高數(shù)1期中模擬答案151101

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 _.302050(21) (32)lim(21)xxxx 2. 已知已知a _.2 1. 則則3. 已知已知在在0 x 處連續(xù)處連續(xù), 則則k _.2 limlim1201,xxaxe203( )2210( )0 xexf xxkx x 3/. 函數(shù)函數(shù)3223121yxxx在區(qū)間在區(qū)間 3,4 上的最大值為上的最大值為_，最小值為最小值為_.(4)129f (1)6f 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 321)(2 xxxxf函數(shù)函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是的連續(xù)區(qū)間是 _間斷點是間斷點是4. _), 3()3 , 1 3 x5. 曲線曲線342lnyyx_

2、在點在點(1,1) 處的切線方程為處的切線方程為4510 xy法線斜率為法線斜率為_45 6. 已知已知211arctanln2,xyex 則則_dy 2121(2)1xxedxx ),(sin2xfy 22(sin)sincosfxxxdx 7. 已知已知則則_ dy )(ufy 可微，且可微，且上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9. 設(shè)物體的運動規(guī)律為設(shè)物體的運動規(guī)律為則在第則在第4秒末秒末,物體物體米米,加速度為加速度為3ts _.24(ln3)3 的速度為的速度為43ln3 _ ，),(2xfy 8. 已知已知則則_ y )(ufy 二階可導(dǎo)，且二階可導(dǎo)，且)(4)(2222xf

3、xxf 10. 函數(shù)函數(shù)3( )2f xxx在閉區(qū)間上在閉區(qū)間上0,1滿足拉格朗日滿足拉格朗日定理的條件，其結(jié)論中的定理的條件，其結(jié)論中的 _.33函數(shù)函數(shù)11. 在區(qū)間在區(qū)間上滿足上滿足Roll中值定理的中值定理的 _.2xxfsinln)( 65,6 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 _,43在點在點(1,2)處的曲率為處的曲率為14. 曲線曲線2624yxx _.34曲率半徑為曲率半徑為( )(1)(2)(3)(4)(5),f xxxxxx 則方程則方程 正好有正好有 個實根個實根.函數(shù)函數(shù)13. 4曲線曲線2211xxeye 15. 0)( xf漸近線為漸近線為:1,y 0 x

4、_ 水平漸近線水平漸近線鉛直漸近線鉛直漸近線;111lim22 xxxee 2211lim0 xxxee上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17. 設(shè)設(shè)（ ）.1121,0( )211,0 xxxf xx 在在0 x 為為f(x)的的A. 連續(xù)點連續(xù)點;CB. 可去間斷點可去間斷點;C. 跳躍間斷點跳躍間斷點;D. 無窮間斷點無窮間斷點.16. 下列極限中存在的是下列極限中存在的是1lim2 ;xx 11lim;1xx limarctan ;xx 01limsin;xxlim arctanxx 10lim2 ;xxA. B. C. D. E. F. （ ）.D、F上頁上頁 下頁下頁 返回返

5、回 結(jié)束結(jié)束 sinlimxxAx1 1sin( lim1xxx sin !lim!nnBn 1 1limsin1xCxx 01limsin1xDxx 1) 18. 下列極限計算正確的是下列極限計算正確的是 （ ）.C在區(qū)間在區(qū)間 1, 1 上滿足羅爾定理條件的函數(shù)是上滿足羅爾定理條件的函數(shù)是 19. 32xxf xxxfsin1 xexxf2 41xxf xxf xxftan A. B. C. D. E. F. )1ln()(2xxf G. （ ）C、E上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20.設(shè)設(shè)（ ）.22.設(shè)設(shè) fxxa 的導(dǎo)數(shù)在的導(dǎo)數(shù)在( )lim1,xafxxa 則則（ ）.A

6、. 零點零點;DBB. 駐點駐點;C. 極值點極值點;D. 以上都不是以上都不是.連續(xù)連續(xù),又又A. x=a 為極小值點為極小值點;B. x=a 為極大值點為極大值點;C. (a , f(a)是曲線的拐點是曲線的拐點;D. x=a 不是極值點不是極值點, (a , f(a)也不是曲線的拐點也不是曲線的拐點. fx可導(dǎo)可導(dǎo),0lim( )1xfx 且且，則，則是函數(shù)是函數(shù)的的 0 x fx21.設(shè)設(shè) fx二階可導(dǎo)二階可導(dǎo),0)0( f1)(lim0 xfx)0(f且且,則則（ ）.AA. 是是極小值極小值;D. 不一定是不一定是極值極值C. 不是不是極值極值;B. 是是極大值極大值;上頁上頁 下

