高等數學(下)期末總復習

1、期末總復習期末總復習（一）平面與平面的位置關系（平行、夾角）直線與（一）平面與平面的位置關系（平行、夾角）直線與平面的位置關系。平面的位置關系。（1）設）設, 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA則則 但但不不重重和和21/21212121DDCCBBAA 重重和和21,21212121DDCCBBAA 210212121 CCBBAA,|cos222222212121212121CBACBACCBBAA ,20 （一）平面與平面的位置關系（平行、夾角）直線與（一）平面與平面的位置關系（平行、夾角）直線與平面的位置關系。平面的位置關系。（2）設）設, 0: DCzB

2、yAxpzznyymxxL000: 則則 /L0 CpBnAm 上上在在L LpCnBmA ,|sin222222pnmCBACpBnAm ,20 , 0 CpBnAm ),(000zyx nsns/（一）平面與平面的位置關系（平行、夾角）直線與（一）平面與平面的位置關系（平行、夾角）直線與平面的位置關系。平面的位置關系。（3）典型例題）典型例題, 0125:1 zyx例例1：已知三個平面的一般方程為：已知三個平面的一般方程為, 08523:2 zyx, 09324:3 zyx則必有（則必有（ ）,/)(21 A,)(31 B,)(32 C,/)(32 D解：解：),2, 5, 1 (1 n)

3、,5, 2, 3(2 n),3, 2, 4(3 n0322)5(4131 nn,31nn B例例2：設直線：設直線 L 和平面和平面 的方程分別為的方程分別為則必有（則必有（ ）,/)( LA,)(在在上上在在 LB,)( LC.)(斜斜交交與與 LD解：解：),1, 2, 4( n1012231 kjis,/sn, LC,031020123: zyxzyxL, 0224: zyxkji71428 )24( 7kji 例例3：求過直線：求過直線4 解：設過直線解：設過直線 L 的平面束方程為的平面束方程為 0405:zxzyxL01284: zyx且與平面且與平面夾角為夾角為的平面方程。的平面

4、方程。, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx4cos 222222)1(5)1()8()4(1| )1()8(5)4()1(1| ,43 . 012720 zyx（二）多元函數的定義域、在某點的極限、導數；（二）多元函數的定義域、在某點的極限、導數；多元函數的二階導數、隱函數的求導（二階混合偏導）多元函數的二階導數、隱函數的求導（二階混合偏導）、多元函數的微分、曲面在某點處的切平面、空間曲、多元函數的微分、曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線、線在某點處的切線、Lagrange 乘數法求最值、方向導數乘數法求最值、方向導數（1）多元函數在某點的極限、導數多元函數在某

5、點的極限、導數要點：要點：I：求二元函數在某點的極限：求二元函數在某點的極限ae1 yxxxyayx 2)11 (lim)()11 (limyxyxxyxyayx )()11 (limyxyxyxxyayx （3）曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線曲面在某點處的切平面、空間曲線在某點處的切線要點：要點：I：曲面在某點處的切平面曲面在某點處的切平面（1）設曲面方程為）設曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 第一步：計算第一步：計算,zyxFFF第二步：計算曲面的法向量第二步：計算曲面的法向量第三步：分別寫出切平面和法線的方程第

6、三步：分別寫出切平面和法線的方程0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx （2）設曲面方程為）設曲面方程為),(yxfz ),(),(10000yxfyxfnyx 第一步：取第一步：取),(),(yxfzzyxF 第二步：計算曲面的法向量第二步：計算曲面的法向量第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法第三步：利用點法式和對稱式分別寫出切平面和法線的方程線的方程00000000 )()(,()(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyy

7、yxfxxyx ),(),(要點要點II：空間曲線的切線與法平面：空間曲線的切線與法平面（1）設空間曲線）設空間曲線 的方程的方程)(),(),(tztytx 第一步：確定點第一步：確定點,),(0000tzyxM對對應應的的參參數數第二步：計算第二步：計算)(),(),(000tttT 第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法第三步：利用對稱式和點法式分別寫出切線和法平面的方程平面的方程)()()(000000tzztyytxx 0000000 )()()(zztyytxxt （2）設空間曲線）設空間曲線 的方程的方程,),(),(bxaxzxy )(),(,(001xxT ,),(),(

8、 00zyxGzyxF（3）設空間曲線）設空間曲線 的方程的方程zyxzyxGGGFFFkjiT 拉格朗日乘數法：拉格朗日乘數法： （1）構造拉格朗日函數：）構造拉格朗日函數：),(),(),(yxyxfyxL （2）聯解方程組，求出）聯解方程組，求出問題問題 1 的所有可能的極值點。的所有可能的極值點。問題問題 1：求函數求函數 z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）。下的極值（稱為條件極值問題）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),( yxL0 ),(yx

