第二章 插值法及其matlab實(shí)現(xiàn) ppt課件

1、主講教師：牛曉穎河北大學(xué)質(zhì)監(jiān)學(xué)院 描畫(huà)事物之間的數(shù)量關(guān)系：函數(shù)。 有兩種情況： 一是表格方式一組離散的數(shù)據(jù)來(lái)表示函數(shù)關(guān)系；另一種是函數(shù)雖然有明顯的表達(dá)式，但很復(fù)雜，不便于研討和運(yùn)用。 從實(shí)踐需求出發(fā)：對(duì)于計(jì)算結(jié)果允許有一定的誤差，可以把函數(shù)關(guān)系用一個(gè)簡(jiǎn)單的便于計(jì)算和處置的近似表達(dá)式來(lái)替代，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。普通地，構(gòu)造某種簡(jiǎn)單函數(shù)替代原來(lái)函數(shù)。0 引言引言第二章第二章 插值插值Interpolation法法插值法就是一種根本方法插值法就是一種根本方法當(dāng)準(zhǔn)確函數(shù)當(dāng)準(zhǔn)確函數(shù) y = f(x) 非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)非常復(fù)雜或未知時(shí)，在一系列節(jié)點(diǎn)點(diǎn) x0 xn 處測(cè)得函數(shù)值處測(cè)得函數(shù)值 y0

2、 = f(x0), yn = f(xn)，由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù)由此構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單易算的近似函數(shù) g(x) f(x)，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足條件條件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。這里的。這里的 g(x) 稱(chēng)為稱(chēng)為f(x) 的插值函數(shù)。的插值函數(shù)。x0 x1x2x3x4xg(x) f(x) 根據(jù)實(shí)踐需求，可以用各種不同的函數(shù)來(lái)近似原來(lái)的函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是最常用的插值函數(shù)是 ?多項(xiàng)式：多項(xiàng)式： 代數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單，計(jì)算其值只需用到加、減乘運(yùn)算，且積分和微分都很方便； 所以常用它來(lái)近似表示表格函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù)),這樣的插值方法叫做代數(shù)插值法，簡(jiǎn)稱(chēng)插值法。1 拉格朗日多項(xiàng)式拉格朗日多

3、項(xiàng)式 niyxPiin,., 0,)(= = =求求 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 使得使得nnnxaxaaxP = =10)(條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即jixx ji n = 1知知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求，求xaaxP101)( = =使得使得111001)(,)(yxPyxP= = =可見(jiàn)可見(jiàn) P1(x) 是過(guò)是過(guò) ( x0 , y0 ) 和和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直兩點(diǎn)的直線(xiàn)。線(xiàn)。)(1xP101xxxx- - -010 xxxx- - -= y0 + y11.1線(xiàn)性插值線(xiàn)性插值兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式)()(0010101xxxxyyyxP- - - - = =點(diǎn)

4、斜式點(diǎn)斜式)(001010 xxxxxxy- - - - = =()ff1.2 二次插值二次插值n = 2知知 x0 , x1 , x2; y0 , y1 ,y2 , 求求22102)(xaxaaxP = =使得使得002,)(yxP112)(yxP= = =222)(yxP= =, 為求為求P2(x),將三點(diǎn)代入其表達(dá)式將三點(diǎn)代入其表達(dá)式,即可得到三個(gè)方程式即可得到三個(gè)方程式,從而聯(lián)立方程組解出系數(shù)從而聯(lián)立方程組解出系數(shù)a0, a1, a2即可即可:2020100 xaxaay = =2121101xaxaay = =2222102xaxaay = =方程組的解能否存方程組的解能否存在在?

5、假設(shè)存在解假設(shè)存在解,能能否獨(dú)一否獨(dú)一?!當(dāng)當(dāng) x0 , x1 , x2互異時(shí)互異時(shí),方程組的解存在且獨(dú)一方程組的解存在且獨(dú)一.注：顯然有注：顯然有, 求求n 次插值時(shí)次插值時(shí), 由由n +1個(gè)點(diǎn)可有個(gè)點(diǎn)可有n +1個(gè)方程個(gè)方程, 聯(lián)立方程組即可求出插值多項(xiàng)式的聯(lián)立方程組即可求出插值多項(xiàng)式的n +1個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù). 然而然而,方程組的求解也并不是一件容易的事。方程組的求解也并不是一件容易的事。1.2.1 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 對(duì)于線(xiàn)性插值的兩種方式解進(jìn)展適當(dāng)?shù)姆治鰧?duì)于線(xiàn)性插值的兩種方式解進(jìn)展適當(dāng)?shù)姆治? , 從中尋從中尋求規(guī)律而得到啟發(fā)求規(guī)律而得到啟發(fā), ,就有了所謂的拉格朗日插值法就有了所謂的

6、拉格朗日插值法( (公式公式) )和牛頓插值和牛頓插值( (公式公式).). 我們先來(lái)看看如何得到二次拉格朗日插值公式。 首先, 線(xiàn)性插值的兩點(diǎn)式可看作是兩個(gè)特殊的一次式的一種線(xiàn)性組合.101xxxx- - -010 xxxx- - -)(1xP= y0 + y1 = = =10)(iiiyxl兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式l0(x)l1(x)本質(zhì)上本質(zhì)上0lx和和1lx即是滿(mǎn)足函數(shù)表即是滿(mǎn)足函數(shù)表 的一次插值多項(xiàng)式的一次插值多項(xiàng)式 ,稱(chēng)稱(chēng)l0(x)和和l1(x)為以為以x0,x1為節(jié)點(diǎn)的根本插為節(jié)點(diǎn)的根本插值多項(xiàng)式，也稱(chēng)為線(xiàn)性插值的插值基函數(shù)值多項(xiàng)式，也稱(chēng)為線(xiàn)性插值的插值基函數(shù) 。 于是，線(xiàn)性插值即是用基函數(shù)

