屆初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專題二次函數(shù)壓軸題

1、第10頁共9頁2018年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)壓軸題面積類【例1】.如圖1,已知拋物線經(jīng)過點 A(T, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三點.(1)求拋物線的解析式.(2)點M是線段BC上的點(不與 B, C重合)，過M作MN / y軸交拋物線于N,若點M的橫坐標(biāo)為 m,請用m的代數(shù)式表示 MN的長.在，說明理由.【考點：二次函數(shù)綜合題.(3)在(2)的條件下，連接 NB、NC,是否存在23【鞏固1】.如圖2,拋物線y ax -x 2 a 0的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標(biāo)為(4,0).(1)求拋物線的解析式；(2)試探究 ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓

2、心坐標(biāo)；(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求 MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標(biāo).【考點：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.】平行四邊形類【例2】.如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A (3, 0)、B (0, - 3),點P是直線AB上的動點，過點 P作x軸的垂線交拋物線于點 M,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點P在第四象限，連接 AM、BM,當(dāng)線段PM最長時，求 ABM的面積.(3)是否存在這樣的點 P,使得以點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出 點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說

3、明理由.圖3等腰三角形類【例3】.如圖，點A在x軸上，OA=4,將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在,求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【考點：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；分類討論.】【鞏固3】.在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A （0, 2）,點C （- 1, 0）,如圖所示：拋物線 尸ax2+ax-2經(jīng)過點B.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在

4、拋物線上是否還存在點 P （點B除外），使 ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.規(guī)律探索類【例4】如圖，已知點 A1、A2、A3、A4、An在x軸的正半軸上，且橫坐標(biāo)依次為連續(xù)的正整數(shù)，過點A1、A2、A3、A4、An分別作x軸的垂線，交拋物線 y=x2+x于點B1、B2、B3、B4、Bn,交過點 Bi 的直線 y=2x 于點 C2、C3、C4、Cn。若B1 C2 B 2 ' B 2 C3 B3' B3C4 B 4 > Bn Cn i B n i 的面積分別為S1、S2、S3、Sn °求S2 S1與S3

5、S2的值；猜想SnSn 1與n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;直線y=2x”改為若將拋物線 y=x2 +x"改為y=x2 +bx+c” 與n的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）。綜合類【例5.如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為 B (5, 0),另一個交點為 A,且與y軸 交于點C (0, 5). (1)求直線BC與拋物線的解析式；(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN / y軸交直線BC于點N,求MN的最大值；(3)在(2)的條彳下，MN取得最大值時，若點 P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以 BC為邊作平行四邊形CBPQ,設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為

6、Si,AABN的面積為S2,且Si=6S2,求點P的坐標(biāo).【考點：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題.】丁【鞏固6】.如圖，拋物線 y=ax2+bx+c (aw。的圖象過點 C (0, 1),頂點為Q (2, 3),點D在x軸正半 軸上，且OD = OC. (1)求直線CD的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E,求證： CEQsCDO；(4)在(3)的條件下，若點 P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在 P點和F點移動 過程中， PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.201

7、4年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)壓軸題【參考答案】【例題1】考點：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合.分析：(1)已知了拋物線上的三個點的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.式中，可得到M、N點的坐標(biāo), (3)設(shè)MN交x軸于DMN的表達(dá)式在(2)中已求得,(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點 M的橫坐標(biāo)，代入直線 BC、拋物線的解析N、M縱坐標(biāo)的差的絕對值即為 MN的長.那么 BNC 的面積可表示為：Sabnc=Samnc+Samnb=MN ( OD + DB) =MN?OB ,OB的長易知，由此列出關(guān)于 SABNC、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出 B

8、NC是否具有最大值.a (0+1) (0 3) =3, a=- 1;解答：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+1) (x-3),則: ，拋物線的解析式：y= - (x+1) (x-3) = - x2+2x+3.(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,則有:3k+b=0b=3已知點 M的橫坐標(biāo)為 m, MN / y,則M (m, - m+3)、N解得(m, m2+2m+3);. .故 MN= m2+2m+3 ( m+3) = - m2+3m (0vmv3).(3)如圖 2; Sabnc=Samnc + Samnb=MN (OD+DB) =MN?OB,S bnc= (-m2+3m) ?3=-

9、 (m-) 2+ 8(0v m v 3);當(dāng)m=時， BNC的面積最大，最大值為27T0圖2;故直線BC的解析式：y= - x+3.D B【鞏固1】【考點：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.】分析：(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點坐標(biāo)代入解析式中即可.(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標(biāo)，然后通過證明 ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑位置，由此確定圓心坐標(biāo).4MBC的面積可由 傘MBc=BC>h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點 MAB和圓心的到直線BC的M.距離最大，若設(shè)一條平行于 BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點y=x

