第二章(矩陣)

1、輔導(dǎo)答疑暫時(shí)安排輔導(dǎo)答疑暫時(shí)安排：時(shí)間：時(shí)間：地點(diǎn)：地點(diǎn)：如圖所示表示了四城市間的如圖所示表示了四城市間的航班圖航班圖,如果從如果從A到到B有航班有航班,則則用帶箭頭的線連接用帶箭頭的線連接 A 與與B.ABCD發(fā)站發(fā)站到站到站ABCDABCD0110101010010100由由mn個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)排成的排成的m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表1,2,;1,2,ijaim jn111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為稱為mn矩陣矩陣. .簡(jiǎn)稱為矩陣簡(jiǎn)稱為矩陣. .aij 表示矩陣的第表示矩陣的第i行第行第j列列元素元素.111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa記號(hào)記號(hào).m ni

2、jijm nAAaa元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣.矩陣矩陣?yán)缋?34695301是一個(gè)是一個(gè) 實(shí)矩陣實(shí)矩陣,42 2222222613i是一個(gè)是一個(gè) 復(fù)矩陣復(fù)矩陣,33 421是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,13 9532是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣,41 4是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣.11 例如例如 2222222613i是一個(gè)是一個(gè)3 階方陣階方陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(2)(2)只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (或行向量或行向量).).(1)(1)行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n

3、的矩陣的矩陣A，稱為，稱為 n 階階方陣方陣. .也可記也可記作作An. .,21 naaaB只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列向量列向量).). 稱為稱為( (或或）. . n 00000021(3) (3) 形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0記作記作 .,21ndiagA (4) (4) 方陣方陣 100010001nII稱為稱為單位矩陣單位矩陣（或單位陣）（或單位陣）. .全為全為 1方陣方陣000000 稱為稱為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣. .全為全為 1（5）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣， mn零零 矩陣記作矩陣記作mn或或 .

4、.注意注意 .00000000000000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如(6)(6) 上三角矩陣上三角矩陣：主對(duì)角線下方元素全為零的方陣主對(duì)角線下方元素全為零的方陣 下三角矩陣下三角矩陣：主對(duì)角線上方元素全為零的矩陣：主對(duì)角線上方元素全為零的矩陣 200200261311121222000nnmnaaaaaa 24105000011212212000mmmnaaaaaa2.2.兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣A=(aij)mn與與 B=(bij)mn為同型矩陣為同型矩陣, , 并且對(duì)應(yīng)元素相等并且對(duì)應(yīng)元素相等, ,即即 , 2 , 1;, 2 , 1njmibai

5、jij 則稱則稱矩陣矩陣A與與B相等相等, ,記作記作A=B.例如例如1214356843739與為為同型矩陣同型矩陣.同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1.1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時(shí)列數(shù)相等時(shí), ,稱為同型矩陣稱為同型矩陣. .例例1 設(shè)設(shè),131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx(1)(1)矩陣的概念矩陣的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一個(gè)數(shù)表列的一個(gè)數(shù)表行行nm(2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣單位矩陣;

6、對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣;零矩陣零矩陣.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021上（下）三角矩陣上（下）三角矩陣.+ + + + + + + += a11 a12 a1sa21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1nb21 b22 b2n bs1 bs2 bsn= c11c12c1nc21c22c2ncm1cm2cmn0410111,12,1132101,.ABCAB AC設(shè)求解解05,19AB.AC無(wú)意義A的列數(shù)一定要等于B的行數(shù)。1212( ,.,)nnaaABb bba1212( ,.,)nnaaBAb bba1 11 212 1222

7、12nnnnnnabababa ba ba ba ba ba b1 122()nnbab ab a1212,( ,.,).,.nnaaABb bbAB BAa設(shè)求例例 2 2例例3 3111213112321222323132333 aaabb b baaabaaab解解12 122 232 3a ba b a b123bbb22211 122 233 312211 213311 323322 3.a ba ba baabbaabbaab b111213112321222323132333aaabb b baaabaaab11 121 231 3a ba ba b=13 123 233 3a