7、的線(xiàn)性組合來(lái)構(gòu)造的于是，線(xiàn)性插值即是用基函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)構(gòu)造的. 1.2.2 基函數(shù)法基函數(shù)法稱(chēng)為拉氏基函稱(chēng)為拉氏基函數(shù)數(shù) ，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足 li(xj)=ij 顯然有顯然有l(wèi)0(x)+ l1(x)1.這里，這里， l0(x)和和l1(x)具有如下性質(zhì)：具有如下性質(zhì)：l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, , 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1221202211101201000=xlxlxlxlxlxlxlxlxl 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能由一些二次插值基函數(shù)來(lái)線(xiàn)性組合值基函數(shù)來(lái)線(xiàn)性組合:這時(shí)

8、，這時(shí)，l0(x), l1(x), l2(x)都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿(mǎn)足都是二次多項(xiàng)式，且應(yīng)滿(mǎn)足滿(mǎn)足滿(mǎn)足(2.1)式的式的 l i(x) 能否存在能否存在?假設(shè)存在，具有什么方式呢假設(shè)存在，具有什么方式呢?2.1 2211002yxlyxlyxlxp=同理可得同理可得 l1(x) 1(x x0)(x x2), l2(x) 2(x x0)(x x1),1(x1x0)(x1x2)12(x2x0)(x2x1)1此即二次拉格朗日插值公式此即二次拉格朗日插值公式, 其中其中, l0(x), l1(x), l2(x)是滿(mǎn)是滿(mǎn)足足(2.1)的特殊的特殊(根本根本)二次插值多項(xiàng)式二次插值多項(xiàng)式;稱(chēng)為二次插值基函

9、數(shù)稱(chēng)為二次插值基函數(shù).P2(x)= y0+ y1+ y2(x -x0)(x -x2)(x1-x0)(x1-x2)(x -x1)(x -x2)(x0-x1)(x0-x2)(x -x0)(x -x1)(x2-x0)(x2-x1) 先思索先思索 l0(x)。因。因 l0(x)是以是以 x1, x2 為零點(diǎn)的二次多項(xiàng)為零點(diǎn)的二次多項(xiàng)式式,所以它可寫(xiě)成所以它可寫(xiě)成 l0(x) 0(x x1)(x x2), 其中其中0 是是待定系數(shù)。待定系數(shù)。 又由于又由于 l0( x0)=1，所以，所以0(x0 x1)(x0 x2)1，那么可有，那么可有0(x0 x1)(x0 x2)1 l0(x) 0(x x1)(x

10、x2), n 1希望找到希望找到li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)=ij ；然后；然后令令 = = =niiinyxlxP0)()(，那么顯然有，那么顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個(gè)每個(gè) li 有有 n 個(gè)根個(gè)根 x0 xi xn = =- -= =- - - -= =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( - -= = =j i jiiiixxCxl)(11)(= = - - -= =njijjijixxxxxl0)()()( = = =niiinyxlxL0)()( 拉格朗日 多項(xiàng)式與與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)節(jié)

11、點(diǎn)節(jié)點(diǎn)f1.3 n 次插值次插值定理定理 (獨(dú)一性獨(dú)一性) 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 的的 n 階插值階插值多項(xiàng)式是獨(dú)一存在的。多項(xiàng)式是獨(dú)一存在的。niyxPii,., 0,)(= = =證明：證明： ( 存在性可利用存在性可利用Vandermonde 行列式論證行列式論證)反證：假設(shè)不獨(dú)一，那么除了反證：假設(shè)不獨(dú)一，那么除了Ln(x) 外還有另一外還有另一 n 階多項(xiàng)式階多項(xiàng)式 Pn(x) 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 Pn(xi) = yi 。調(diào)查調(diào)查 那么那么 Qn 的階的階數(shù)數(shù), )()()(xLxPxQnnn- -= = n而而 Qn 有有 個(gè)不同的根個(gè)不同的根n + 1x0 xn注：假設(shè)不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為注：假設(shè)不

12、將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，那么插值多項(xiàng)式不獨(dú)，那么插值多項(xiàng)式不獨(dú)一。一。例如例如 也是一個(gè)插值也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中多項(xiàng)式，其中 可以是恣意多項(xiàng)式。可以是恣意多項(xiàng)式。= =- - = =niinxxxpxLxP0)()()()()(xp = = =niiinyxlxL0)()(設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn))1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 調(diào)查截?cái)嗾`差調(diào)查截?cái)嗾`差)()()(xLxfxRnn- -= =, baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿(mǎn)足條件滿(mǎn)足條件 ,Rolles Theorem: 假設(shè)假設(shè) 充分光滑，充分光滑， ，那么，那么存在存在 使得使得 。)(x 0)()(10= = =xx

13、 ),(10 xx 0)(= = 推行：假推行：假設(shè)設(shè)0)()()(210= = = =xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10= = = = ),(10 使得使得0)(= = 0)()(0= = = =nxx 存在存在),(ba 使得使得0)()(= = nRn(x) 至少有至少有 個(gè)根個(gè)根n+1 = =- -= =niinxxxKxR0)()()(恣意固定恣意固定 x xi (i = 0, , n), 調(diào)調(diào)查查 = =- - -= =niixtxKtRnt0)()()()( (t)有有 n+2 個(gè)不同的根個(gè)不同的根 x0 xn x),(, 0)()1(baxxn