7、頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1.20sinlimxxxx x 16 求極限求極限2201sinlim1(1)xxxxex e 20sinlim(1)xxxxx e 解解:原式原式=201coslim3xxx 22012lim3xxx 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2.求極限求極限解解: 原式原式=xxxx232lim 31053351lim xxxxx310lim xxxe.10e 310lim53351lim xxxxxx另解另解: 原式原式=xxxxx22)31()21(lim 6342)31()21(lim xxxxx64 ee.10e 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束

8、3.設(shè)設(shè) 存在且存在且解解:)(lim2143)(1222xfxxxxxfx )(lim1xfx求求 .)(lim1xfx令令,)(lim1axfx 等式兩邊同時取極限得等式兩邊同時取極限得aa225 axxxxxf2222143)( 則則 axxxxxfxx222112143lim)(lim25)(lim1 xfx即即 25 a上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4.1xyxexyee 設(shè)設(shè)求求0.xy 解解:0 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得解得解得xxyxyeyeex y =1 , x = 0 時時0yx 1 01xxyxxyyeyeex y xyy 01)(xyy 由方

9、程由方程 所確定所確定 ()xyexy yxy xe 即即0 (1)xyey yxy xe 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5.設(shè)有參數(shù)方程設(shè)有參數(shù)方程222,tdyd ydxdx 求求21,cosxtyt 解解:dydx sin2tt sintdt 2tdt2(cos )(1)dtdt (cos ) t dt 2(1)tdt 2tdydx 2sin2ttt 1 22d ydx ()dydxddx sin()2tdtt 2(1)tdt 2sin2(1)tdtdt 21 cossin2tttdtt 3sincos4tttt 2tdt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6.解解:)(x

10、f1 x, 312)(lim1 xxfx).1(f 設(shè)設(shè)在在處連續(xù)，且處連續(xù)，且 求求(1)f1lim ( )2xf x 1( )2lim(1)(1)xf xxx 0 301( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )2lim1xf xx 3 11( )2lim(1) lim(1)xxf xxx 1lim( )2xf x)(xf1 x在在處連續(xù)，處連續(xù)，1lim( )2xf x 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7.已知已知2,0( )(1),0axexf xbxx 在點在點x=0可導(dǎo)可導(dǎo),求常數(shù)求常數(shù)a , b.解解:因為因為f (x)在點在點x= 0可導(dǎo)可導(dǎo), 所以所以f (x

11、)在點在點x=0 連續(xù)連續(xù),(00)f0limx 2(1)bx b (00)f0limx axe1 (0)fb 1b 及及).(xf (0)f 0( )(0)lim0 xf xfx 0limx 2(1)bx b x0lim ()xbx 0 (0)f 0( )(0)lim0 xf xfx 0limx axeb x0limx axe1 xa 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2,0( )(1),0axexf xbxx (0)0f (0)fa 0a0 ,1 .ab 即即:21,0( )1,0 xf xxx 從而從而0 ,0( )2,0 xfxx x 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8某

12、船由一繩索牽引靠岸，絞盤位于岸邊比船頭某船由一繩索牽引靠岸，絞盤位于岸邊比船頭高高4 4米處，繩索在絞盤上卷繞的速率是米處，繩索在絞盤上卷繞的速率是3 3米米/ /秒問船距秒問船距岸邊岸邊3 3米處的速率是多少？米處的速率是多少？船頭船頭解解 設(shè)時刻設(shè)時刻 t 船距岸邊的距離船距岸邊的距離為為 x m,船距絞盤的距離為船距絞盤的距離為 y , 則則2216xy兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于t t求導(dǎo)求導(dǎo)： 22dxdyxydtdt dxy dydtx dtdxdt33xdydt y dyx dt 33xdydt 5353 x = 3m 時時,5my 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解 設(shè)時刻設(shè)時刻

