云南中考數學專項三壓軸題精講教學案類型⑦平行四邊形及矩形、菱形、正方形存在性問題探究

1、類型平行四邊形及矩形、菱形、正方形存在性問題探究，備考攻略）在平行四邊形有關存在性問題中，常會遇到這樣兩類探究性的問題：1 .已知三點的位置，在二次函數上或在坐標平面內找一動點，使這四點構成平行四邊形（簡稱“三定一動”）.2 .已知兩個點的位置，在二次函數上或在坐標平面內找兩個動點，使這四點構成平行四邊形（簡稱“兩定兩動”）.平行四邊形的這四個點有可能是定序的，也有可能沒有定序.1 .確定動點位置時出現遺漏.2 .在具體計算動點坐標時出現方法不當或錯解.1 .分清題型（屬于三定一動還是兩定兩動，因為這兩種題型的分類標準有所不同）.2 .分類討論且作圖（利用分類討論不重不漏的尋找動點具體位置）.

2、3 .利用幾何特征計算（不同的幾何存在性要用不同的解題技巧）.可以把存在性問題的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”.1 .如果為“三定一動”，要找出平行四邊形第四個頂點，則符合條件的有3個點；這三個點的找法是以三個定點為頂點畫三角形，過每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生所要求的3個點.2 .如果為“兩定兩動”，要找出平行四邊形第三、四個頂點，將兩個定點連成定線段將此線段按照作為平行四邊形的邊或對角線兩種分類討論.1 .若平行四邊形的四個頂點都能用坐標來表示，則直接利用坐標系中平行四邊形的基本特征：即對邊平行且相等或對邊水平距離相等和豎直距離相等列方程求解.2 .若平行

3、四邊形的四個頂點中某些點不能用坐標表示，則利用列方程組解圖形交點的方法解決.3 .靈活運用平行四邊形的中心對稱的性質，也可使問題變得簡單.4 .平移坐標法.先由題目條件探索三點的坐標（若只有兩個定點，可設一個動點的坐標）.再畫出以三點為頂點的平行四邊形，根據坐標平移的性質寫出第四個頂點的坐標.最后根據題目的要求（動點在什么曲線上），判斷平行四邊形的存在性.1 .矩形：增加對角線相等和鄰邊垂直的性質，還可以轉化為直角三角形的存在性問題.2 .菱形：增加四邊相等和對角線垂直的性質，還可以轉化為直角三角形或等腰（等邊）三角形存在性問題.3 .正方形：兼顧以上性質，還可以轉化為等腰直角三角形存在性問題

4、.，典題精講）平移坐標法【例1】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x22x+3與x軸交于A,B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C,頂點為P,如果以點P,A,C,D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標.【解析】P,A,C三點是確定的，過APAC的三個頂點分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生3個符合條件的點D(如圖).由y=x22x+3=(x+1)2+4,得A(-3,0),C(0,3),P(-1,4).由于A(3,0)=3C(0,3),所以P(-1,4)=3Di(2,7).,下3,左3下3,左3由于C(0,3)=A(-3,0),所以P(-1,4)=D2(-4,1).由于P(1,4

5、)號=1C(0,3),所以A(-3,0)號=1D3(2,-1).我們看到，用坐標平移的方法，遠比用解析式構造方程組求交點方便多了.【答案】點D的坐標為(2,7)或(一4,1)或(一2,-1).兩定兩動的分類討論(對點法白應用)【例2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側)，經過點A的直線l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.(1)直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數解析式；(其中k,b用含a的式子表示)5一(2)點E是直線l上方的拋物線上的動點，若ACE的面積的最大值為4，

6、求a的值；(3)設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由.圖備用圖【解析】1.過點E作x軸的垂線交AD于F,那么AEF與4CEF是共底的兩個三角形.2.以AD為分類標準討論矩形，當AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP=QD;當AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等.【答案】解：由y=ax22ax3a=a(x+1)(x3),得A(1,0).由CD=4AC,得xd=4.所以D(4,5a).由A(1,0),D(4,5a),得直線l的函數解析式為y=ax+a;(2)如圖，過點E作x軸的垂線交AD于F.

