高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第八節(jié) 函數(shù)與方程課件 文

1、第八節(jié)函數(shù)與方程總綱目錄教材研讀1.函數(shù)零點(diǎn)的定義考點(diǎn)突破2.函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在性定理）3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷4.用二分法求函數(shù)f（x）零點(diǎn)近似值的步驟考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用1.函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對(duì)于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)方程f(x)=0有實(shí)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).教材研讀教材研讀2.函數(shù)零點(diǎn)的判定函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理)一般地,如果

2、函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系0=00)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)無4.用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟零點(diǎn)近似值的步驟第一步,確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證f(a)f(b)0,給定精確度.第二步,求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x1.第三步,計(jì)算f(x1):(i)若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點(diǎn);(ii)若f(a)f(x1)0,則令b=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0(a,x1);(iii)若f(x1)f(b)0,則令a=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0(x1,b).第四步

3、,判斷是否達(dá)到精確度:若|a-b|0)與y=lnx圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).作出兩函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象,如圖:由圖象知它們只有一個(gè)交點(diǎn),故選B.1x1x1x1xB3.(2014北京,6,5分)已知函數(shù)f(x)=-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)6x答案答案Cf(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(3)=2-log230,f(4)=-log24=-20,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),故選C.6432C4.(2017北京朝陽一模)已知函數(shù)f(x)=2x-a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a

4、的取值范圍是.2x答案答案(0,3)解析解析易知該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn),f(1)f(2)0,即-a(3-a)0,解得0a.故k的取值范圍是.12f12212212121,2考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=3x-x2有零點(diǎn)的區(qū)間是()A.0,1B.1,2C.-2,-1D.-1,0(2)(2017北京東城二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)在區(qū)間(kZ)內(nèi),那么k=.1,22k k 答案答案(1)D(2)5解析解析(1)f(0)=1,f(1)=2,f(0)f(1)0,f(2)=5,f(1)=2,f(2)f(1)

5、0,f(-2)=-4,f(-1)=-1,f(-2)f(-1)0,f(0)=1,f(-1)=-1,f(0)f(-1)0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.又f(3)=ln30,f=ln-10,1913131x5252ff(3)0.由零點(diǎn)存在性定理,知f(x)的零點(diǎn)在內(nèi),k=5.525,32方法技巧方法技巧判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)的方法(1)解方程,當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可通過解方程看方程是否有根落在給定區(qū)間上進(jìn)行判斷;(2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷;(3)畫出函數(shù)圖象,通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點(diǎn)來判斷.1-1函數(shù)f(x)=+ln的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為()A.(1,2)B.(2,

6、3)C.(3,4)D.(1,2)與(2,3)2x11x答案答案Bf(x)=+ln=-ln(x-1),其在定義域(1,+)上是減函數(shù).當(dāng)1x2時(shí),ln(x-1)0,即f(x)0,故函數(shù)在(1,2)上沒有零點(diǎn).f(2)=-ln1=10,f(3)=-ln2=,因?yàn)?22.828,所以e,故lneln,即1ln8,所以2ln8,即f(3)0在(0,+)上恒成立,1ln2xB所以函數(shù)f(x)=log2x+x-2在(0,+)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(1)=-10,所以函數(shù)f(x)=log2x+x-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2).故選B.典例典例2(1)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

7、為()A.1B.2C.3D.4(2)(2016北京海淀二模)函數(shù)f(x)=2x-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.422 ,0,|lg|,0,xx xx x考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)答案答案(1)C(2)B解析解析(1)g(x)=f(1-x)-1=g(x)=當(dāng)x1時(shí),函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x1時(shí),函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故選C.(2)易知f(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=1,作出y=2x與y=2x的圖象(如圖),可知兩函數(shù)圖象還有另一個(gè)交點(diǎn).故f(x)有2個(gè)零點(diǎn).2(1)2(1) 1,10,|lg(1)| 1,10 xxxxx242,1,

8、|lg(1)| 1,1,xxxxx方法技巧方法技巧1.判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:直接求零點(diǎn):令f(x)=0,求解方程,有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn);利用零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)圖象在a,b上是連續(xù)的曲線,且f(a)f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能確定函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn);畫兩個(gè)相應(yīng)函數(shù)的圖象,有幾個(gè)交點(diǎn),就有幾個(gè)零點(diǎn).2.函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題的三種不同表達(dá)形式,方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).2-1(2015北京朝陽二模)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.321, 11,lg ,1xxx x

9、答案答案C當(dāng)-1x1時(shí),令f(x)=0,得x=-1;當(dāng)x1時(shí),令f(x)=0,得x=1,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.C考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用命題角度一利用函數(shù)的零點(diǎn)比較大小命題角度一利用函數(shù)的零點(diǎn)比較大小典例典例3設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則()A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0,則f(x)在R上為增函數(shù),又f(0)=e0-20,且f(a)=0,0a0,g(x)在(0,+)上為增函數(shù),1x又g(1)=ln1-2=-20,且g(b)=0,

10、1b2,ab,故選A.( )( )0,( )( )0.f bf ag ag b命題角度二利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)命題角度二利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)(或范圍或范圍)典例典例4(1)(2016北京房山一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-5,且當(dāng)x-5時(shí),f(x)=2x-3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+1)(kZ)上有零點(diǎn),則k的值為()A.2或-11B.2或-12C.1或-12D.1或-11(2)(2016北京海淀期中)已知函數(shù)f(x)=函數(shù)g(x)=ax2-x+1(a0).若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰好有2個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,+)B.(-,0)(2

11、,+)1,1, 11,1,1,xxxx C.(1,+)D.(-,0)(0,1)1,2 答案答案(1)C(2)D解析解析(1)由2x-3=0,得x=log23,1log232,k=1.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-5對(duì)稱,另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-12,-11)內(nèi).此時(shí)k=-12.綜上,k=1或-12.故選C.(2)令f(x)-g(x)=0,則f(x)+x-1=ax2,而f(x)+x-1=在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=f(x)+x-1和y=ax2的圖象,如圖.2,1,21, 11,1,xxxxx x 由圖象可知,當(dāng)a0時(shí),y=f(x)-g(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn);當(dāng)0a1時(shí),y=f(x)-g(x)沒有零

12、點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,0)(0,1).方法技巧方法技巧已知函數(shù)有零點(diǎn)(或方程有根),求參數(shù)取值范圍的常用方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)函數(shù)解析式(或方程)變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)相應(yīng)函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.3-1(2018北京海淀期末)函數(shù)f(x)=的最大值為;若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=k(x-1)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.2 ,0,(2),0 xxxx x答案答案1;0,+)解析解析函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f(x)的最大值為1,直線y=k(x-1)過定點(diǎn)(1,0),令x(2-x)=k(x-1),整理得-x2+(2-k)x+k=0,=(2-k)2+4k=4+k2