求兩導體平板之間的電位和電場學習教案

1、會計學1求兩導體平板之間的電位求兩導體平板之間的電位(din wi)和電場和電場第一頁，共136頁。2本章內容本章內容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導電媒質中的恒定電場分析導電媒質中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一(wiy)性定理性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括： 靜電場、恒定靜電場、恒定(hngdng)(hngdng)電場和恒定電場和恒定(hngdng)(hngdng)磁場磁場 時變情況時變情況(qngkun

2、g)(qngkung)下，電場和磁場相互關聯，構成統(tǒng)一的電磁場下，電場和磁場相互關聯，構成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況靜態(tài)情況(qngkung)(qngkung)下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立 第1頁/共136頁第二頁，共136頁。3 本節(jié)內容本節(jié)內容 靜電場的基本方程靜電場的基本方程(fngchng)和邊界條件和邊界條件 電位函數電位函數 導體系統(tǒng)的電容與部分電容導體系統(tǒng)的電容與部分電容 靜電場的能量靜電場的能量 靜電力靜電力第2頁/共136頁第三頁，共136頁。42. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構關系：本構關系：1. 基本基

3、本(jbn)方程方程n12n12()()0SeeDDEE0ddlESDCSq積分形式：積分形式：n12n12()0()0eeDDEE02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S第3頁/共136頁第四頁，共136頁。5介質介質2 2介質介質1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導體在靜電平衡的情況下，導體(dot)(dot)內部的電場為內部的電場為0 0，則導體，則導體(dot)(dot)表面的邊界條件為表面的邊界條件為 nn0SeeDE0tn

4、EDS或或 場矢量場矢量(shling)的折射關系的折射關系 導體導體(dot)表面的邊界條件表面的邊界條件第4頁/共136頁第五頁，共136頁。60E由由即即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數標量函數 稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。1. 電位電位(din wi)函數的定義函數的定義E第5頁/共136頁第六頁，共136頁。72. 電位電位(din wi)的表達式的表達式對于對于(duy)連續(xù)的體分布電荷，由連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷同理得，面電荷(dinh)的電位：的電位： 1( )( )d4VrrVC

5、R故得故得點電荷的電位：點電荷的電位：( )4qrCR( )1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrRCSRrrSSd)(41)(3第6頁/共136頁第七頁，共136頁。8n3. 電位差電位差兩端點乘兩端點乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點上式兩邊從點P到點到點Q沿任意路徑沿任意路徑(ljng)進行積分，得進行積分，得關于電位差的說明關于電位差的說明 P、Q 兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至點移至Q

6、 點點 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾電位差有確定值，只與首尾(shuwi)兩點位置有關，與積分路徑無關。兩點位置有關，與積分路徑無關。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點間的電位差兩點間的電位差電場力電場力做的功做的功第7頁/共136頁第八頁，共136頁。9 靜電位不惟一，可以靜電位不惟一，可以(ky)(ky)相差一個常數，即相差一個常數，即)(CC選參考點選參考點令參考點電位令參考點電位(din wi)為零為零電位電位(din

7、 wi)(din wi)確定值確定值( (電位電位(din wi)(din wi)差差) )兩點間電位差有定值兩點間電位差有定值 選擇電位參考點的原則選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義。應使電位表達式有意義。 應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠作電位參考點。限遠作電位參考點。 同一個問題只能有一個參考點。同一個問題只能有一個參考點。4. 電位參考點電位參考點 為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即為使

8、空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第8頁/共136頁第九頁，共136頁。10 例例 求電偶極子的電位求電偶極子的電位(din wi). 解解 在球坐標系中在球坐標系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二項式展開，由于，得用二項式展開，由于，得dr ,cos21drr223000cos( )444rqdrrrrrp ep 代入上式，得代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。表示電偶

9、極矩，方向由負電荷指向正電荷。dqp+q電偶極子電偶極子zodq1r2rr),(rP第9頁/共136頁第十頁，共136頁。11ErErrdd21sinCr 將將 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 線方程為線方程為ErE 由球坐標系中的梯度公式由球坐標系中的梯度公式(gngsh)(gngsh)，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度30(2cossin )4rqree11( )()sinrrrrr Eeeecos2Cr Crp204cos等位線等位線電場線電場線電偶極子的場圖電偶極子的場圖電場線微分方程電場線微分方程(wi fn fn chn)：等位等位(dn wi)線方