9、 （3）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題）進一步確定所求點是否為極值點，在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判斷。中往往可根據問題本身的性質來判斷。（4） Lagrange 乘數法求最值。乘數法求最值。例例1：在橢球面在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點和最遠點。的最近點和最遠點。解：設解：設 ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點為橢球面上任意一點則該點到平面的距離為則該點到平面的距離為222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大最小值。的最大最

10、小值。 由于由于 d 中含有絕對值，為便于計算，考慮將中含有絕對值，為便于計算，考慮將問題問題 1 轉化為下面的等價問題轉化為下面的等價問題問題問題2：在條件在條件下，求函數下，求函數262)(),( zyxzyxf的最大最小值。的最大最小值。222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件在約束條件下，求距離下，求距離 d 的最大最小值。的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作拉格朗日函數）作拉格朗日函數)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）聯解方程組）聯解方程組

11、（1）作拉格朗日函數）作拉格朗日函數)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）聯解方程組）聯解方程組02622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得兩個駐點：求得兩個駐點：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M對應的距離為對應的距離為|62121212|611 d632 6342 d例例1：在橢球面在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點和最遠點。的最近點和最遠點。解：解： 問題問題1：在約束條件在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大

12、最小值。的最大最小值。求得兩個駐點：求得兩個駐點：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d對應的距離為對應的距離為,6342 d（3）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距）判斷：由于駐點只有兩個，且由題意知最近距離和最遠距離均存在。所以離和最遠距離均存在。所以最近距離為最近距離為,6321 d最遠距離為最遠距離為,6342 d三、二重、三重積分的計算（極坐標、直角坐標、柱面坐標）三、二重、三重積分的計算（極坐標、直角坐標、柱面坐標）重點內容重點內容（1）二重積分中二次積分的交換次序；）二重積分中二次積分的交換次序；例例 1 1 改改變變積積分分 xxxdyyxf

13、dxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 102112),(yydxyxfdy答案答案:例例2：試證：試證： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(（2）利用極坐標計算二重積分；）利用極坐標計算二重積分； Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(再根據再根據 D 的極坐標表示，將極坐標下的二重積分的極坐標表示，將極坐標下的二重積分化為累次積分?；癁槔鄞畏e分。222(1)DIRxy dxdy例xRyxD 22: )34(93R（3）三重積分在直角坐標系中）三重積分在直角坐標系中“先二后一先二后一”的計算方法；的計算方法；在下面兩種

14、情形下，比較適合用此方法。在下面兩種情形下，比較適合用此方法。（1）被積函數是一個一元函數，或計算二重積分）被積函數是一個一元函數，或計算二重積分 zDdxdyzyxf),(比較容易。比較容易。（2）截面）截面zD的形狀比較簡單的形狀比較簡單z dvzyxf),( zDccdxdyzyxfzd),(21（4）三重積分在直角坐標系中）三重積分在直角坐標系中“先二后一先二后一”的計算方法；的計算方法；例例6：,)(222222 vdczbyaxI2222:Rzyx )111(1542225cbaR提示：提示： vdczvdbyvdaxI222222再對再對 vdcz22用用“ 先二后一先二后一 ”

15、 的方法計算，的方法計算，并用對稱性給出另外兩項的結果。并用對稱性給出另外兩項的結果。四、四、第一、二類曲線積分，第一、二類曲面積分格林公式、第一、二類曲線積分，第一、二類曲面積分格林公式、高斯公式。高斯公式。（1）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法；）曲線和曲面積分的基本概念和基本計算方法；（2）基本公式）基本公式格林公式格林公式 DLdxdyyPxQQdyPdx)(高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxP)(主要作用：將平面曲線積分轉化為二重積分主要作用：將平面曲線積分轉化為二重積分主要作用：將曲面積分轉化為三重積分主要作用：將曲面積分轉化為三重積分（

16、3）基本應用：）基本應用：1. 格林公式和高斯公式的兩類典型應用題：格林公式和高斯公式的兩類典型應用題：2. 平面曲線積分平面曲線積分3. 二元函數的全微分求積問題二元函數的全微分求積問題“ 封口法封口法 ” 和和 “ 挖洞法挖洞法 ”。 LQdyPdx與路徑無關與路徑無關在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域 G 內內yPxQ QdyPdx 為某個二元函數為某個二元函數 u 的全微分的全微分yPxQ 且且 ),(),(00yxyxQdyPdxu（4）基本計算技巧）基本計算技巧1. 利用對稱性；利用對稱性；2. 利用曲線或曲面方程化簡被積函數；利用曲線或曲面方程化簡被積函數；3. 利用關系式利用關系式),(

