高等數(shù)學(xué)(下)期末總復(fù)習(xí)

1、期末總復(fù)習(xí)期末總復(fù)習(xí)（一）平面與平面的位置關(guān)系（平行、夾角）直線與（一）平面與平面的位置關(guān)系（平行、夾角）直線與平面的位置關(guān)系。平面的位置關(guān)系。（1）設(shè)）設(shè), 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA則則 但但不不重重和和21/21212121DDCCBBAA 重重和和21,21212121DDCCBBAA 210212121 CCBBAA,|cos222222212121212121CBACBACCBBAA ,20 （一）平面與平面的位置關(guān)系（平行、夾角）直線與（一）平面與平面的位置關(guān)系（平行、夾角）直線與平面的位置關(guān)系。平面的位置關(guān)系。（2）設(shè)）設(shè), 0: DCzB

2、yAxpzznyymxxL000: 則則 /L0 CpBnAm 上上在在L LpCnBmA ,|sin222222pnmCBACpBnAm ,20 , 0 CpBnAm ),(000zyx nsns/（一）平面與平面的位置關(guān)系（平行、夾角）直線與（一）平面與平面的位置關(guān)系（平行、夾角）直線與平面的位置關(guān)系。平面的位置關(guān)系。（3）典型例題）典型例題, 0125:1 zyx例例1：已知三個(gè)平面的一般方程為：已知三個(gè)平面的一般方程為, 08523:2 zyx, 09324:3 zyx則必有（則必有（ ）,/)(21 A,)(31 B,)(32 C,/)(32 D解：解：),2, 5, 1 (1 n)

3、,5, 2, 3(2 n),3, 2, 4(3 n0322)5(4131 nn,31nn B例例2：設(shè)直線：設(shè)直線 L 和平面和平面 的方程分別為的方程分別為則必有（則必有（ ）,/)( LA,)(在在上上在在 LB,)( LC.)(斜斜交交與與 LD解：解：),1, 2, 4( n1012231 kjis,/sn, LC,031020123: zyxzyxL, 0224: zyxkji71428 )24( 7kji 例例3：求過直線：求過直線4 解：設(shè)過直線解：設(shè)過直線 L 的平面束方程為的平面束方程為 0405:zxzyxL01284: zyx且與平面且與平面夾角為夾角為的平面方程。的平面

4、方程。, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx4cos 222222)1(5)1()8()4(1| )1()8(5)4()1(1| ,43 . 012720 zyx（二）多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、導(dǎo)數(shù)；（二）多元函數(shù)的定義域、在某點(diǎn)的極限、導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)（二階混合偏導(dǎo)）多元函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)（二階混合偏導(dǎo)）、多元函數(shù)的微分、曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲、多元函數(shù)的微分、曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線、線在某點(diǎn)處的切線、Lagrange 乘數(shù)法求最值、方向?qū)?shù)乘數(shù)法求最值、方向?qū)?shù)（1）多元函數(shù)在某點(diǎn)的極限、導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)在某

5、點(diǎn)的極限、導(dǎo)數(shù)要點(diǎn)：要點(diǎn)：I：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限：求二元函數(shù)在某點(diǎn)的極限ae1 yxxxyayx 2)11 (lim)()11 (limyxyxxyxyayx )()11 (limyxyxyxxyayx （3）曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線曲面在某點(diǎn)處的切平面、空間曲線在某點(diǎn)處的切線要點(diǎn)：要點(diǎn)：I：曲面在某點(diǎn)處的切平面曲面在某點(diǎn)處的切平面（1）設(shè)曲面方程為）設(shè)曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 第一步：計(jì)算第一步：計(jì)算,zyxFFF第二步：計(jì)算曲面的法向量第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程第

6、三步：分別寫出切平面和法線的方程0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx （2）設(shè)曲面方程為）設(shè)曲面方程為),(yxfz ),(),(10000yxfyxfnyx 第一步：取第一步：取),(),(yxfzzyxF 第二步：計(jì)算曲面的法向量第二步：計(jì)算曲面的法向量第三步：利用點(diǎn)法式和對稱式分別寫出切平面和法第三步：利用點(diǎn)法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程線的方程00000000 )()(,()(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyy

7、yxfxxyx ),(),(要點(diǎn)要點(diǎn)II：空間曲線的切線與法平面：空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)空間曲線）設(shè)空間曲線 的方程的方程)(),(),(tztytx 第一步：確定點(diǎn)第一步：確定點(diǎn),),(0000tzyxM對對應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)第二步：計(jì)算第二步：計(jì)算)(),(),(000tttT 第三步：利用對稱式和點(diǎn)法式分別寫出切線和法第三步：利用對稱式和點(diǎn)法式分別寫出切線和法平面的方程平面的方程)()()(000000tzztyytxx 0000000 )()()(zztyytxxt （2）設(shè)空間曲線）設(shè)空間曲線 的方程的方程,),(),(bxaxzxy )(),(,(001xxT ,),(),(

