求數(shù)列通項公式之累加法

1、第 1 講 求數(shù)列通項公式之累加法（1）累加法： 如果遞推公式形式為：an 1anfn 或 an 1anf (n) ，則可利用累加法求通項公式注意：等號右邊為關(guān)于n 的表達(dá)式，且能夠進(jìn)行求和 an 1 , an 的系數(shù)相同，且為作差的形式、具體操作流程之一：若an 1anf (n) ，a2a1f (1)a3a2f (2)則LLan 1anf (n)n兩邊分別相加得an 1a1f (n)k1例 1：數(shù)列 an滿足： a11，且 an 1 an2n1，求 an解： an1an2n1anan 12n11Ma2a1211累加可得： aa 2 22L 2n 1n1n12 2n 112nn 32n 11a

2、n 2nn2例 2：已知數(shù)列 a 滿足 aa2n 1，a1 ，求數(shù)列 a 的通項公式。nn 1n1n解：由 an 1an2n1得 an 1an2n1 則1 / 4an (anan 1 ) ( an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1 ) a12( n1)12( n2)1 L(22 1)(211)12( n1)( n2)L 21(n1)12 (n1)n( n1)12(n1)(n1)1n2所以數(shù)列 an 的通項公式為 ann2比較例題 1 和例題 2：它們有什么異同嗎？【關(guān)鍵提示】：是否能利用累加法，首先要看能否將數(shù)列的遞推公式整理成an 1anf (n) 或anan 1()(2) 的形

3、式；其次還要利用到等差數(shù)列的前 nf nn項和公式 Sn n(a1an ) 或 Snna1n(n1)d ；22na1 (q1)等比數(shù)列的前 n 項和公式 Sna1 (1q n )(q1)1q【變式訓(xùn)練】：變式 1、已知數(shù)列an 的首項為 1，且 an 1an2n 寫出數(shù)列an 的通項公式 .變式 2、在數(shù)列an 中， a10 且 an 1an2n1，求數(shù)列an 的通項公式。變式 3、已知數(shù)列 an 滿足 a131(n 2) ，求此數(shù)列的通項， an an 1n(n1)公式 .2 / 4變式 4、在數(shù)列 an 中， a13 ， an 11，求數(shù)列 an 的通項公式。ann( n1)變式 5、已知

4、數(shù)列an 滿足 an 1an2 3n1，a13，求數(shù)列an 的通項公式?！狙a(bǔ)充練習(xí)】：1、已知數(shù)列an 滿足 a11 ， an 1ann ，則數(shù)列an 的通項公式為2、已知數(shù)列 an 滿足 a11 ， an 1an 3n 1 （ nN ），則數(shù)列 an 的通項公式為3、已知數(shù)列 an 滿足 a11 ， an 1 ann 21（ nN ），則數(shù)列 an 的23n2通項公式為 an。4、已知數(shù)列an 滿足 an 1an8(n 1)8 ，則數(shù)列an 的通項公(2n 1) 2 (2n 3) 2 , a19式為 an。5已知 an 滿足an 1 an 2，且a1 1，求an6已知 an 滿足 an 1a

5、n2 n 3 ，且 a1 1 ，求 an3 / 47已知 an 滿足an 3n 1an 1 ( n 2)，且a1 1，求an8.已知數(shù)列an 滿足，求。評注：已知 a a( )，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次1, an 1 an f n函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項a n .若 f(n) 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若 f(n) 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，累加后可分組求和 ;若 f(n) 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若 f(n) 是關(guān)于 n 的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。思考題： 已知數(shù)列an 中 , an0 且 Sn1 (ann ) ,求數(shù)列an 的通項公式 .2anS1 (ann ) S1 (SnSn)nnn 1解 :由已知2an 得2SnSn 1,化簡有Sn2Sn2 1 n,由類型 (1)有Sn2S12