10、程：線方程：第10頁/共136頁第十一頁，共136頁。12 解解 選定均勻電場選定均勻電場(din chng)(din chng)空間中的一點空間中的一點O O為坐標原點，而任意點為坐標原點，而任意點P P 的位置矢量為的位置矢量為r r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點若選擇點O為電位參考點，即為電位參考點，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐標系中，取極軸與在球坐標系中，取極軸與 的方向一致，即的方向一致，即 ，則有，則有00zEe E0E0ExzOPr 例例 求均勻求均勻(jnyn)(jnyn)電場的電位分

11、布。電場的電位分布。000( )()cosxzPEreE ee zE zree z 在圓柱坐標系中，取在圓柱坐標系中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E第11頁/共136頁第十二頁，共136頁。13xyzL-L( , , )z zddlzRz 解解 采用圓柱坐標系，令線電荷與采用圓柱坐標系，令線電荷與 z 軸相重合，中點位于坐標原點。在帶電線上位于軸相重合，中點位于坐標原點。在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它到點，它到點 的距離的距離 ，則，則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4L

12、lLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第12頁/共136頁第十三頁，共136頁。142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 。當。當 時，上式可寫為時，上式可寫為 LRL 當當 時，在上式中加上一個任意常數，則有時，在上式中加上一個任意常數，則有L 002( )ln2lLrC選擇選擇(xunz)= a 的點為電位參考點，則有的點為電位參考點，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第13頁/

13、共136頁第十四頁，共136頁。15在均勻在均勻(jnyn)(jnyn)介質中，有介質中，有5. 電位電位(din wi)的微分方程的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED202標量泊松方程標量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第14頁/共136頁第十五頁，共136頁。16n6. 靜電靜電(jngdin)位的邊位的邊界條件界條件 設設P1和和P2是介質分界面兩側緊貼是介質分界面兩側緊貼(jn ti)界面的相鄰兩點，其電位分別為界面的相鄰兩點，其電位分別為1和和2。當兩點間距離。當兩點間距離l0時時導體導體(dot)(dot)表面上電位的邊界條件：表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPl

14、Eln12()SeDDD由由 和和12媒質媒質2媒質媒質121l2P1P 若介質分界面上無自由電荷，即若介質分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數，常數，SnSnn112221第15頁/共136頁第十六頁，共136頁。17 例例3.1.4 兩塊無限大接地導體平板分別置于兩塊無限大接地導體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，在兩板之間的處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地在兩塊無限大接地(jid)導體平板之間電位函數滿

15、足一維拉普拉斯方程導體平板之間電位函數滿足一維拉普拉斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程方程(fngchng)的解為的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( ) x2( ) x第16頁/共136頁第十七頁，共136頁。180110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用利用(lyng)邊界條件

16、，有邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 處，處，最后最后(zuhu)得得0 x 處，處，1(0)0 xa2( )0a 處，處，所以所以(suy)0220( )( )SxbE xxea 由此解得由此解得第17頁/共136頁第十八頁，共136頁。19電容器廣泛應用于電子設備的電路電容器廣泛應用于電子設備的電路(dinl)中：中： 在電子電路中，利用電容器來實現濾波在電子電路中，利用電容器來實現濾波(lb)、移相、隔直、旁、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各

17、種功能的復雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數，以 減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設備的利用率。第18頁/共136頁第十九頁，共136頁。20qC 1. 電容電容(dinrng) 孤立孤立(gl)導體的電容導體的電容 兩個帶等量兩個帶等量(dn lin)異號電荷（異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為）的導體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周

18、圍電介質的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。E02U1qq第19頁/共136頁第二十頁，共136頁。21 (1) 假定兩導體上分別假定兩導體上分別(fnbi)帶電荷帶電荷+q 和和q ； 計算電容計算電容(dinrng)的方法一：的方法一：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU (3) 由由 ，求出兩導體間的電位差；，求出兩導體間的電位差； (2) 計算兩導體間的電場計算兩導體間的電場(din chng)強度強度E； 計算電容的方法二計算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS

