牛頓二項(xiàng)式定理

1、牛頓二項(xiàng)式定理目錄二項(xiàng)式定理發(fā)現(xiàn)歷程應(yīng)用1. 排列與組合2. 二項(xiàng)式定理3. 系數(shù)性質(zhì)4. 賦值法二項(xiàng)式的遞推加法定理數(shù)形趣遇 算式到算圖二項(xiàng)式定理發(fā)現(xiàn)歷程應(yīng)用1. 排列與組合2. 二項(xiàng)式定理3. 系數(shù)性質(zhì)4. 賦值法二項(xiàng)式的遞推加法定理數(shù)形趣遇 算式到算圖展開編輯本段二項(xiàng)式定理  binomial theorem二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。 此定理指出： 其中，二項(xiàng)式系數(shù)指. 等號右邊的多項(xiàng)式叫做二項(xiàng)展開式。 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 其i項(xiàng)系數(shù)可表示為:見圖右，即n取i的組合數(shù)目。   因此系數(shù)

2、亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle) 二項(xiàng)式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n為正整數(shù)時的展開式。(a+b)n的系數(shù)表為：   1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 （左右兩端為1，其他數(shù)字等于正上方的兩個數(shù)字之和） 編輯本段發(fā)現(xiàn)歷程在我國被稱為賈憲三角或楊輝三角，一般認(rèn)為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng)。它記載于楊輝的詳解九章算法(1261)之中。在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作算術(shù)之鑰(142

3、7)中也給出了一個二項(xiàng)式定理系數(shù)表，他所用的計(jì)算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算術(shù)書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為帕斯卡三角形，因?yàn)榕了箍ㄔ?654年也發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)果。無論如何，二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)，在我國比在歐洲至少要早300年。 1665年，牛頓把二項(xiàng)式定理推廣到n為分?jǐn)?shù)與負(fù)數(shù)的情形，給出了的展開式。 編輯本段應(yīng)用二項(xiàng)式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應(yīng)用。 排列與組合1、Cn0+Cn1+Cn2CnkCnn=2n 2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn=0 證明：由(a+b)n=C(n,0)an+C(n,1

4、)a(n-1)*b+C(n,2)a(n-2)*b2+.+C(n,n)bn 當(dāng)a=b=1時，代入二項(xiàng)式定理可證明1 但a=-1，b=1時代入二項(xiàng)式定理可證明2 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理:叫二項(xiàng)式系數(shù)（0rn）.通項(xiàng)用Tr+1表示，為展開式的第r+1項(xiàng)，且, 注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別. 系數(shù)性質(zhì)對稱性： 增減性和最大值：先增后減 n為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為：Tn/21 n為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為：T(n+1)/2，T(n+1)/21 賦值法掌握“賦值法”這種利用恒等式解決問題的思想. 證明：n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個字母a或b的積。所以（a+b）

5、n的展開式中每一項(xiàng)都是)ak*b(n-k)的形式。對于每一個ak*b(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的系數(shù)為n個中取k個的組合數(shù)（就是那個C右上角一個數(shù)，右下角一個數(shù)）。（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的系數(shù)同理）。由此得到二項(xiàng)式定理。 二項(xiàng)式系數(shù)之和: 2的n次方 而且展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2的(n-1)次方 二項(xiàng)式定理的推廣： 二項(xiàng)式定理推廣到指數(shù)為非自然數(shù)的情況： 形式為 注意：|x|<1 (a+b)n=C(n,0)an+C(n,1)a(n-1)*b+C(n,2)a(n-2)*b2+.+C(n,n)bn 編輯本段二項(xiàng)式的遞推推廣公式

