個(gè)振型 0)(2YmkN N個(gè)振型彼此之間是線性無關(guān)的個(gè)振型彼此之間是線性無關(guān)的. .5 5。假設(shè)知柔度矩陣時(shí)。假設(shè)知柔度矩陣時(shí)6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、頻率可列幅值方程. .4 4。N N自在度體系有自在度體系有N N個(gè)頻率和個(gè)頻率和N N個(gè)振型個(gè)振型 02mk頻率方程頻率方程解頻率方程得解頻率方程得 的的N,N,從小從小到大陳列到大陳列N21,依次稱

13、作第一頻率依次稱作第一頻率, ,第二頻率第二頻率.第一頻率稱作根本頻率第一頻率稱作根本頻率, ,其它為高其它為高階頻率階頻率. .將頻率代入振型方程將頻率代入振型方程 ), 2 , 1(NiYi得得N N個(gè)振型個(gè)振型 0)(2YmkN N個(gè)振型是線性無關(guān)的個(gè)振型是線性無關(guān)的. .振型方程振型方程 0)(2YmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動(dòng)時(shí)按振型振動(dòng)時(shí))sin()sin(2211tYytYy)sin()sin(222211tYytYy )sin()()sin()(22222111tYmtFtYmtFII5 5。假設(shè)知柔度矩陣時(shí)。假設(shè)知柔度矩陣時(shí)6 6。求振型、頻率可列幅值方程。求振型、

14、頻率可列幅值方程. .振型方程振型方程 0)(2YmI頻率方程頻率方程 02mI按振型振動(dòng)時(shí)按振型振動(dòng)時(shí))sin()()sin()(2211tYtytYty)sin()()sin()(222211tYtytYty )sin()()sin()(22222111tYmtFtYmtFII1Y2Y121Ym222Ym2222212121222212121111YmYmYYmYmY 0)(2XmI 02mI振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移三三. .求多自在度體系頻率、振型例題求多自在度體系頻率、振型例題例例1

15、.1.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI解解1111122221EIl322112434EIl321124867 02mI0/1/122222111222111mmmm令令21111m01/1112111120)8/7()1 (228/1822692. 5mlEImlEImm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222218/1822692. 5mlEImlEI2222212121222212121111YmYmYYmYmY22212121111YmYmY21112212211mmYY11

16、21111212122111mmYY1122111222122212mmYY1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型2222212121222212121111YmYmYYmYmY22212121111YmYmY21112212211mmYY1121111212122111mmYY1122111222122212mmYY1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型 111Y 112Y對稱體系的振型分對稱體系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI11111222211 11 11 1

17、1 1第一振型第一振型第二振型第二振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI 111Y 112Y對稱系的振型分對稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型1111122221按對稱振型振動(dòng)按對稱振型振動(dòng)m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對稱振型振動(dòng)按反對稱振型振動(dòng)1 11 1第二振型第二振型mm 1mm 23/l3/l3/lEI 111Y 112Y對稱系的振型分對稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型1111122221按對稱振型振動(dòng)按對稱振型

18、振動(dòng)m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對稱振型振動(dòng)按反對稱振型振動(dòng)m3/l6/l對稱系的振型分對稱系的振型分成兩組成兩組: :一組為對稱振型一組為對稱振型一組為反對稱振型一組為反對稱振型1111122221mm 1mm 23/l3/l3/lEI按對稱振型振動(dòng)按對稱振型振動(dòng)m3/l6/lEIl3111625=1=1l/31121m3/692. 5mlEI按反對稱振型振動(dòng)按反對稱振型振動(dòng)m3/l6/l=1=1l/9EIl31148613/045.22mlEI31/692. 5mlEI32/045.22mlEI解解: :例例2.2.求圖示體系的頻率

19、、振型求圖示體系的頻率、振型. . 知知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmk2k1EI1EI1k0121212111YmYkYk0222222121YmYkYkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 12618. 01;618. 1122122111YYYY 618. 111Y 618. 012Y1 11.6181.6181 10.6180.618 1Y 2Ymkmk61803. 238197. 02221mkmk61803. 161803. 0213 3求主振型求主振型618

20、. 1138197. 02:121111221111kkkmkkYY618. 0161803. 22:22122kkkYY1.6181.01.00.618第第1 1振型振型第第2 2振型振型2 2求頻率求頻率0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmkk11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式假設(shè)有假設(shè)有kkkmmm2121例例3.3.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :EIl31134令令21111m02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mlE

21、ImlEImlEImEIl1y2y12Ym222Ym1Y2Y11211122211221212112YYmYm2222212212YYmYm02)1 (211121YY0)2(2112211121YYllEIl3211221EIl32231例例3.3.求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型解解: :令令21111m1221212112YYmYm2222212212YYmYm02)1 (211121YY02/18/34/31032/9)2/1)(1 (1637. 0336. 1213231140. 2;749. 0mlEImlEImlEImEIl1y2y12Ym222Ym1Y2Y1121112221ll23. 214/312111YY897. 014/322212YY