8、 00zyxGzyxF（3）設(shè)空間曲線）設(shè)空間曲線 的方程的方程zyxzyxGGGFFFkjiT 拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法： （1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：),(),(),(yxyxfyxL （2）聯(lián)解方程組，求出）聯(lián)解方程組，求出問題問題 1 的所有可能的極值點(diǎn)。的所有可能的極值點(diǎn)。問題問題 1：求函數(shù)求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）。下的極值（稱為條件極值問題）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),( yxL0 ),(yx

9、 （3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷。（4） Lagrange 乘數(shù)法求最值。乘數(shù)法求最值。例例1：在橢球面在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：設(shè)解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn)為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平面的距離為則該點(diǎn)到平面的距離為222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大最小值。的最大最

10、小值。 由于由于 d 中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將問題問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題問題問題2：在條件在條件下，求函數(shù)下，求函數(shù)262)(),( zyxzyxf的最大最小值。的最大最小值。222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件在約束條件下，求距離下，求距離 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù))()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組

11、（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù))()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組02622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得兩個(gè)駐點(diǎn)：求得兩個(gè)駐點(diǎn)：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M對應(yīng)的距離為對應(yīng)的距離為|62121212|611 d632 6342 d例例1：在橢球面在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)。解：解： 問題問題1：在約束條件在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大

12、最小值。的最大最小值。求得兩個(gè)駐點(diǎn)：求得兩個(gè)駐點(diǎn)：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d對應(yīng)的距離為對應(yīng)的距離為,6342 d（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個(gè)，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以離和最遠(yuǎn)距離均存在。所以最近距離為最近距離為,6321 d最遠(yuǎn)距離為最遠(yuǎn)距離為,6342 d三、二重、三重積分的計(jì)算（極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)）三、二重、三重積分的計(jì)算（極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)）重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容（1）二重積分中二次積分的交換次序；）二重積分中二次積分的交換次序；例例 1 1 改改變變積積分分 xxxdyyxf

13、dxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 102112),(yydxyxfdy答案答案:例例2：試證：試證： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(（2）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(再根據(jù)再根據(jù) D 的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分的極坐標(biāo)表示，將極坐標(biāo)下的二重積分化為累次積分。化為累次積分。222(1)DIRxy dxdy例xRyxD 22: )34(93R（3）三重積分在直角坐標(biāo)系中）三重積分在直角坐標(biāo)系中“先二后一先二后一”的計(jì)算方法；的計(jì)算方法；在下面兩種

14、情形下，比較適合用此方法。在下面兩種情形下，比較適合用此方法。（1）被積函數(shù)是一個(gè)一元函數(shù)，或計(jì)算二重積分）被積函數(shù)是一個(gè)一元函數(shù)，或計(jì)算二重積分 zDdxdyzyxf),(比較容易。比較容易。（2）截面）截面zD的形狀比較簡單的形狀比較簡單z dvzyxf),( zDccdxdyzyxfzd),(21（4）三重積分在直角坐標(biāo)系中）三重積分在直角坐標(biāo)系中“先二后一先二后一”的計(jì)算方法；的計(jì)算方法；例例6：,)(222222 vdczbyaxI2222:Rzyx )111(1542225cbaR提示：提示： vdczvdbyvdaxI222222再對再對 vdcz22用用“ 先二后一先二后一 ”

15、 的方法計(jì)算，的方法計(jì)算，并用對稱性給出另外兩項(xiàng)的結(jié)果。并用對稱性給出另外兩項(xiàng)的結(jié)果。四、四、第一、二類曲線積分，第一、二類曲面積分格林公式、第一、二類曲線積分，第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；）曲線和曲面積分的基本概念和基本計(jì)算方法；（2）基本公式）基本公式格林公式格林公式 DLdxdyyPxQQdyPdx)(高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxP)(主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將平面曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分主要作用：將曲面積分轉(zhuǎn)化為三重積分（

16、3）基本應(yīng)用：）基本應(yīng)用：1. 格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：格林公式和高斯公式的兩類典型應(yīng)用題：2. 平面曲線積分平面曲線積分3. 二元函數(shù)的全微分求積問題二元函數(shù)的全微分求積問題“ 封口法封口法 ” 和和 “ 挖洞法挖洞法 ”。 LQdyPdx與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域 G 內(nèi)內(nèi)yPxQ QdyPdx 為某個(gè)二元函數(shù)為某個(gè)二元函數(shù) u 的全微分的全微分yPxQ 且且 ),(),(00yxyxQdyPdxu（4）基本計(jì)算技巧）基本計(jì)算技巧1. 利用對稱性；利用對稱性；2. 利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；利用曲線或曲面方程化簡被積函數(shù)；3. 利用關(guān)系式利用關(guān)系式),(