10、2 - x- 2.解答：(1)將B (4, 0)代入拋物線的解析式中，得：.拋物線的解析式為:(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得：A ( - 1, 0)、C (0, - 2);，OA=1, OC=2, OB=4,即：OC2=OA?OB,又：OCAB, OACs OCB,得：/ OCA = /OBC;/ ACB= / OCA+ / OCB= / OBC+ / OCB=90° ,. .ABC為直角三角形，AB為八ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為 AB的中點，且坐標(biāo)為：(，0).(3)已求得：B(4,0)、C(0,-2),可得直線BC的解析式為：y=x- 2;設(shè)直線l / BC,則該

11、直線的解析式可表示為：y=x+b,當(dāng)直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程:l: y=x 4.x+b=x2-x-2,即：x2- 2x- 2- b=0,且4 =0; /. 4-4X ( - 2 - b) =0,即 b= - 4;直線所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有:1 2 _ 3 _ .嗔工解得：，x=2M (2, - 3).過M點作MNx軸于N, Sabmc=S 梯形 ocmn + Szmnb Sa ocb = X2X (2+3) +X2X3 >2 >4=4 .5圖4圖5【例2】考點：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)

12、解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定.專題：壓軸題；存在型.分析：(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A (3, 0)B ( 0, - 3)分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b,得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；(2)設(shè)點P的坐標(biāo)是(t, t-3),則M (t, t2-2t-3),用P點的縱坐標(biāo)減去 M的縱坐標(biāo)得到PM的長， 即PM= (t-3) - (t2-2t-3) =-t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到；當(dāng)t= =時，PM 最長為 Q 9=, 再利用三角形的面積公式利用Saabm=Sabpm + SAPM2X ( - n4X01)計算即可；(3)由PM/OB,根

13、據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3, PM最長時只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM = OB=3, (t2-2t-3) - (t-3) =3;當(dāng)P在第三象限：PM = OB=3, t2-3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿足 條件的t的值.解答：解：(1)把 A (3, 0) B (0, - 3)代入 y=x2+mx+n,得門解得a - ' 所以拋物線的解析式是y=x2-2x-3.設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,J_圖73 - V21t2=產(chǎn)(舍去)，所以把A (3, 0) B (0, -

14、3)代入y=kx+b,得產(chǎn)班也,解得人,所以直線 3b=-3 設(shè)點P的坐標(biāo)是(t, t-3),則M (t, t2-2t-3),因力p在第四象限，0 - 94X (-1)所以 PM= (t-3) (t22t 3) =-t2+3t,當(dāng)t=-?一二時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為一° 、二,2X ( -1)4X ( -1)1 q "貝U Saabm =Sabpm+ Saapm=_ X_ X 3=.2 4 ' 8(3)存在，理由如下：: PM / OB,當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3, PM最長時只有，所以不可

15、能有 PM=3.當(dāng) P 在第一象限：PM=OB=3, (t2-2t-3) - (t-3) =3,解得 tiH匕,2P點的橫坐標(biāo)是%1"1；2 一_ c _3羯畫3-V21當(dāng)P在第二象限：PM=OB=3, t2-3t=3,解得ti=一f (舍去)，t2=尹，所以P點的橫坐標(biāo)是孑所以P點的橫坐標(biāo)是手或二.【例題3】分析：(1)首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定 B點位置，然后過 B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長(即OA長)確定B點的坐標(biāo).(2)已知O、A、B三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.(3)根據(jù)(2)的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出P點的坐標(biāo)，而 O、

16、B坐標(biāo)已知,可先表示出 OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分 OP=OB、OP=BP、OB=BP三種情況分類討論，然后 分辨是否存在符合條件的 P點.解答：解：(1)如圖，過B點作BC，x軸，垂足為 C,則/ BCO=90°, . / AOB=120° ,BOC=60° ,=2jg, .點 B 的坐標(biāo)為(-2, - 2/3);又. OA=OB=4, . OC=OB = X4=2, BC=OB?sin60°=4>d2(2) .拋物線過原點 。和點A、B, 可設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+bx,16a+41o=O名刀/日一,解得2b= - 2-亞將 A (4

17、, 0), B (- 2. - 2，)代入，得此拋物線的解析式為y=-退2+”163(3)存在，如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2,直線x=2與x軸的交點為D,設(shè)點P的坐標(biāo)為(2, y),若 OB=OP,則 22+|y2=42,解得 y=±S，當(dāng) y=2小時,在 RtAPOD 中，/ PDO=90° , sin/POD典=匹，. . / POD=60° ,OP 2 ./ POB=/POD+/AOB=60° +120 =180°,即 P、O、B 三點在同一直線上，. y=26不符合題意，舍去，點P的坐標(biāo)為(2, - 273)若OB=PB,則42+|