14、= = !)1()()()1(-nxKRxnn 留意這里是對(duì)留意這里是對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)= = - - - !)1)()()()1()1(nxKLfxnnxn !)1()()()1( = = nfxKxn = = - - = =niixnnxxnfxR0)1()(! ) 1()()( 1.4 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) (Remainder) 注：注： 通常不能確定通常不能確定 x , 而是估計(jì)而是估計(jì) , x(a,b) 將將 作為誤差估計(jì)上限。作為誤差估計(jì)上限。1)1()( nnMxf= = - - niinxxnM01|)!1(當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)為任一個(gè)次數(shù) n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式時(shí)，時(shí)， ,

15、 可知可知 ，即插，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的多項(xiàng)式是準(zhǔn)的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確的。確的。0)()1( xfn0)( xRn.)(應(yīng)應(yīng)用用的的高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在時(shí)時(shí)才才能能余余項(xiàng)項(xiàng)表表達(dá)達(dá)式式只只有有在在xf,)()( )(61)(2,)( )(21)()(21)(1202102101021xxxxxxxxfxRnxxxxxxfxfxRn - - - - = = = - - - = = = = = ，時(shí)時(shí)，拋拋物物插插值值的的余余項(xiàng)項(xiàng)為為當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)，線(xiàn)線(xiàn)性性插插值值余余項(xiàng)項(xiàng)為為當(dāng)當(dāng)例例1 求經(jīng)過(guò)求經(jīng)過(guò)A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三個(gè)插值點(diǎn)的插值多項(xiàng)式三個(gè)插值點(diǎn)的插值多

16、項(xiàng)式.解：三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為解：三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為.322110221100= = = = = = =yxyxyx，；，；，13)12)(02()1)(0(2)21)(01()2)(0(1)20)(10()2)(1()()()()()()()(2120210121012002010212 = = - - - - - - - - - - - - - - -= =- - - - - - - - - - - - - - -= =xxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL由拋物插值公式得由拋物插值公式得例例2：知：知233sin,214sin,216s

17、in=分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 解：解：0 x1x2x185500 =n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610 =xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 - - - - - -= = xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( - -= = =xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 - - -= = xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01- - - - Rsin 50 = 0.7

18、660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 (extrapolation ) 的實(shí)踐誤差的實(shí)踐誤差 0.010013,421 = = =xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 (interpolation ) 的實(shí)踐誤差的實(shí)踐誤差 0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 - - - - - - - - - - - - - -

19、-= = xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 - - - - -= =xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實(shí)踐誤差次插值的實(shí)踐誤差 0.00061高次插值通常優(yōu)于低高次插值通常優(yōu)于低次插值次插值,但絕對(duì)不是次但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好數(shù)越高就越好 例例3 思索下述的插值法問(wèn)題：求二次多項(xiàng)式思索下述的插值法問(wèn)題：求二次多項(xiàng)式P(x)，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足P(x0) = y0, 其中其中 是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問(wèn)題的解存在且獨(dú)一的條件是已給的數(shù)據(jù)并給出使這一問(wèn)題的解

20、存在且獨(dú)一的條件.，2211)()(yxPyxP=21020yyyxx、，解：設(shè)解：設(shè) 那么那么 由知條件有由知條件有，cbxaxxP=2)(.2)(baxxP=11222200202ybaxycbxaxycbxax0012111222020 xxxxx0)()(22220201-xxxxx)0(220201-xxxxx即即 所以所以故原問(wèn)題的獨(dú)一可解性就歸結(jié)為上述方程組的獨(dú)一可解性而后故原問(wèn)題的獨(dú)一可解性就歸結(jié)為上述方程組的獨(dú)一可解性而后者獨(dú)一可解的充要條件為者獨(dú)一可解的充要條件為這就是這就是Px存在且獨(dú)一的條件。存在且獨(dú)一的條件。 回想回想 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 .)10(.出

21、有牛頓插值公式出有牛頓插值公式形式，從而導(dǎo)形式，從而導(dǎo)項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的這一缺點(diǎn)，可把插值多這一缺點(diǎn)，可把插值多為了克服為了克服的的實(shí)際計(jì)算中是很不方便實(shí)際計(jì)算中是很不方便式也要發(fā)生變化，這在式也要發(fā)生變化，這在均要隨之變化，整個(gè)公均要隨之變化，整個(gè)公，時(shí)，全部插值基函數(shù)時(shí)，全部插值基函數(shù)但是，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加但是，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加中非常方便中非常方便結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析式，公式式，公式得到拉格朗日插值多項(xiàng)得到拉格朗日插值多項(xiàng)利用插值基函數(shù)很容易利用插值基函數(shù)很容易nklk= =1.5 拉格朗日插值公式的優(yōu)缺陷拉格朗日插值公式的優(yōu)缺陷n 1希望找到希望找到

22、li(x)，i = 0, , n 使得使得 li(xj)=ij ；然后；然后令令 = = =niiinyxlxP0)()(，那么顯然有，那么顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個(gè)每個(gè) li 有有 n 個(gè)根個(gè)根 x0 xi xn = =- -= =- - - -= =njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()( - -= = =j i jiiiixxCxl)(11)(= = - - -= =njijjijixxxxxl0)()()( = = =niiinyxlxL0)()( 拉格朗日 多項(xiàng)式與與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)f拉格朗日插值公式拉格朗日