7、設E(x,ax22ax3a),F(x,ax+a),那么EF=yEyF=ax23ax4a.1111由Saace=Saaef-Sacef=2EF(xe-xa)EF(xexc)=EF(xcxa)=(ax2-3ax-4a)13225=/ax2a,得ACE面積的最大值為一5a.解方程等a=5,得a=：;已知A(-1,0),D(4,5a),xp=1,以AD為分類標準，分兩種情況討論：如圖，如果AD為矩形的邊，那么AD/QP,AD=QP,對角線AP=QD.由xdxa=xpxq,得xq=4.當x=4時，y=a(x+1)(x3)=21a所以Q(-4,21a).由yDyA=ypyQ,得yp=26a.所以P(1,2

8、6a).由AP2=QD2,得22+(26a)2=82+(16a)2.整理，得7a2=1.所以a=，.此日P1,26盧；如圖，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等.由Xd+xa=xp+xq,得xq=2.所以Q(2,3a).由Yd+yA=yp+yQ,得yp=8a.所以P(1,8a).由AD2=PQ2,得52+(5a)2=12+(11a)2.1整理，得4a2=1.所以a=-2.此日P(1,-4).圖圖圖1.已知拋物線y=x2-2x+3與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,頂點為P.若以A,C,P,M為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標.（三定一動型）解：（1）

9、確定位置：如圖.以A,C,P三個定點為頂點畫APC;過點A作PC的平行線，過點P作AC的平行線，過點C作AP的平行線；三條直線相交于M1,M2,M3；(2)代數法求點M的坐標：如圖：設點Mi(m,n),利用平行四邊形對邊水平距離相等和豎直距離相等可得：n0=43,一3一m=0一(一1)n=1,解得即Mi(-4,1).m=4,同理可得：M2(-2,1),M3(2,7).綜上所述，點M的坐標為(一4,1),(2,1),(2,7).，一1°3,一、一，.,2.如圖，拋物線y=2x2+x+2與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點.設點P的坐標為(

10、m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.求點A,點B,點C的坐標；(2)求直線BD的解析式；(3)當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M,試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形.1C3斛：(1)當x=0時，y=2x2+x+2=2,.C(0,2).當y=0時，-2x2+3x+2=0,解得xi=1,X2=4.A(-1,0),B(4,0);(2)二點D與點C關于x軸對稱，D(0,-2).設直線BD為y=kx2,把B(4,0)代入，得0=4k2,，BD的解析式為y=2x2;(3)Rm,0),11o.3M(m,2m2),Q(m,-2m2+2m+2).若四邊形CQMD為平行四邊形，.QM

11、/CD,QM=CD=4,當P在線段OB上運動時，QM=-2m2+2m+22m21=2m2+m+4=4,解得m1=0（不合題意，舍去），m2=2.m=2.3.(2017蘭州中考)如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線AB交于A(-4,4),B(0,14)兩點，直線AC:y=/x6交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點E作EF±x軸交AC于點F,交拋物線于點G.(1)求拋物線y=x2+bx+c的解析式；(2)連接GB,EO,當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；(3)在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E,H的坐標.解：(1)二.點A(4,4),B(0,4)在拋物線y=x2+bx+c上,164b+c=4,c=4,b=-2,c=4,，拋物線的解析式為y=-x2-2x+4;(2)設直線AB的解析式為y=kx+n,.直線AB過點A,B,n=4,k=2,4k+n=4,n=4,直線AB的解析式為y=2x+4,設E(m,2m+4),1. G(m,m22m+4),.四邊形GEOB是平行四邊形，EG=OB=4,m22m+42m4=4,m=2) G(-2,4);如圖，由(2)知，直線AB的解析