19、 (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由 ，求出導體的電荷，求出導體的電荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。第20頁/共136頁第二十一頁，共136頁。22 解：設內導體的電荷解：設內導體的電荷(dinh)(dinh)為為q q ，則由高斯定理可求得內外導體間的電場，則由高斯定理可求得內外導體間的電場44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導體同心導體(dot)(dot)間的電壓間的電壓04abqCUba球形電容球形電容(dinrng)(di

20、nrng)器的電容器的電容(dinrng)(dinrng)04Ca當當 時，時，b 例例 同心球形電容器的內導體半徑為同心球形電容器的內導體半徑為a 、外導體半徑為、外導體半徑為b，其間填充介電常數為，其間填充介電常數為的均勻介質。的均勻介質。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容孤立導體球的電容abo第21頁/共136頁第二十二頁，共136頁。23 例例 如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a ，兩導線的軸線距離，兩導線的軸線距離(jl)為為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設兩導線單位

21、長度帶電量分別為設兩導線單位長度帶電量分別為 和和 。應用高斯定理和疊加原理，可得兩導線之間的平面上任一點應用高斯定理和疊加原理，可得兩導線之間的平面上任一點P 的電場強度為的電場強度為l011( )()2lxE xexDx兩導線兩導線(doxin)間的電位差間的電位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故單位故單位(dnwi)長度的電容為長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第22頁/共136頁第二十三頁，共136頁。24 例例 同軸線內導體半徑為同軸線內導體半徑為a ，外導體半徑為，外導體半徑為b ，內外導體間填充的介電常數為，內外

22、導體間填充的介電常數為 的均勻的均勻(jnyn)介質，求同軸線單位長度的電容。介質，求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內外內外(niwi)導體間的電位差導體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為 和和 ，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度故得同軸線單位長度(chngd)的電容為的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第23頁/共136頁第二十四頁，共136頁。251. 1.

23、靜電場的能量靜電場的能量(nngling)(nngling) 設系統(tǒng)從零開始充電設系統(tǒng)從零開始充電(chng din)，最終帶電量為，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。外電源。外電源所做的總功為所做的總功為101d2qq 根據根據(gnj)能量守恒定律，電為能量守恒定律，電為 q 的帶電體具有的電場能量：的帶電體具有的電場能量： 對于電荷體密度為對于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷，體積元dV中的電荷中的電荷dV具有的電場能量為具有的電場能量為qW21eVWd21de 靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場

24、最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。靜電場的能量靜電場的能量 第24頁/共136頁第二十五頁，共136頁。26故體分布故體分布(fnb)(fnb)電荷的電場能量為電荷的電場能量為對于對于(duy)(duy)面分布電荷，電場能量為面分布電荷，電場能量為對于多導體對于多導體(dot)(dot)組成的帶電系統(tǒng)，則有組成的帶電系統(tǒng)，則有iq 第第i 個導體所帶的電荷個導體所帶的電荷i 第第i 個導體的電位個導體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第25頁/共

25、136頁第二十六頁，共136頁。272. 電場能量電場能量(nngling)密度密度EDw21e電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域為電場積分區(qū)域為電場所在的整個空間所在的整個空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對于對于(duy)線性、各向同性介質，則有線性、各向同性介質，則有2e111222wD EE EE 第26頁/共136頁第二十七頁，共136頁。28由于體積由于體積V 外的電荷外的電荷(dinh)密度密度0，只要電荷，只要電荷(dinh)分布在有限區(qū)域內，當閉合面分布在有限區(qū)域內，當閉合面S 無限擴大時，則有無限

26、擴大時，則有211 O( O()DRR) 、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS第27頁/共136頁第二十八頁，共136頁。29 例例 半徑為半徑為a a 的球形空間的球形空間(kngjin)(kngjin)內均勻分布有電荷體密度為內均勻分布有電荷體密度為的電荷，試求靜電場能量。的電荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 計算計算 VVEDWd

27、21e 根據高斯定理求得電場根據高斯定理求得電場(din chng)(din chng)強度強度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第28頁/共136頁第二十九頁，共136頁。30)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計算計算 VVWd21e 先求出電位先求出電位(din wi)(din wi)分布分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第29頁/共136頁第三十頁，共136頁。31 虛位移法：假設第虛位移法：假設第i 個帶電導體在