23、插值公式 Lagrange插值公式插值公式(利用插值基函數(shù)很容易得到利用插值基函數(shù)很容易得到): 含義直觀含義直觀,構(gòu)造緊湊構(gòu)造緊湊,在實(shí)際分析中非常方便在實(shí)際分析中非常方便; 計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也很容易計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)也很容易. 也有一些缺陷：也有一些缺陷： 一是計(jì)算量大，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的一是計(jì)算量大，這是顯然的；另外，還有一個(gè)更嚴(yán)重的缺陷，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)添加時(shí)，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，缺陷，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)添加時(shí)，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個(gè)計(jì)算任務(wù)必需從頭開(kāi)場(chǎng)：不僅原來(lái)的每一項(xiàng)都要改動(dòng)，整個(gè)計(jì)算任務(wù)必需從頭開(kāi)場(chǎng)：不僅原來(lái)的每一項(xiàng)都要改動(dòng)，還要添加一項(xiàng)計(jì)算。還要添加一項(xiàng)計(jì)算。 為抑制

24、上述兩個(gè)缺陷為抑制上述兩個(gè)缺陷, 努力：把插值多項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的方式。努力：把插值多項(xiàng)式變形為便于計(jì)算的方式。 希望：計(jì)算改動(dòng)的過(guò)程中希望：計(jì)算改動(dòng)的過(guò)程中,盡能夠能利用已有的計(jì)算結(jié)果盡能夠能利用已有的計(jì)算結(jié)果. 下面我們將看到下面我們將看到,這是能夠的。我們可以有具有這是能夠的。我們可以有具有“承襲性承襲性的所謂牛頓公式。的所謂牛頓公式。*1 拉格朗日插值的拉格朗日插值的Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)常用的幾個(gè)函數(shù)常用的幾個(gè)函數(shù)(一一) POLY 函數(shù)函數(shù)調(diào)用格式：調(diào)用格式：Y = poly (V)(二二) POLYVAL 函數(shù)函數(shù)調(diào)用格式：調(diào)用格式：Y = polyval(p,x)前往矩陣特征多

25、項(xiàng)式的系數(shù)。前往n次多項(xiàng)式p在x處的值。輸入變量p=p0 p1 p2pn是一個(gè)長(zhǎng)度為n+1的向量，其元素為按降陳列的多項(xiàng)式系數(shù)。如輸入程序如輸入程序Y = poly (3)；那么前往；那么前往1 -3，即其特征多項(xiàng)式為，即其特征多項(xiàng)式為x-3如對(duì)多項(xiàng)式如對(duì)多項(xiàng)式 ，計(jì)算在，計(jì)算在x=5,7,9的值。的值。 1232=xxxp(三三) POLY2SYM 函數(shù)函數(shù)調(diào)用格式一：調(diào)用格式一：poly2sym (C)調(diào)用格式二：調(diào)用格式二：f1=poly2sym(C,V) 或或 f2=poly2sym(C, sym (V) )輸入程序 p = 3 2 1; x=5,7,9; polyval(p,x)結(jié)果

26、為ans =86 162 262把多項(xiàng)式的系數(shù)向量轉(zhuǎn)化為符號(hào)多項(xiàng)式如輸入程序如輸入程序 c=1 -3;y=poly2sym(c) ；那么前往；那么前往y =x-3如輸入程序如輸入程序 c=1 -3;y=poly2sym(c,s) ；或者或者 c=1 -3;y=poly2sym(c,sym(s) )； 那么前往那么前往y =s-3 (四四) CONV 函數(shù)函數(shù)調(diào)用格式：調(diào)用格式：C =conv (A, B)前往兩個(gè)多項(xiàng)式乘積的多項(xiàng)式系數(shù)，即卷積和如輸入程序如輸入程序 A=1 -3;B=1 -2;C=conv(A,B)那么前往那么前往C = 1 -5 6A、B為兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)(五五) DECON

27、V 函數(shù)函數(shù)調(diào)用格式：調(diào)用格式：Q,R =deconv (B,A)conv函數(shù)的逆函數(shù)，前往兩個(gè)多項(xiàng)式相除的多項(xiàng)式系數(shù)及其他數(shù)，即反卷積和假設(shè)輸入程序假設(shè)輸入程序 C=1 -5 7;A=1 -3;B,R=deconv(C,A)那么輸出那么輸出B = 1 -2 R =0 0 1如輸入程序如輸入程序 C=1 -5 6;A=1 -3;B,R=deconv(C,A)那么輸出那么輸出B = 1 -2 R =0 0 0(六六) roots(poly(1:n)命令命令調(diào)用格式：調(diào)用格式：roots(poly(1:n) (七七) det(a*eye(size (A) - A)命令命令調(diào)用格式：調(diào)用格式：b=d

28、et(a*eye(size (A) - A)如輸入程序如輸入程序 C=1 -3 2;roots(C)輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為ans = 2.0000 1.0000數(shù)值解數(shù)值解輸入輸入 poly(1:2)輸出輸出ans = 1 -3 2輸入輸入 roots(poly(1:2)輸出輸出ans = 2 11到到n的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，其中其中n roots(poly(1:4)輸出輸出ans = 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000假設(shè)常數(shù)a為矩陣A的特征值，那么前往0前往n到1的數(shù)值例例*1-1知函數(shù)知函數(shù)f(x)在在1,3上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，上具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)， ，且，且滿(mǎn)足條件滿(mǎn)

29、足條件f(1) =1，f(3)=2，求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式和函數(shù)值，求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式和函數(shù)值 f(1.5)，并估計(jì)其誤差。并估計(jì)其誤差。解：輸入程序解：輸入程序 X=1,3;Y=1,2; l01= poly(X(2)/( X(1)- X(2), l11= poly(X(1)/( X(2)- X(1), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)l0和和l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量P、插值

