五年級奧數春季實驗班第12講計算綜合之不定方程

1、第十二講計算綜合之不定方程模塊一、基礎不定方程的解法例1.不定方程x+y=2有 組解，有 組自然數解，有 組正整數解。解：不定方程x+y=2有無窮組解，對于自然數有0+2=2, 1+1=2, 2+0=2,所以自然數解有 3組，正整數解有1組。例2,求不定方程的正整數解：2x+3y=8.解：不定方程2x+3y=8,兩邊取模2的運算得，y三0 (mod 2),取y=2, x=1,x 1所以方程的解是。y 2例3.求不定方程的正整數解：3x+5y=31.解：方程3x+5y=31,兩邊取模3運算，2y三1 (mod 3),得到y(tǒng)=2, x=7 、,口 x 7f x 2所以方程的解是或 。y 2 y 5

2、x+y的最小值是y三 1 (mod 3),解得 x=5,例4.已知5x-14y=11, x和y都是正整數,解：方程5x-14y=11,兩邊取模5的運算,x 5所以方程的解是y 1x 19y 6x 5 14ky 1 5k(k為自然數)。所以x+y的最小值是6.模塊二、復雜不定方程的解法例5.小張帶了 5元錢去買橡皮和圓珠筆，橡皮每塊3角，圓珠筆每支1元1角，問5元錢剛好買 塊橡皮和 支圓珠筆。解：設買了 x塊橡皮，y支圓珠筆，所以3x+11y=50,兩邊取模 3的運算得2y三2 (mod 3),所以y=1, x=13,或x=2, y=4,x 13x 2即方程的解是或 。所以買13塊橡皮和1支圓珠

3、筆或2塊橡皮和4支圓珠筆。y 1y 4例6.今有雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一，凡百錢買雞百只，則雞翁、雞母、雞雛各 只。解：設買到x只雞翁，y只雞母，則有100-x-y只雞雛，則5x+3y+也產=100,整理得7x+4尸00,兩邊取模4的運算3。(mod 4),所以皿y=25,x 4x 8x 12方程的解為，解得z=100- x- y=78,或，z=81,或，z=84.y 18y 11y 4例7.現有一架天平和很多 3克和4克的祛碼，用這些祛碼，不能稱出的最大整數克質量是 克。(祛 碼只能放在天平的一邊)解：由于4-3=1 , 3X3-4 X=1,即如果稱出的重量中有 1個3,則將

4、3換成4,則能稱出下一個重量；如果稱出的重量中有 2個4,則可以將2個4換成3個3,也能稱出下一個重量，從6以后的所有重量都可以稱出來，所以不能稱出的最大重量是5克。123456789101112131415其中第三列中都能被 3整除的都可以稱出來；對第一列中4可以稱出來，4往下的各數，只要再加若干個 3克就能稱出；對第二列中4的倍數8可以稱出來，8往下的各數，只要再加若干個 3克就能稱出;所以不能稱出的最大克重數是 5克。克。例8.現有一架天平和很多 17克和19克的祛碼，用這些祛碼，不能稱出的最大整數克質量是 (祛碼只能放在天平的一邊)x解：解萬程17x-19y=1,解得y9 -,解方程1

5、9m-17n=1,解得8m 9n 10所以 17X9-19X8=1 19X 16-17=287,287+b=17X 忸1)+19 X(16塌，(b1),或 287+b=17X 18-19+(19 Xb- 17X 10b)=19X b91)+17 X (18-10b),物體質量b的值19的個數17的個數物體質量b的值19的個數17的個數288188296912428921017297110413290397298111332914116299125122925-106300113142293621530114611294711530215151295831430316710287 克。即大于28