28、電場力個帶電導體在電場力Fi 的作用下發(fā)生位移的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功，則電場力做功dAFi dgi ，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We 。根據能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能。根據能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能(gngnng)關系為關系為edddSiiWF gW其中其中dWS是與各帶電體相連接的外電源是與各帶電體相連接的外電源(dinyun)所提供的能量。所提供的能量。靜電力靜電力1. 各帶電導體各帶電導體(dot)的電位不變的電位不變外電壓源向系統(tǒng)提供的能量外電壓源向系統(tǒng)提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqq系統(tǒng)所改

29、變的靜電能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即即ed2dSWWeddiiF gWeiiWFg 不變不變第30頁/共136頁第三十一頁，共136頁。32此時此時(c sh)，dWS0，因此，因此2. 各帶電各帶電(di din)導體的電荷不變導體的電荷不變eddiiF gW 式中的式中的“”號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)號表示電場力做功是靠減少系統(tǒng)(xtng)的靜電能量來實現的。的靜電能量來實現的。eiiWFg q不變不變部分填充介質的平行板電容器部分填充介質的平行板電容器dbU0lx 例例 有一平行金屬板電容器，極有一平行金屬板電容器，極板面積為板面積為lb，板間距離為，板間距離為d ，用一塊介，用一塊介質

30、片（寬度為質片（寬度為b、厚度為、厚度為d ，介電常數為，介電常數為）部分填充在兩極板之間，如圖所示。）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設極板間外加電壓為設極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應，忽略邊緣效應，求介質片所受的靜電力。求介質片所受的靜電力。第31頁/共136頁第三十二頁，共136頁。330()lx bbxCdd所以電容器內的電場所以電容器內的電場(din chng)能量為能量為220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不變由由 可求得介質片受到的靜電力為可求得介質片受到的靜電力為eiiWFg不變 解解 平行平行(pngxng)板電容器的電容為板電容器的電

31、容為由于由于0，所以介質片，所以介質片所受到的力有將其拉所受到的力有將其拉進電容器的趨勢進電容器的趨勢 此題也可用式此題也可用式 來計算來計算eiiWFg q不變不變第32頁/共136頁第三十三頁，共136頁。3422e022 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不變000()bUqCUlxxd200()2xbUFd設極板上保持設極板上保持(boch)總電荷總電荷q 不變，則不變，則由此可得由此可得由于由于(yuy)同樣同樣(tngyng)得到得到本節(jié)內容本節(jié)內容 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的

32、比擬 漏電導漏電導第33頁/共136頁第三十四頁，共136頁。35 導體中若存在恒定電流，導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場導體中若存在恒定電流，導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產生的電場(din chng)(din chng)稱為恒定電場稱為恒定電場(din chng)(din chng)。 恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：恒定電場與靜電場的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在于導體內部。）恒定電場可以存在于導體內部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗(snho),(snho),要維持導體中的恒

33、定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗(snho)(snho)的電場能量。的電場能量。恒定電場的基本恒定電場的基本(jbn)(jbn)方程和邊界條件方程和邊界條件第34頁/共136頁第三十五頁，共136頁。36EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本基本(jbn)方程方程 恒定恒定(hngdng)(hngdng)電場的基本方程為電場的基本方程為微分形式：微分形式：積分積分(jfn)(jfn)形式：形式：)(rJ 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度和電場強度)(rE 線性各向同性導電媒質的本構關系線

34、性各向同性導電媒質的本構關系0)(EEJ 恒定電場的電位函數恒定電場的電位函數0E0 EE0 J由由0)(02若媒質是均勻的，則若媒質是均勻的，則 均勻導電媒質均勻導電媒質中沒有體分布中沒有體分布電荷電荷第35頁/共136頁第三十六頁，共136頁。372. 恒定恒定(hngdng)電場的邊界條件電場的邊界條件0d lEC0dSJS媒質媒質2 2媒質媒質1 121212E1Enen12()0e JJn12()0e EE 場矢量場矢量(shling)(shling)的邊界條件的邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE即即 導電媒質分界導電媒質分界(fn ji)(fn ji)面上的電荷面密度面上的電荷面