30、、插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式L和插值和插值Y為為l0 = l1 = L = Y =-1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500一、線(xiàn)性插值的一、線(xiàn)性插值的Matlab程序程序逗號(hào)會(huì)將本句程序的結(jié)果輸出到命令窗口，分號(hào)那么不會(huì)輸出輸入程序 M=5;R1=M*abs(x-X(1)* (x-X(2)/2運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出誤差限為 R1 = 1.8750例例*1-2求函數(shù)求函數(shù)f(x)=e-x在在0,1上線(xiàn)性插值多項(xiàng)式，并估計(jì)其誤差上線(xiàn)性插值多項(xiàng)式，并估計(jì)其誤差.解：解： 輸入程序輸入程序 X=0,1; Y =exp(-X) , l01= poly(X(2)/( X(1)- X(2), l

31、11= poly(X(1)/( X(2)-X(1), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)l0和和l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量P和插值多項(xiàng)式和插值多項(xiàng)式L為為l0 = -x+1 l1 = x P =-0.6321 1.0000L =-1423408956596761/2251799885248*x+1 輸入程序 M=1;x=0:0.001:1; R1=M*max(abs(x-X(1).*(x-X(2)./2運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出誤差

32、限為 R1 = 0.1250.點(diǎn)乘和點(diǎn)除表示向量對(duì)應(yīng)相乘和對(duì)應(yīng)相除二、拋物線(xiàn)插值的二、拋物線(xiàn)插值的Matlab程序程序例例*1-3求將區(qū)間求將區(qū)間0,/2分成分成n等份等份n=1,2，用，用y=f(x)=cos(x)產(chǎn)生產(chǎn)生n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別作線(xiàn)性插值函數(shù)和拋物線(xiàn)插值函數(shù)，并個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別作線(xiàn)性插值函數(shù)和拋物線(xiàn)插值函數(shù)，并用它們分別計(jì)算用它們分別計(jì)算cos (/6) (取四位有效數(shù)字取四位有效數(shù)字)，并估計(jì)其誤差，并估計(jì)其誤差.解：解：n=1輸入程序輸入程序 X=0,pi/2; Y =cos(X) ,l01= poly(X(2)/( X(1)- X(2), l11= poly(X(1)/( X(

33、2)- X(1), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6; Y = polyval(P,x)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)l0和l1及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量P、插值多項(xiàng)式和插值為l0 =-5734161222659/9007199254740992*x+1l1 =5734161222659/9007199254740992*xP = -0.6366 1.0000L =-5734161222659/9007199254740992*x+1Y =0.6667輸入程序 M=1;x=p

34、i/6; R1=M*abs(x-X(1)*(x-X(2)/2運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出誤差限為R1 =0.2742.n=2輸入程序輸入程序 X=0:pi/4:pi/2; Y =cos(X) ,l01= conv (poly(X(2),poly(X(3)/( X(1)- X(2)* ( X(1)- X(3), l11= conv (poly(X(1), poly(X(3)/( X(2)- X(1)* ( X(2)- X(3),l21= conv (poly(X(1), poly(X(2)/( X(3)- X(1)* ( X(3)- X(2),l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11)

35、,l2=poly2sym (l21),P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3), L=poly2sym (P),x=pi/6; Y = polyval(P,x)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)l01、l11和l21及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量P、插值多項(xiàng)式L和插值Y為l0 =228155022448185/281474976710656*x2-2150310427208497/1125899906842624*x+1l1 =-228155022448185/140737488355328*x2+5734161222659/2251799885248*xl2 =22815502244

36、8185/281474976710656*x2-5734161222659/9007199254740992*xP = -0.3357 -0.1092 1.0000L=-6048395780875/18014398509481984*x2-7870612110600739/72057594037927936*x+1Y = 0.8508輸入程序 M=1;x=pi/6; R2=M*abs(x-X(1)*(x-X(2) *(x-X(3)/6運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出誤差限為R2 =0.0239.cos (/6)= 0.8660254三、三、n次拉格朗日插值的次拉格朗日插值的Matlab程序程序例例*1-4給出節(jié)點(diǎn)數(shù)

37、據(jù)給出節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)f(-2.00)=17.00， f(0.00)=1.00 ，f(1.00)=2.00， f(2.00)=17.00 ，作三次拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)，作三次拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算算f(0.6)，并估計(jì)其誤差。，并估計(jì)其誤差。解：輸入程序解：輸入程序 X=-2,0,1,2; Y =17,1,2,17;p1=poly(X(1); p2=poly(X(2);p3=poly(X(3); p4=poly(X(4); l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/( X(1)- X(2)* ( X(1)- X(3) * ( X(1)- X(4), l11= conv ( conv

38、 (p1, p3), p4)/( X(2)- X(1)* ( X(2)- X(3) * ( X(2)- X(4),l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/( X(3)- X(1)* ( X(3)- X(2) * ( X(3)- X(4),l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/( X(4)- X(1)* ( X(4)- X(2) * ( X(4)- X(3),l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21), l3=poly2sym (l31),P = l01* Y(1)+ l11* Y(2)