17、dxdydzdxdydzdS)cos,cos,(cos 將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分；將對不同的坐標的曲面積分化為同一個曲面積分；4. 利用積分與路徑無關，適當改變積分路徑，簡利用積分與路徑無關，適當改變積分路徑，簡化平面曲線積分?；矫媲€積分。五、數項級數收斂性判別，冪級數的收斂半徑，收斂五、數項級數收斂性判別，冪級數的收斂半徑，收斂區(qū)間，冪級數求和函數，傅里葉級數的收斂定理。區(qū)間，冪級數求和函數，傅里葉級數的收斂定理。（1）數項級數收斂性判別）數項級數收斂性判別1. 正項級數正項級數比較判別法，比值判別法，根值判別法，比較判別法，比值判別法，根值判別法，收斂的必要條件收斂的

18、必要條件幾何級數、幾何級數、P 級數和調和級數級數和調和級數2. 交錯級數：交錯級數： 萊布尼茨定理萊布尼茨定理3. 任意項級數：任意項級數：絕對收斂和條件收斂。絕對收斂和條件收斂。任意項級數任意項級數 1nnu收斂性判斷的一般步驟：收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗）檢驗（3）用正項級數審斂法檢驗）用正項級數審斂法檢驗 1|nnu是否收斂？是否收斂？則原級數絕對收斂，從而收斂，則原級數絕對收斂，從而收斂，（4）若）若 1|nnu發(fā)散，發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的但是用比值或根值法判斷的則原級數也發(fā)散。則原級數也發(fā)散。0lim nnu是否成立？是否成立？ 若否，則原級數發(fā)散若否，則原級數發(fā)散若

19、是或若是或0lim nnu難求，則進行下一步；難求，則進行下一步；若是，若是，否則，進行下一步；否則，進行下一步；（2）若原級數為正項級數或交錯級數，則可用正項級數）若原級數為正項級數或交錯級數，則可用正項級數 或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步或萊布尼茨判別法檢驗其收斂性，否則進行下一步（5）用性質或其它方法。）用性質或其它方法。（2）冪級數的收斂半徑和收斂域）冪級數的收斂半徑和收斂域求冪級數求冪級數（1）利用極限）利用極限 |lim1nnnaa（2）判定冪級數在端點）判定冪級數在端點Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 處的收斂性，處的收斂性， 0nnnxa收

20、斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。),(RR nnna |lim或或 1R說明說明（1）冪級數中不能出現冪級數中不能出現“缺項缺項”。 00)(nnnxxa（2）對冪級數）對冪級數要先做變換要先做變換0 xxt （3）求冪級數的和函數）求冪級數的和函數求冪級數求冪級數（1）利用極限）利用極限 |lim1nnnaa（2）判定冪級數在端點）判定冪級數在端點Rx 確定收斂半徑確定收斂半徑 R 及收斂區(qū)間及收斂區(qū)間 處的收斂性，處的收斂性， 0nnnxa收斂域的一般步驟：收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。）收

21、斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點。),(RR nnna |lim或或 1R說明說明（1）冪級數中不能出現冪級數中不能出現“缺項缺項”。 00)(nnnxxa（2）對冪級數）對冪級數要先做變換要先做變換0 xxt 性質性質3：冪級數冪級數 0nnnxa xxdxs0)( xnnnxdxa00 xnnnxdxa00101 nnnxnaIx 逐項積分后所得級數逐項積分后所得級數的和函數的和函數 s (x) 在收斂域在收斂域 I 上可積，上可積，并有逐項積分公式并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數相同。其收斂半徑與原級數相同。 101 nnnxna（3）求冪級數的和函數）求冪級數的和函數性質性質4：冪級數冪

22、級數 0nnnxa)(xs 0 nnnxa)(0 nnnxa,11 nnnxan),(RRx 逐項求導后所得級數逐項求導后所得級數的和函數的和函數 s (x) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內可導，內可導， 并有逐項求導公式并有逐項求導公式其收斂半徑與原級數相同。其收斂半徑與原級數相同。 11 nnnxna),(RR 說明：求和函數一定要先求收斂域。說明：求和函數一定要先求收斂域。（1）在一個周期內連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，）在一個周期內連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，設設 f (x) 是周期為是周期為 2l 的周期函數，且滿足的周期函數，且滿足（2）在一個周期內至多只有有限個極值點，）在一個周期內至

23、多只有有限個極值點，則則 f (x) 的傅里葉級數必收斂，并且的傅里葉級數必收斂，并且（1）當）當 x 是是 f (x) 的連續(xù)點時，級數收斂于的連續(xù)點時，級數收斂于 f (x)。（2）當）當 x 是是 f (x) 的間斷點時，級數收斂于的間斷點時，級數收斂于)()(21 xfxf（3）當）當lx 時，級數收斂于時，級數收斂于)()(21 lflf（4）傅里葉級數的收斂定理）傅里葉級數的收斂定理說明：上述結論同樣適用說明：上述結論同樣適用 l = 的的 情形。情形。例例1：已知：已知 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為 3 ，則，則的收斂區(qū)間為（的收斂區(qū)間為（ ） 例例2：級數：級數 11)1(npnn當（當（ ）（A）p 1 時條件收斂，時條件收斂， 01)1