35、密度1212n12n12n1212()()()SeeJDDJJ場矢量的折射關系場矢量的折射關系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE第36頁/共136頁第三十七頁，共136頁。38 電位電位(din wi)(din wi)的邊界條件的邊界條件nn221121, 恒定電場同時恒定電場同時(tngsh)存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面；而導體表面不是等位面； 說明說明(shumng)：b11、a第37

36、頁/共136頁第三十八頁，共136頁。39媒質媒質2 2媒質媒質1 12122E1E)(12媒質媒質2 2媒質媒質1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且290，則，則10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時此時(c sh)，良導體表面可近似地看作為，良導體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質若媒質1為理想介質，即為理想介質，即10，則，則 J1=0，故，故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導體，即導體 中的電流中的電流(dinli)和電場與分界面平行。和電場與分界面平行。第38頁/共136頁第三十九頁，共136頁。40恒定恒定(hn

37、gdng)電場與靜電場的比擬電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到個數學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到(d do)(d do)另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場第39頁/共136頁第四十頁

38、，共136頁。41恒定電場恒定電場(din chng)(din chng)與靜電場與靜電場(din chng)(din chng)的比擬的比擬對應物理量對應物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構關系本構關系位函數位函數邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）0d, 0dlESDCS第40頁/共136頁第四十一頁，共136頁。42 例例一個有兩層介質的平行一個

39、有兩層介質的平行(pngxng)板電容器，其參數分別為板電容器，其參數分別為1、1 和和 2、2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。求介質面上的自由電荷密度。 解：極板是理想解：極板是理想(lxing)導體，為等位面，電流沿導體，為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo1212112212()ddUUUE dE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ 上下21122121212112()SDDJUdd 介第41頁/共136頁第四十二頁，共136頁。43 例例 填充有兩層

40、介質的同軸電纜，內導體半徑為填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為，外導體半徑為c，介質的分界面半徑為，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數為。兩層介質的介電常數為1 和和2 、電導率為、電導率為 1 和和 2 。設內導體的電壓為。設內導體的電壓為U0 ，外導體接地。求：（，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上）介質分界面上(min shn)的自由電荷面密度。的自由電荷面密度。J1212I外導體外導體(dot)(dot)內導體內導體(dot)(dot)介質介質2 2介質介質1abc11、22、0

41、U第42頁/共136頁第四十三頁，共136頁。44 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質介質(jizh)中的電場中的電場222()2JIEebc 解：解：第43頁/共136頁第四十四頁，共136頁。4512021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質中的電流密度和電場故兩種介質中的電流密度和電場(din chng)強度分別為強度分別為120

42、212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于(yuy)于是于是(ysh)得到得到第44頁/共136頁第四十五頁，共136頁。4612011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介質可得，介質1內表面的電荷面密度為內表面的電荷面密度為介質介質2外表面外表面(biomin)的電荷面密度為的電荷面密度為兩種介質分界兩種介質分界(fn ji)面上的電荷面密度為

43、面上的電荷面密度為J2112I第45頁/共136頁第四十六頁，共136頁。47 漏電流與電壓漏電流與電壓(diny)(diny)之比為漏電導，即之比為漏電導，即UIG 其倒數稱為其倒數稱為(chn(chn wi) wi)絕緣電阻，即絕緣電阻，即IUGR1漏電導漏電導(din do)第46頁/共136頁第四十七頁，共136頁。48(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I ；(2) 計算兩電極間的電流密度計算兩電極間的電流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出兩導，求出兩導 體間的電位差；體間的電位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求

44、電導。所求電導。21dlEUUIG/ 計算電導計算電導(din do)的方法一：的方法一： 計算計算(j sun)(j sun)電導的方法二：電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導體間，求出兩導體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導。求電導。ESISJdUIG/ 計算電導計算電導(din do)的方法三：的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CGCG第47頁/共136頁第四十八頁

45、，共136頁。49 例例 求同軸電纜的絕緣電阻求同軸電纜的絕緣電阻(dinz)。設內外的半徑分別為。設內外的半徑分別為a 、b，長度為，長度為l ，其間媒質的電導率為，其間媒質的電導率為、介電常數為、介電常數為。解解：電導電導)/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba則則IlIJ2lIJE2設由內導體設由內導體(dot)流向外導體流向外導體(dot)的電流為的電流為I 。第48頁/共136頁第四十九頁，共136頁。50012222000, 0U 方程方程(fngchng)通解為通解為21CC 例例 在一塊厚度為在一塊厚度為h 的導電的導