6、7的整數都可以寫成 17與19的線性組合, 因此當b=0時，用這些祛碼不能稱出的最大克重是1、 2、 3、 4、16、17 18、19、20、21、33、34 35、36、37、38、50、51其中第17列中都能被若干個17克的祛碼稱出來；對第2列中19可以稱出來，19往下的各數，只要再加若干個17克就能稱出；對第4列中38可以用2個19可以稱出來，38往下的各數，只要再加若干個17克就能稱出;由此可以看出，在前 16歹U中，分別可以找到 19、38、57、19X(17-1施數，它們都可以稱出來, 它們往下排列的各數，也都可以稱出來，于是無法稱出的最大整數是19X(17-1)-17.所以不能稱

7、出的最大克重數是19X(17-1)-17=19 X 17-19-17287克。一般情況：現有一架天平和很多m克和n克的祛碼(m, n互質)，用這些祛碼，不能稱出的最大整數克質量是 克。(祛碼只能放在天平的一邊)答案：mn-m-n;設不能稱出的最大克質量為M克，即對于不定方程 mx+ny=M沒有自然數解，r ,， x a , x a n 1 _ ,即求得的整數解為，或，所以a=n-1,y 1 y m 1把*=門-1, y=-1,代入得到 M=mxn-1)-n,即方程 mx+ny=mn-m-n無自然數解。研究不定方程 mx+ny=mn-m-n有無正整數解，0xmn-mn n 1 n-1,mm n(

8、1 y)又 mx=mn-m-n-ny, 所以 x=n-1- - , m-1 是整數， m , n 互質，m所以為使x為整數，只有1+y=m、m2、 ，當1+y=m時，x=n-1- n=-1 ,不符合要求，當1+y=m2時，x=n- n- mn:)都可以寫成17和13的線性組合，因此當 b=0時, 用這些祛碼，不能稱出的最大整數克重量是：17X(120)-13=191 (克)，據此解答即可.解答：根據分析，不能稱出的最大整數克重量是：17 X (120)-13=17 X 1-213=204-13=191 (克)答：用這些祛碼，不能稱出的最大整數克重量是191克.隨堂測試1 .不定方程2x+3y=

9、9有 組正整數解。解：方程2x+3y=9,兩邊取模2運算得y三1(mod 2),解得x=3,所以方程的解是x 3或x 0 (舍去)，所以原方程只有1組正整數解。y 1 y 32.求不定方程的正整數解：30x+11y=350, x=, y=。解：方程 30x+11y=350,兩邊取 11 的模，8x三9 (mod 11) , x=8,解得 y=10,x 8所以方程的解是。y 103.求不定方程的正整數解：19x+9y=100, x=, y=。解：方程19x+9y=100,兩邊取模9運算，得x三1, y=9,x 1所以方程的解是。y 94.已知12x-13y=25, x、y都是正整數，則 x+y的

10、最小值是 。解：方程12x-13y=25,兩邊取模12的運算，得-y三1,所以y=11, x=14,x 14 , x 27 ,，一所以方程的解為或，所以x+y的最小值是25.y 11 y 235 .小麗計劃用31元買2元、3元、4元三種不同價格的圓珠筆，每種至少買1支，那么她最多能買 支。解：小麗可以買1支3元，1支4元的圓珠筆，剩余的 24元都買2元一支的，這樣一共可以買14支圓珠筆。6 .有堆成一堆的100個小祛碼，總重量為 500克，已知只有1克、10克和50克三種祛碼，在這堆祛碼中， 每一種祛碼各有 個、個、個。解：設50克的祛碼有x個，10克的祛碼有y個，1克的祛碼有100-x-y個。貝U 50x+10y+100-x-y=500,即 49x+9y=400,取模 9 的運算，得 4x三4,解得 x=1, y=39, z=60.所以有1克祛碼60個，10克祛碼39個，50克祛碼1個。7 .現有一架天平和很多個 5克和8克的祛碼，用這些祛碼，不能稱出的最大整數克質量是 克。(祛碼只能放在天平的一邊）解：5x-8y=1,解得 x=5, y=3,所以 5X5-3X=1,8X4-5=27,27+b=5X防1）+8 X（4期，b0,這說明對于任意的