6、二項(xiàng)式展開后各項(xiàng)的系數(shù)依次為：圖推廣公式 其中，第1個數(shù)=1，從第2個數(shù)開始，后面的每一個數(shù)都可以用前面的那個數(shù)表示為 這就是二項(xiàng)式展開“系數(shù)遞推”的依據(jù). 二項(xiàng)式系數(shù)遞推實(shí)際上是組合數(shù)由到的遞推. 編輯本段加法定理來自二項(xiàng)式性質(zhì) 將楊輝三角形中的每一個數(shù)，都用組合符號表示出來， 則得圖右的三角形. 自然，“肩挑兩數(shù)”的性質(zhì)可寫成組合的 加法式. 如 這里，（1）相加兩數(shù)和是“下標(biāo)相等，上標(biāo)差1” 的兩數(shù)；（2）其和是“下標(biāo)增1，上標(biāo)選大”的組合數(shù). 一般地，楊輝三角形中第n+1行任意一數(shù)，“肩挑 兩數(shù)”的結(jié)果為組合的加法定理： 有了組合的加法定理，二項(xiàng)式(a+b)展開式的證明就變得非常簡便了

7、. 編輯本段數(shù)形趣遇 算式到算圖二項(xiàng)式定理與楊輝三角形是一對天然的數(shù)形趣遇，它把數(shù)形結(jié)合帶進(jìn)了計(jì)算數(shù)學(xué). 求二項(xiàng)式展開式系數(shù)的問題，實(shí)際上是一種組合數(shù)的計(jì)算問題. 用系數(shù)通項(xiàng)公式來計(jì)算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計(jì)算，稱作“圖算”. 【圖算】 常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生在展開后的第5、6兩項(xiàng). 用“錯位加法”很容易“加出”楊輝三角形第8行的第5個數(shù). 簡圖如下： 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15 20 15 6 1 35 35 21 70 56 圖上得到=70，=56. 故求得展開式中常數(shù)項(xiàng)為70 2×56 = 42 【點(diǎn)評】 “式算”與“圖算”趣遇，各揚(yáng)所長，各補(bǔ)所短.<

8、;, /o:p> 楊輝三角形本來就是二項(xiàng)式展開式的算圖. 對楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行： 1，6，15，20，15，6，1 那么他可以心算不動筆，對本題做到一望而答. 楊輝三角形在3年內(nèi)考了5個（相關(guān)的）題目，這正是高考改革強(qiáng)調(diào)“多想少算”、“邏輯思維與直覺思維并重”的結(jié)果. 這5個考題都與二項(xiàng)式展開式的系數(shù)相關(guān)，說明數(shù)形結(jié)合思想正在高考命題中進(jìn)行深層次地滲透. 利用二項(xiàng)式推出牛頓切線法開方開立方公式： 設(shè)A = X3,求X.稱為開立方。 開立方有一個標(biāo)準(zhǔn)的公式： X(n+1)=Xn+(A/X2-Xn)1/3 (n，n+1是下角標(biāo)） 例如，A=5，,即求 5介于1的3

9、次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們?nèi)0 = 1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.92;-1.9)1/3=1.7。 即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數(shù)值,，即1.7。 第二步：X2=1.7+（5/1.72;-1.7)1/3=1.71。 即5/1.7×1.7=1.7

10、3010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數(shù)，比前面多取一位數(shù)。 第三步：X3=1.71+（5/1.712;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.7092;-1.709)1/3=1.7099 這種方法可以自動調(diào)節(jié)，第一步與第三步取值偏大，但是計(jì)算出來以后輸出值會自動轉(zhuǎn)小；第二步，第四步輸入值 偏小，輸出值自動轉(zhuǎn)大。即5=1.70993; 當(dāng)然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。1.8，1.9中的任何一個,都是X1 = 1.7 > 。當(dāng)然，我們在實(shí)際中初始值最好采用中間值，即1.5。

11、 1.5+（5/1.5&sup2;-1.5）1/3=1.7。 如果用這個公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方;之間。我們?nèi)〕跏贾?.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數(shù)2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數(shù)。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位數(shù)。這個方法又叫反饋開