17、dxdydzdxdydzdS)cos,cos,(cos 將對不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；將對不同的坐標(biāo)的曲面積分化為同一個(gè)曲面積分；4. 利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡利用積分與路徑無關(guān)，適當(dāng)改變積分路徑，簡化平面曲線積分。化平面曲線積分。五、數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別，冪級數(shù)的收斂半徑，收斂五、數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別，冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間，冪級數(shù)求和函數(shù)，傅里葉級數(shù)的收斂定理。區(qū)間，冪級數(shù)求和函數(shù)，傅里葉級數(shù)的收斂定理。（1）數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別）數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性判別1. 正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)比較判別法，比值判別法，根值判別法，比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件收斂的

18、必要條件幾何級數(shù)、幾何級數(shù)、P 級數(shù)和調(diào)和級數(shù)級數(shù)和調(diào)和級數(shù)2. 交錯(cuò)級數(shù)：交錯(cuò)級數(shù)： 萊布尼茨定理萊布尼茨定理3. 任意項(xiàng)級數(shù)：任意項(xiàng)級數(shù)：絕對收斂和條件收斂。絕對收斂和條件收斂。任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù) 1nnu收斂性判斷的一般步驟：收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗(yàn)）檢驗(yàn)（3）用正項(xiàng)級數(shù)審斂法檢驗(yàn)）用正項(xiàng)級數(shù)審斂法檢驗(yàn) 1|nnu是否收斂？是否收斂？則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，則原級數(shù)絕對收斂，從而收斂，（4）若）若 1|nnu發(fā)散，發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的但是用比值或根值法判斷的則原級數(shù)也發(fā)散。則原級數(shù)也發(fā)散。0lim nnu是否成立？是否成立？ 若否，則原級數(shù)發(fā)散若否，則原級數(shù)發(fā)散若

19、是或若是或0lim nnu難求，則進(jìn)行下一步；難求，則進(jìn)行下一步；若是，若是，否則，進(jìn)行下一步；否則，進(jìn)行下一步；（2）若原級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)或交錯(cuò)級數(shù)，則可用正項(xiàng)級數(shù)）若原級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)或交錯(cuò)級數(shù)，則可用正項(xiàng)級數(shù) 或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。）用性質(zhì)或其它方法。（2）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域）冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限）利用極限 |lim1nnnaa（2）判定冪級數(shù)在端點(diǎn)）判定冪級數(shù)在端點(diǎn)Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 處的收斂性，處的收斂性， 0nnnxa收

20、斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。),(RR nnna |lim或或 1R說明說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)缺項(xiàng)”。 00)(nnnxxa（2）對冪級數(shù)）對冪級數(shù)要先做變換要先做變換0 xxt （3）求冪級數(shù)的和函數(shù)）求冪級數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù)（1）利用極限）利用極限 |lim1nnnaa（2）判定冪級數(shù)在端點(diǎn)）判定冪級數(shù)在端點(diǎn)Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 處的收斂性，處的收斂性， 0nnnxa收斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。）收

21、斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。),(RR nnna |lim或或 1R說明說明（1）冪級數(shù)中不能出現(xiàn)冪級數(shù)中不能出現(xiàn)“缺項(xiàng)缺項(xiàng)”。 00)(nnnxxa（2）對冪級數(shù)）對冪級數(shù)要先做變換要先做變換0 xxt 性質(zhì)性質(zhì)3：冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa xxdxs0)( xnnnxdxa00 xnnnxdxa00101 nnnxnaIx 逐項(xiàng)積分后所得級數(shù)逐項(xiàng)積分后所得級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂域在收斂域 I 上可積，上可積，并有逐項(xiàng)積分公式并有逐項(xiàng)積分公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。其收斂半徑與原級數(shù)相同。 101 nnnxna（3）求冪級數(shù)的和函數(shù)）求冪級數(shù)的和函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)4：冪級數(shù)冪

22、級數(shù) 0nnnxa)(xs 0 nnnxa)(0 nnnxa,11 nnnxan),(RRx 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù) s (x) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級數(shù)相同。其收斂半徑與原級數(shù)相同。 11 nnnxna),(RR 說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。說明：求和函數(shù)一定要先求收斂域。（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2l 的周期函數(shù)，且滿足的周期函數(shù)，且滿足（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，）在一個(gè)周期內(nèi)至

23、多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則則 f (x) 的傅里葉級數(shù)必收斂，并且的傅里葉級數(shù)必收斂，并且（1）當(dāng)）當(dāng) x 是是 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于 f (x)。（2）當(dāng)）當(dāng) x 是是 f (x) 的間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于的間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于)()(21 xfxf（3）當(dāng)）當(dāng)lx 時(shí)，級數(shù)收斂于時(shí)，級數(shù)收斂于)()(21 lflf（4）傅里葉級數(shù)的收斂定理）傅里葉級數(shù)的收斂定理說明：上述結(jié)論同樣適用說明：上述結(jié)論同樣適用 l = 的的 情形。情形。例例1：已知：已知 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為 3 ，則，則的收斂區(qū)間為（的收斂區(qū)間為（ ） 例例2：級數(shù)：級數(shù) 11)1(npnn當(dāng)（當(dāng)（ ）（A）p 1 時(shí)條件收斂，時(shí)條件收斂， 01)1