39、 + l21* Y(3) + l31* Y(4),運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出基函數(shù)l0，l1，l2和l3及其插值多項(xiàng)式的系數(shù)向量P為l0 =-1/24*x3+1/8*x2-1/12*x，l1 =1/4*x3-1/4*x2-x+1l2 =-1/3*x3+4/3*x，l3 =1/8*x3+1/8*x2-1/4*xP = 1 4 -4 1輸入程序 L=poly2sym (P),x=0.6; Y = polyval(P,x)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出插值多項(xiàng)式和插值為L(zhǎng) = x3+4*x2-4*x+1 Y =0.2560.輸入程序 syms M; x=0.6; R3=M*abs(x-X(1)*(x-X(2) *(x-X(3) *(x

40、-X(4)/24運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出誤差限為R3 =91/2500*M 即 00. 2 ,00. 2,04. 043-fRsyms M為定義一個(gè)符號(hào)變量M四、拉格朗日多項(xiàng)式和基函數(shù)的四、拉格朗日多項(xiàng)式和基函數(shù)的Matlab程序程序求拉格朗日插值多項(xiàng)式和基函數(shù)的求拉格朗日插值多項(xiàng)式和基函數(shù)的MATLAB主程序如下主程序如下function C, L,L1,l=lagran1(X,Y)m=length(X); L=ones(m,m);for k=1: m V=1; for i=1:m if k=i V=conv(V,poly(X(i)/(X(k)-X(i); endendL1(k,:)=V; l(k,:)=

41、poly2sym (V)endC=Y*L1;L=Y*lreturn新建一個(gè)lagran1.m文件，將程序拷貝到文件中，并將文件保管到matlab的任務(wù)目錄下，即可直接調(diào)用函數(shù)。例例*1-5給出節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)給出節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)f(-2.15)=17.03， f(-1.00)=7.24 ，f(0.01)=1.05， f(1.02)=2.03 ， f(2.03)=17.06， f(3.25)=23.05，作五次拉格朗日插值多項(xiàng)式和基函數(shù)，作五次拉格朗日插值多項(xiàng)式和基函數(shù)，并寫(xiě)出估計(jì)其誤差的公式。并寫(xiě)出估計(jì)其誤差的公式。解：輸入程序解：輸入程序 X=-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25;

42、Y=17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05;C, L ,L1,l= lagran1(X,Y)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出五次拉格朗日插值多項(xiàng)式L及其系數(shù)向量C，基函數(shù)l及其系數(shù)矩陣L1如下C = -0.2169 0.0648 2.1076 3.3960 -4.5745 1.0954L =1.0954-4.5745*x+3.3960*x2+2.1076*x3+0.0648*x4-0.2169*x5L1 = -0.0056 0.0299 -0.0323 -0.0292 0.0382 -0.0004 0.0331 -0.7 -0.0503 0.6305 -0.4852 0.0048 -0.0

43、693 0.2184 0.3961 -1.2116 -0.3166 1.0033 0.0687 -0.1469 -0.5398 0.6528 0.9673 -0.0097 -0.0317 0.0358 0.2530 -0.0426 -0.2257 0.0023 0.0049 0.0004 -0.0266 0.0001 0.0220 -0.0002l = -0.0056*x5+0.0299*x4-0.0323*x3-0.0292*x2+0.0382*x-0.0004 0.0331*x5-0.7*x4-0.0503*x3+0.6305*x2-0.4852*x+0.0048 -0.0693*x5+0

44、.2184*x4+0.3961*x3-1.2116*x2-0.3166*x+1.0033 0.0687*x5-0.1469*x4-0.5398*x3+0.6528*x2+0.9673*x-0.0097 -0.0317*x5+0.0358*x4+0.2530*x3-0.0426*x2-0.2257*x+0.0023 0.0049*x5+0.0004 *x4-0.0266*x3+0.0001*x2+0.0220*x-0.0002估計(jì)其誤差的公式為 25. 3 ,15. 225. 303. 202. 101. 000. 115. 2! 665-=xxxxxxfxR五、拉格朗日插值及其誤差估計(jì)的五、拉

45、格朗日插值及其誤差估計(jì)的Matlab程序程序function y,R=lagranzi(X,Y,x,M)n=length(X); m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0.0; for k=1:n p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;for j=1:n if j=kp=p*(z-X(j)/(X(k)-X(j); end q1=abs(q1*(z-X(j);c1=c1*j; end s=p*Y(k)+s; end y(i)=s;endR=M*q1/c1;return例例*1-6知知sin30 =0.5，sin45 =0.7071，sin60 =0.8660，用拉格

46、朗日及其誤差估計(jì)的用拉格朗日及其誤差估計(jì)的MATLAB函數(shù)求函數(shù)求sin40 的的近似值，并估計(jì)其誤差。近似值，并估計(jì)其誤差。解：輸入程序解：輸入程序 x=2*pi/9; M=1; X=pi/6 ,pi/4, pi/3;Y=0.5,0.7071,0.8660; y,R=lagranzi(X,Y,x,M)運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出插值運(yùn)轉(zhuǎn)后輸出插值y及其誤差限及其誤差限R為為y = R =0.6434 8.8610e-004.sin (40 )= 0.6427876)()(0010101xxxxyyyxP- - - - = =)(001010 xxxxxxy- - - - = =()fffx0,x1 二次牛頓插

47、值多項(xiàng)式二次牛頓插值多項(xiàng)式 我們?cè)倏淳€(xiàn)性插值的點(diǎn)斜式: )(00 xxy- - = =fx0,x1常數(shù)常數(shù)(差商差商) 由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類(lèi)似地有有規(guī)律的由此啟發(fā)，我們希望二次插值也能類(lèi)似地有有規(guī)律的組合表達(dá)式組合表達(dá)式:P2(x)=0 + 1(x-x0) + 2(x-x0)(x-x1)利用利用P2(x0)=y0有有: 0 = y0 ,利用利用P2(x1)=y1有有: 1 = 0101xxxx- - -()ff= fx0,x1 ,利用利用P2(x2)=y2有有: 2 = fx0,x1 (x2-x0)(x2-x1) (x2-x0)(x2-x1)0 xx2 - -()ff (x2-x0