18、y+2/3|2=42,解得y= 2/3,故點P的坐標(biāo)為(2, - 20)，若 OP=BP,則 22+|y|2=42+|y+2jl|2,解得 y= 2/3,故點 P 的坐標(biāo)為(2,-聞3),綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標(biāo)為(2,-麗),【例題5】【考點：二次函數(shù)綜合題.專題：壓軸題.】分析：(1)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,將B (5, 0), C (0, 5)兩點的坐標(biāo) 代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線 BC的解析式；同理，將 B (5, 0), C (0, 5)兩點工的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；(2) MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線

19、的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于MN的長和M點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；(3)先求出 ABN的面積S2=5,則Si=6S2=30.再設(shè)平行四邊形 CBPQ的邊BC 上的高為BD,根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3四,過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點 P,交x軸于點E,在直線DE上截取PQ = BC,則四邊形 CBPQ為平行四邊形.證明 EBD為等腰直角三角形，則 BE=/2BD=6,求出E 的坐標(biāo)為(-1, 0),運用待定系數(shù)法求出直線 PQ的解析式為y=-x- 1,然后解云 - 1方程組.，即可求出點P的坐標(biāo).6x+5解答：(1)設(shè)直線BC的解析式為y=

20、mx+n,將B (5, 0), C (0, 5)兩點的坐標(biāo)代入，得J 51rH二。，解得子7 ,所以直線BC的解析式為y= - x+5;將B (5, 0), C (0, 5)兩點的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c,得產(chǎn)+5b+u0 ,解得產(chǎn)Y ,所以拋物線的解析式為y=x2- 6x+5;c=5tc=5(2)設(shè) M (x, x2-6x+5) (1<x<5),則 N (x, - x+5),or- MN= (-x+5) - (x2-6x+5) =-x2+5x=- (x-) 2號，當(dāng) x=時，MN 有最大值號；(3) MN 取得最大值時，x=2.5,x+5= - 2.5+5=2.5 ,即 N

21、(2.5, 2.5).解方程 x2-6x+5=0,得 x=1 或 5, A (1, 0), B (5, 0),，AB=5-1=4,.ABN 的面積 S2=>4X2.5=5,平行四邊形 CBPQ的面積為 BD,則 BCXBD.BC=5匹 BC?BD=30,過點D作直線BC的平行線,Si=6S2=30.設(shè)平行四邊形 CBPQ的邊BC上的高 BD=3 也交拋物線與點P,交x軸于點巳在直線DE上截取PQ=BC,則四邊形 CBPQ為平行四邊形BCXBD, Z OBC=45° ,./ EBD=45° ,EBD 為等腰直角三角形，BE=&BD=6,- B (5, 0), E

22、 ( 1, 0),設(shè)直線PQ的解析式為y=- x+t,將E ( - 1, 0)代入，得1+t=0,解得t=- 1直線PQ的解析式為y=- x- 1.解方程組勺二2防二一3點P的坐標(biāo)為P1 (2, - 3)(與點D重合)或P2 (3, - 4).【鞏固6】.如圖，拋物線y=ax2+bx+c (aw。的圖象過點C (0, 1),頂點為軸上，且OD = OC. (1)求直線CD的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。所得直線與拋物線相交于另一點A(2, 3),點D在x軸正半QE,求證： CEQsCDO；(4)在(3)的條件下，若點 P是線段QE上的動點，點F是線段

23、OD上的動點，問：在 P點和F點移動 過程中， PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.分析:(3)(4)連接(1)利用待定系數(shù)法求出直線解析式；利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；關(guān)鍵是證明 CEQ與CDO均為等腰直角三角形；如答圖所示，作點 C關(guān)于直線QE的對稱點C ；作點C關(guān)于x軸的對稱點C CC，交OD于點F,交QE于點P,則4 PCF即為符合題意的周長最小的三角形,由軸對稱的性質(zhì)可知， PCF的周長等于線段 CC的長度.利用軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短可以證明此時PCF的周長最小.如答圖所示，利用勾股定理求出線段CC的長度，即4解答：解：(1) C (0, y=kx+b (kwQ,1) , OD = OC, D 點坐標(biāo)為(1PCF周長的最小值.,0).設(shè)直線CD的解析式為O將 C (0, 1), D (1, 0)代人得:rl=L,k+b-0k= - 1,，直線CD的解析式為：y= - x+1.(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a (x 2) 2+3,將 C (0, 1)代入得：1=ax (- 2) 2+3,解得 a= - y= _ (x-2) 2+3=一*+2x+1 .(3)證明：由題意可知，/ ECD=45°,ODC=45° ,. OC=OD,且OC