一元二次方程根與系數(shù)的關系難題精品

1、韋達定理及其綜合應用韋達定理及其綜合應用 韋達定理的應用：韋達定理的應用：1.已知方程的一個根，求另一個根和未知系數(shù)3.已知方程兩根滿足某種關系，確定方程中 字母系數(shù)的值4.已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)x x1 1，x x2 2 ，求作一個新的一元二次 方程x x2 2 (x(x1 1+x+x2 2) x+ x) x+ x1 1x x2 2 =0=0axax2 2+bx+c+bx+c = = a(x- xa(x- x1 1)(x- x)(x- x2 2) ) 題題1 1：（1）若關于）若關于x的一元二次方程的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的的一根是另一根的4倍，則倍，則k=

2、_（2 2）已知：）已知：a,ba,b是一元二次方程是一元二次方程x x2 2+2000 x+1=0+2000 x+1=0的兩個根，求：（的兩個根，求：（1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) )= _ 解法一：（解法一：（1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = （1+2000a+a1+2000a+a2 2 +6a)+6a)（1+2000b+b1+2000b+b2 2 +5b)+5b) = 6a5b=30ab = 6a5b=30ab解法二：由題意知解法二：由題意知 a a2

3、2 +2000a+1=0+2000a+1=0； b b2 2 +2000b+1=0+2000b+1=0 a a2 2 +1=- 2000a; b+1=- 2000a; b2 2 +1=- 2000b+1=- 2000b （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = =（2006a - 2000a)2006a - 2000a)（2005b - 2000b) 2005b - 2000b) = =6a5b=30ab6a5b=30ab ab=1ab=1， a+b=-200 a+b=-200 （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（

4、1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = = （ abab +2006a+a+2006a+a2 2) )（ abab +2005b+b+2005b+b2 2) ) =a(b =a(b +2006+a) b(+2006+a) b( a a +2005+b)+2005+b) =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab =a(2006-2000) b(2005-2000) =30ab解法三解法三：由題意知由題意知 a a2 2 +2000a+1=0+2000a+1=0； b b2 2 +2000b+1=0+2000b+1=0 a a2 2 +1=- 2000a; b

5、+1=- 2000a; b2 2 +1=- 2000b+1=- 2000b （1+2006a+a1+2006a+a2 2) )（1+2005b+b1+2005b+b2 2) ) = =（2006a - 2000a)2006a - 2000a)（2005b - 2000b) 2005b - 2000b) = =6a5b=30ab6a5b=30ab題題2 2：已知已知:等腰三角形的兩條邊等腰三角形的兩條邊a,b是方程是方程x2-（k+2）x+2 k =0的兩個實數(shù)根的兩個實數(shù)根,另另一條邊一條邊c=1，求求:k的值。的值。題題3 3：已知關于已知關于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+

6、3x+1-m=0+3x+1-m=0（1 1）請為）請為m m選取一個你喜愛的數(shù)值，使方程選取一個你喜愛的數(shù)值，使方程 有兩個不相等的實數(shù)根。有兩個不相等的實數(shù)根。（2）設）設x1 1,x2 2是（是（1）中方程的兩個根，不解）中方程的兩個根，不解方程方程 求：求：（x1 1-2）（）（x2 2 2） （x1 1- x2 2) 2 2（3）請用（）請用（1）中所）中所選取的選取的m m值，值，因式分解：因式分解：x2 2+3x+1-m（4）若已知）若已知x1 12 2+ x2 22 2=10，求此時，求此時m的值。的值。（5）問：是否存在符合條件的）問：是否存在符合條件的m，使得，使得x1 12

7、 2+ x2 22 2=4？若存在，求出若存在，求出m，若不存在，請說明理由。若不存在，請說明理由。題題4 4：已知已知是方程是方程x2x70的兩個實數(shù)根。求的兩個實數(shù)根。求34的值。的值。 解法解法1 、是方程是方程x2x70的兩實數(shù)根的兩實數(shù)根270 270 且且2727234723（72）4282（）282（2）32解法2 由求根公式得12 1234 （12 ）23(12 )4(12 ) 943(9448)3222222解法3 由已知得：2 7（）218 令34A 34BAB4（）4（）4184（2）64 AB2()4()2() ()4()0 得：2A64 A32題題5 5：已知已知x1

8、、x2是方程是方程x2x90的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式。的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式。x137x223x266的值。的值。解：x1、x2是方程x2x90的兩根x1x21 且x12x190 x22x290即 x12x19 x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266x129x110 x23x199x110 x2310(x1x2)616題題6 6：已知已知aa210，bb210，ab，求，求abab的值的值 分析分析：顯然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可視為該一元二次方程的兩個根再觀察待求式的結構，容易想到直接應用韋達定理求解解解：由已知可構造一個一元二次方程x2x1=0，其二根為a、b由韋達定理，得ab1，ab1故abab2題題7 7：若實數(shù)若實數(shù)x、y、z滿足滿足x6y，z2xy9 求證求證xy證明證明：將已知二式變形為xy6，xyz29由韋達定理知x、y是方程u26u(z29)0的兩個根 x、y是實數(shù)，364z2360則z20，又z為實數(shù)，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy由已知二式，易知x、y是t23t80的兩個根，由韋達定理 可得。題題9 9：已知方程已知方程x2pxq0的二根之比為的二根之比為1 2，方程，方程的判別式的值為的