46、電(dodin)板上，板上， 由兩個半徑為由兩個半徑為r1 和和 r2 的圓弧和夾角為的圓弧和夾角為 0 的兩半徑割出的一段環(huán)形導電的兩半徑割出的一段環(huán)形導電(dodin)媒質，如圖所示。計算沿媒質，如圖所示。計算沿 方向的兩電極之間的電阻。設導電方向的兩電極之間的電阻。設導電(dodin)媒質的電導率為媒質的電導率為。 解：解： 設在沿設在沿 方向的兩電極之間外加電壓方向的兩電極之間外加電壓U0，電位，電位(din wi)函數函數 滿足一維拉普拉斯方程滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件代入邊界條件可以得到可以得到10020/,CUCU 環(huán)形導電媒質塊環(huán)形導電媒質塊r1hr2 0J第49頁/共1

47、36頁第五十頁，共136頁。51電流密度電流密度00UJEe 兩電極兩電極(dinj)之間的電流之間的電流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿故沿 方向方向(fngxing)(fngxing)的兩電極之間的電阻為的兩電極之間的電阻為0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以(suy)(suy)00UEee 第50頁/共136頁第五十一頁，共136頁。52本節(jié)內容本節(jié)內容 恒定磁場恒定磁場(cchng)的基本方程和邊界的基本方程和邊界條件條件 恒定磁場恒定磁場(cchng)的矢量磁位和標的矢量磁位和標量磁位量磁位 電感電感 恒定磁場恒定磁場(cchng)的能

48、量的能量 磁場磁場(cchng)力力第51頁/共136頁第五十二頁，共136頁。530HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本基本(jbn)方程方程BH2. 邊界條件邊界條件本構關系本構關系(gun x)(gun x)：n12n12()0()SeBBeHHJSJHHBBt2t12n1n0或或若分界若分界(fn ji)(fn ji)面上不存在面電流，即面上不存在面電流，即JSJS0 0，則，則積分形式積分形式: :n12n12()0()0eBBeHH或或002tt1n2n1HHBB第52頁/共136頁第五十三頁，共136頁。54 矢量矢量(shling)磁位的定義磁位的定

49、義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定(qudng)的，它加上任意一個標量的，它加上任意一個標量 的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個矢量即恒定磁場可以用一個矢量(shling)函數的旋度來表示。函數的旋度來表示。()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位恒定磁場的矢量磁位和標量磁位AA0A 為了得到確定的為了得到確定的 ，可以對，可以對 的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖

50、規(guī)范。的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。AA第53頁/共136頁第五十四頁，共136頁。55 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程(wi fn fn chn)在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0A0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達式磁矢位的表達式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ( )111()( )()( )( )()J rJ rJ rJ rRRRR31()RRR JB第54頁/共136頁第五十五頁，共136頁。56 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件（

51、可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A對于對于(duy)(duy)面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為面電流和細導線電流回路，磁矢位分別為 利用利用(lyng)(lyng)磁矢位計算磁通量：磁矢位計算磁通量：0A12AAn12()SeHHJ/HA n121211()SeAAJ細線電流細線電流：CRlIrAd4)(面電流面電流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA 第55頁/共136頁第五十六頁，共136頁。57 例例 求小圓環(huán)電流求小圓環(huán)電流(dinli)回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小

52、圓形回路的半徑為回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a ，回路中的電流，回路中的電流(dinli)為為I 。 解解 如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與 無關，計算無關，計算 xO z 平面平面(pngmin)上的矢量磁位與磁場將不失一般性。上的矢量磁位與磁場將不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圓環(huán)電流小圓環(huán)電流aIxzyrRdlrIPO第

53、56頁/共136頁第五十七頁，共136頁。58對于對于(duy)遠區(qū)，有遠區(qū)，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可寫成，所以上式可寫成yee于是于是(ysh)得到得到20022( )sinsin44I aISA reerr第57頁/共136頁第五十八頁，共136頁。5911(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin )4rISeer式中式