48、)-fx0,x2fx0,x1 x2 - x1 =-= fx0,x1,x2 ;P2(x)=f(x0) + (x-x0) + (x-x0)(x-x1) fx0,x1 fx0,x1,x2 fx0,x2 x=x0時(shí)0注注: 1. 現(xiàn)實(shí)上現(xiàn)實(shí)上,從上述可看出二次牛頓插值公式是用待從上述可看出二次牛頓插值公式是用待定系數(shù)法求得的定系數(shù)法求得的; 2. 它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線(xiàn)性組合它也可看作是三個(gè)特殊函數(shù)的一種線(xiàn)性組合:P2(x)=f(x0) + (x-x0) + (x-x0)(x-x1) fx0,x1 fx0,x1,x2 fx0,x1 , fx0,x1,x2 f(x0), 1 , (x-x0)

49、, (x-x0)(x-x1)即函數(shù) 的線(xiàn)性組合,組合系數(shù)為 本質(zhì)上還是基函數(shù)法本質(zhì)上還是基函數(shù)法. 更普通地，更普通地，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，我們希望由上述類(lèi)似的一組特殊函數(shù)：述類(lèi)似的一組特殊函數(shù)：來(lái)線(xiàn)性組合為：來(lái)線(xiàn)性組合為： 1 , (x-x0) , (x-x0)(x-x1)，(x-x0)(x-x1)(x-xn).(.)()()(10102010- - - - - - - - - = =nnnxxxxaxxxxaxxaaxN那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎樣求呢？那么其組合系數(shù)是什么樣的呢？怎樣求呢？我們同樣可用待定系數(shù)法我們同樣可用待定系數(shù)法. 容易發(fā)現(xiàn)容

50、易發(fā)現(xiàn),計(jì)算計(jì)算a0, a1, a2 , an 是很有規(guī)律的是很有規(guī)律的.一、均差及其性質(zhì)一、均差及其性質(zhì)2 牛頓插值牛頓插值當(dāng)當(dāng)x=x0時(shí)，時(shí)，Pn(x0)=a0=f0.當(dāng)當(dāng)x=x1時(shí)，時(shí)，Pn(x1)=a0+a1(x1-x0)=f1, 推得推得a1=f1-f0 x1-x0當(dāng)當(dāng)x=x2時(shí)，時(shí)，Pn(x2)=a0+a1(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)= f2,推得推得f2-f0 x2-x0- -f1-f0 x1-x0a2=x2-x1 依次遞推可得到依次遞推可得到a3, , an. 為寫(xiě)出系數(shù)為寫(xiě)出系數(shù) ak的普通表達(dá)式的普通表達(dá)式,先引進(jìn)如下均差定義先引進(jìn)如下均差定義. 定義定

51、義2 稱(chēng)稱(chēng) 為函數(shù)為函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)x0,xk的的一階均差一階均差.稱(chēng)稱(chēng) 為為f(x) 的二階均差的二階均差.普通地普通地, 稱(chēng)稱(chēng) 為為 f(x) 的的k 階均差階均差(差商差商). fx0,xk =f(xk)-f(x0)xk-x0 fx0,x1,xk=fx0,xk- fx0,x1- fx0,x1xk-x1 fx0,x1,xk=fx0, xk-2,xk- fx0,x1, ,xk-1- fx0,x1, ,xk-1xk-xk-1均差有如下的根本性質(zhì)均差有如下的根本性質(zhì): 1 k 階均差可表示為函數(shù)值階均差可表示為函數(shù)值f(x0), f(x1), f(xk)的線(xiàn)性組合的線(xiàn)性組合,即即 fx0

52、,x1,xk=f(xj)(xj-xj+1) (xj-xk)(xj-xj-1)(xj-x0) kj=0這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明. 這個(gè)性質(zhì)也闡明均差與節(jié)點(diǎn)的陳列這個(gè)性質(zhì)也闡明均差與節(jié)點(diǎn)的陳列次序無(wú)關(guān)次序無(wú)關(guān),稱(chēng)為均差的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為均差的對(duì)稱(chēng)性,即即 fx0,x1,xk= fx1,x0,x2,xk= = fx1, , xk ,x0 fx0, x1,xk =f(n)()n!,ba 3 假設(shè)假設(shè)f(x)在在a,b上存在上存在n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點(diǎn)且節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn a,b,那么那么n階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下: 這個(gè)公式可直接用羅爾定理證明這個(gè)公式可直接用羅爾定理

53、證明.，0!)()(0)()(= =- -= =nnnxxfnfq .!)()(0nfxxfnn = =， 所以所以，使使記記為為個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在理理，可可知知零零點(diǎn)點(diǎn)；反反復(fù)復(fù)應(yīng)應(yīng)用用羅羅爾爾定定個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，故故的的兩兩個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)間間至至少少有有一一在在，個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，根根據(jù)據(jù)羅羅爾爾定定理理上上有有在在處處均均為為零零，所所以以，在在，證證明明：設(shè)設(shè), , 1 ,)(,)()()(1,)()( ),()()( )(0100babaxqnbaxqxqxqnbaxqxxxqxxxxxxxxxfxqnnnn - - - -= = fx0,x1,xk=f