13、 t 同心波紋的半徑為同心波紋的半徑為R ，擾動水面的面積為，擾動水面的面積為S 則則兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于t t求導(dǎo)求導(dǎo)： 12mR 落在平靜水面上的石頭產(chǎn)生同心波紋，若最外一落在平靜水面上的石頭產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑的增大率總是圈波半徑的增大率總是6米米/秒，問在秒，問在2秒末擾動水面秒末擾動水面面積的增大率為多少？面積的增大率為多少？練習(xí)練習(xí):2RS dtdRRdtdS 2 smdtdR/6 2st 時時,222 ttdtdRRdtdS )/(14461222sm 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸和拐點的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸和拐點.9. 求曲線求曲線lny

14、xx 解解:( )y x 時時,( )0;fx 2xe x( )fx ( )f x2e 02(0 ,)e 2(,)e 故故f (x)在區(qū)間在區(qū)間2(0,e f (x) 的定義域為的定義域為(0,) 11ln2xxxxln22xx 列表討論列表討論:12e 上上單調(diào)減少單調(diào)減少;在區(qū)間在區(qū)間2,)e 上上單調(diào)增加單調(diào)增加.1( )2f xe 極極小小上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 令令( )0fx 得得1,x 列表討論列表討論:曲線在曲線在(0,1上是凸的上是凸的,上是凹的上是凹的,點點是拐點是拐點.在在(1,0)x( )fx ( )f x(0,1)01(1,) 0( )fx ln4xx

15、x 1 ， ）11221(ln2)2xxx 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10. 解解:yxaxbxc 3233yx 設(shè)設(shè)點點(1,0)與直線與直線相切，求常數(shù)相切，求常數(shù)a,b,c的值的值.在在 處取得極值，處取得極值，2 x且在且在232yxaxb 由題意，有由題意，有y (1)0y ( 2)0y (1)3ababcab 124010323解得解得,abc 186 即即上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11. 在曲線在曲線21(0)yxx上求一點上求一點,M使得曲線在點使得曲線在點M處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形的面積最小處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形的面積最小 解解: : 如

16、圖如圖, ,Yxx Xx 2(1)2 (),TxyoMABC則切線則切線MT為為令令設(shè)所求切點為設(shè)所求切點為M ( x, ),0,Y 得得x軸上截距軸上截距21,2xXx 0,X 21,Yx 所圍三角形面積為：所圍三角形面積為：( )S x (0).x 22(1)4xx 得得y軸上截距軸上截距x 21上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( )S x 解得解得1,3x 1.3x 所所以以為為最最大大值值點點令令222(1)(31)4xxx0, 舍舍去去().13x 曲線上點曲線上點即即12(, )33為所求點為所求點.由于三角形面積的最小值存在，由于三角形面積的最小值存在，( )S x (0

17、).x 22(1)4xx 為為且且x 13), 0( 內(nèi)內(nèi)唯一駐點，唯一駐點，上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 在閉區(qū)間在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，上連續(xù)，12. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x(0)(1)0,ff 求證：至少存在一點求證：至少存在一點 (0, 1), ( )1.f 使得使得在開區(qū)間（在開區(qū)間（0,1）內(nèi)）內(nèi)可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且1( )1.2f F xf xx ( )( ),Ff (1)(1)110Ff 1111( )0,22221, 1 ,2 ( )0F (0)0,F (0,)(0, 1), ( )0F ( )1f 令令, 由零點定理由零點定理, 存在存在使使又又使使即即證明證明F(x

18、)在閉區(qū)間在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，上連續(xù)，故至少存在一點故至少存在一點Rolle定理條件定理條件, F(x)在區(qū)間在區(qū)間0, 上滿足上滿足 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (0)(1),ff 證明：證明：( )F x 13.函數(shù)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，且上連續(xù)，且證明在閉區(qū)間證明在閉區(qū)間0,1內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點設(shè)設(shè)1()( ),2f xf x由由f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，上連續(xù)，101,2x11,22x1():2f x ( ):f x01,x在在上上連連續(xù)續(xù)1()0,.2F x所以，所以，(0)F 1( )(0),2ff 1( )2F 1(1)( )2ff 1(0)( ),2ff1()( ).2f f ，使得使得上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 討論討論: :1(0)( )0,2FF10, 1( )(0),2ff (1)若若則則則存在則存在21,2 使得使得12()()0,F