54、中S =a 2是小圓環(huán)的面積是小圓環(huán)的面積(min j)。 載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，載流小圓環(huán)可看作磁偶極子， 為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則mpIS0m2( )sin4pA rer或或 0m3( )4A rprr0m3( )(2cossin )4rpB reer第58頁/共136頁第五十九頁，共136頁。602. 恒定磁場恒定磁場(cchng)的標量磁位的標量磁位在無傳導電流在無傳導電流(chun do din li)（J0）的空間）的空間 中，則有中，則有 標量標量(bioling)磁位的引入磁位的引入0HmH 標量磁位或磁標位標量磁位或磁標位 磁標

55、位的微分方程磁標位的微分方程00,()BBHM將將 代入代入mH m0H2mm0 m0HM m0M 等效磁荷體密度等效磁荷體密度第59頁/共136頁第六十頁，共136頁。61 標量標量(bioling)磁位的邊界條件磁位的邊界條件m0 n21()SeMM 0m0BHHB 、2m0在線性、各向同性在線性、各向同性( xin tn xn)的均勻媒質中的均勻媒質中 標量標量(bioling)磁位的表達式磁位的表達式01( )( )d4VrrVRmm0( )1( )d4VrrVRm1m212nn和和m1m2或或2mm10mSnn 和和m1m2式中：式中： 等效磁荷面密度等效磁荷面密度第60頁/共136

56、頁第六十一頁，共136頁。62靜電靜電(jngdin)位位 磁標位磁標位 磁標位與靜電磁標位與靜電(jngdin)位的比較位的比較0,ED0,0HBE mH PP m0M 2P0() 2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn 靜電位靜電位 0 PEDP磁標位磁標位 m 0mHB0M第61頁/共136頁第六十二頁，共136頁。6322m00m00m,qa Mqa Mq 上下上當當r l 時，可將磁柱體等效時，可將磁柱體等效(dn xio)成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有成磁偶極子，則利用與靜電場的比較和電偶極子場，有m

57、m33001144prp rrr 2mm00zpqlpq leaM l：其其中中0mB 解解：M0為常數，為常數，m= 0，柱內沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為，柱內沒有磁荷。在柱的兩個端面上，磁化磁荷為m00m00,MM 上下R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半徑為半徑為a、長為、長為l 的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強度為的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強度為 。求遠區(qū)的磁感應強度。求遠區(qū)的磁感應強度。0zMe M第62頁/共136頁第六十三頁，共136頁。641. 磁通與磁鏈磁通與磁鏈 ii電感電感(din n) 單匝線圈形成單匝線圈形成(xngchng)的

58、回路的磁鏈定的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導線回路多匝線圈形成的導線回路(hul)的磁的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總和鏈定義為所有線圈的磁通總和 CI 細回路細回路 粗導線構成的回路，磁鏈分為粗導線構成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導線包圍兩部分：一部分是粗導線包圍 的、磁力線不穿過導體的外磁通量的、磁力線不穿過導體的外磁通量 o ；另一部分是磁力線穿過；另一部分是磁力線穿過 導體、只有粗導線的一部分包圍的內磁通量導體、只有粗導線的一部分包圍的內磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第63頁/共136頁第六十四頁，共136頁。65 設回路設回路

59、 C 中的電流為中的電流為I ，所產生的磁場與回路，所產生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的電流中的電流 I 有正比有正比(zhngb)關系，其比值關系，其比值IL稱為回路稱為回路(hul) C 的自感系數，簡稱自感。的自感系數，簡稱自感。 外自感外自感(z n)ILiiILoo2. 自感自感 內自感；內自感；粗導體回路的自感：粗導體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質有關，與電流無關。自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質有關，與電流無關。 自感的特點自感的特點：第64頁/共136頁第六十五頁，

60、共136頁。66 解：設同軸線中的電流解：設同軸線中的電流(dinli)(dinli)為為I I ，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理0ii22,22IIHBaa穿過沿軸線單位長度的矩形穿過沿軸線單位長度的矩形(jxng)面積元面積元dS = d的磁通為的磁通為0ii2ddd2IBSa (0)a 例例 求同軸線單位長度求同軸線單位長度(chngd)的自感。設內導體半徑為的自感。設內導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。得得與與di 交鏈的電流為交鏈的電流為22IIa abadIiB2222idaIaIIlHC第65頁/共136頁第六十