54、x1, xk-1,xk- fx0,x1, ,xk-1- fx0,x1, ,xk-1xk-x02 由性質(zhì)由性質(zhì)1可得可得:,)()()(000 xxfxxxfxf- - = =,)(,101100 xxxfxxxxfxxf- - = =,.,)(,.,.,0010nnnnxxxfxxxxfxxxf- - = =- -).(.)()()(10102010- - - - - - - - - = =nnnxxxxaxxxxaxxaaxN12 n1依次將后一式代入前一式依次將后一式代入前一式.)(,)(,)()(102100100 - - - - - = =xxxxxxxfxxxxfxfxf).(,.,

55、100- - - - nnxxxxxxf)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf- - - - - -Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi 二、牛頓插值公式二、牛頓插值公式)().(,.,100nnnxxxxxxxxxf- - - -= =- -Rn(x).)(,)(,)(102100100 - - - - - = =xxxxxxxfxxxxfxf).(,.,100- - - - nnxxxxxxfNn(x)n+1(x)10(0nkxxfakk，= = = 多項(xiàng)式多項(xiàng)式Nn(x)顯然滿(mǎn)足插值條件顯然滿(mǎn)足插值條件,即即Nn(xj)=f(xj),(j=1, n),且次數(shù)不超越

56、且次數(shù)不超越n,由獨(dú)一性定理它就是前述的由獨(dú)一性定理它就是前述的Ln(x),其系數(shù)為其系數(shù)為 Nn(x)稱(chēng)為牛頓均差插值多項(xiàng)式稱(chēng)為牛頓均差插值多項(xiàng)式,它比拉格朗日插值多項(xiàng)式它比拉格朗日插值多項(xiàng)式計(jì)算量省計(jì)算量省,且便于程序設(shè)計(jì)且便于程序設(shè)計(jì).注：注： 由獨(dú)一性可知由獨(dú)一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故只是算法不同，故其他項(xiàng)也一樣，即其他項(xiàng)也一樣，即)(! ) 1()()(,.,1) 1(10 xnfxxxxfnxnnn=),(,!)(,.,maxmin)(0 xxkfxxfkk= 實(shí)踐計(jì)算過(guò)程實(shí)踐計(jì)算過(guò)程為為f (x0)f (x1)f (x2)f (xn1)f (xn)f x

57、0, x1f x1, x2 f xn1, xnf x0, x1 , x2 f xn2, xn1, xnf x0, , xn f (xn+1) f xn, xn+1 f xn1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1均差計(jì)算可列均差表如下：均差計(jì)算可列均差表如下：, 2, 1 , 1, 0 ,11 = = =- - -= =- - iikixxxxfxxfxxfikkikiki 例例1 根據(jù)如下函數(shù)值表建立不超越根據(jù)如下函數(shù)值表建立不超越3次的拉格朗日插值多次的拉格朗日插值多項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式項(xiàng)式及牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x),并驗(yàn)證插值多項(xiàng)式的獨(dú)一性并驗(yàn)證插值多項(xiàng)

58、式的獨(dú)一性. 解解: (1)拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式Ln(x).插值基函數(shù)插值基函數(shù)xk0124f (xk)19233拉格朗日插值多項(xiàng)式為拉格朗日插值多項(xiàng)式為:121445411 )(3)(23)(9)()()(233210303-=xxxxlxlxlxlyxlxLiii,12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(,4541)42)(12)(02()4)(1)(0()(,38231)41)(21)(01()4)(2)(0()(, 1478781)40)(20)(10()4)(2)(1()(233232231230 xxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxl

59、xxxxxxxl-=-=-=-=-=-=-=-=xkf (xk) 一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差0119822314343- -10- -8(2) 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x).建立如下差商表建立如下差商表牛頓插值多項(xiàng)式為牛頓插值多項(xiàng)式為:121445411 )2)(1)(0(411) 1)(0(3)0(81)(233-=-=xxxxxxxxxxN411-(3) 獨(dú)一性驗(yàn)證獨(dú)一性驗(yàn)證.經(jīng)過(guò)比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)比較牛頓插值多項(xiàng)式和拉格朗日插值多項(xiàng)式,知知: Nn(x) = Ln(x)這一現(xiàn)實(shí)與插值多項(xiàng)式的獨(dú)一性一致這一現(xiàn)實(shí)與插值多項(xiàng)式的獨(dú)一性一致

60、. 例例2留意：當(dāng)標(biāo)題中沒(méi)有指明用哪一種方法建立插值多項(xiàng)式時(shí)，原留意：當(dāng)標(biāo)題中沒(méi)有指明用哪一種方法建立插值多項(xiàng)式時(shí)，原那么上拉格朗日和牛頓插值法都可行。近似計(jì)算時(shí)，牛頓插值那么上拉格朗日和牛頓插值法都可行。近似計(jì)算時(shí)，牛頓插值法計(jì)算量小，當(dāng)添加節(jié)點(diǎn)時(shí)只需添加一項(xiàng)，因此比較方便。相法計(jì)算量小，當(dāng)添加節(jié)點(diǎn)時(shí)只需添加一項(xiàng)，因此比較方便。相對(duì)之下，拉格朗日插值法沒(méi)有上述優(yōu)點(diǎn)，但它在實(shí)際證明上因?qū)χ?，拉格朗日插值法沒(méi)有上述優(yōu)點(diǎn)，但它在實(shí)際證明上因其插值基函數(shù)的許多特點(diǎn)而得到廣泛運(yùn)用。其插值基函數(shù)的許多特點(diǎn)而得到廣泛運(yùn)用。知函數(shù)知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如下表的數(shù)據(jù)如下表i0123xi0123yi=f(x