8、b a b a b例例 3 31122,.,.1122ABAB BA設(shè)求解解0000AB4400BA. ()ABBA不可交換 且且 AB=O A=O 或或 B=O2311,.,.1321CDAC AD求例例 3 31122,.,.1122ABAB BA設(shè)求解解2311,.,.1321CDAC AD求但是但是 ImAmn=Amn=AmnIn， ( k Im )Amn = kAmn = Amn (k In)ACADCDAO(矩陣乘法不適合消去律矩陣乘法不適合消去律) 3030AC3030AD例例4 411112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxb

9、axaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa設(shè)，12,nxxXx12mbbbbAXb則方程組就是1231323514xxxxx12323511014xxx例例 5：寫出線性方程組寫出線性方程組 的矩陣形式的矩陣形式解：例例6 611111221221122221122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa設(shè)，12,nxxXx12myyYyYAX則A為線性變換的系數(shù)矩陣n(AB)C = A(BC)nk (AB) = (kA)B = A(kB), k為任意數(shù)為任意數(shù)nA(B+C) =

10、 AB + AC(B + C)A = BA +CA11,1,2,.kkAAAA A k定義Ank設(shè) 為 階方陣， 為正整數(shù)，,()mkm kmkmkm kA AAAA設(shè)為正整數(shù)，注意注意kkkABA B一般，（）2010110101001A32100101011010AA A43010110101001AA A0110A例例 7 已知矩陣已知矩陣 ，求，求 A2, A3 及及A4解解： 定義（轉(zhuǎn)置）定義（轉(zhuǎn)置）111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa設(shè)，112111222212.mmnnmnaaaaaaAAaaa稱為 的轉(zhuǎn)置T T, ()m nn mAAT T行和列交換行和列交

11、換位置位置例例122,458A1425 ;28AT T18 6 ,B18.6BT T性質(zhì)：性質(zhì)：(1)( AT)T = A(2) (A+B)T = AT+BT (A1+A2+Ak)T = AT1 +AT2+ATk (3) (kA)T = kAT(4) (AB)T = BTAT (A1A2Ak)T = ATk ATk-1AT1 11231013 ,22,.12111ABAB B A設(shè)求TTTT解解335184AB358()314B AABTTTTTT 對(duì)稱矩陣：AT = A, .ijjiaai j即反對(duì)稱矩陣：反對(duì)稱矩陣：AA T T0,iiijjiaaaij 即例如， 下列矩陣是否是對(duì)稱矩陣？

12、反對(duì)稱矩陣？031302120，211100105，223201310例例8 證明：任意矩陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一證明：任意矩陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和個(gè)反對(duì)稱矩陣之和 證證 設(shè)設(shè)A A為一個(gè)矩陣，令為一個(gè)矩陣，令 12()BAA12()CAA那么那么 111222 ()()() )BA AA AAA 12()AAB類似地，類似地， CC 即即B B為對(duì)稱矩陣，為對(duì)稱矩陣，C C為反對(duì)稱矩陣容易驗(yàn)證為反對(duì)稱矩陣容易驗(yàn)證 AB C從而，從而，A A可以表示為對(duì)稱矩陣可以表示為對(duì)稱矩陣B B與反對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣C C之和之和5. 5. 矩陣的行列式矩陣的行列式由由n階

13、階方陣方陣A按照原來(lái)的按照原來(lái)的位置構(gòu)成位置構(gòu)成n階階行列式行列式稱為方陣稱為方陣A的行列式，記為的行列式，記為 A 或者或者detA.注意：只有方陣才能定義它的行列式注意：只有方陣才能定義它的行列式.性質(zhì)：性質(zhì)：n階方陣的行列式具有如下性質(zhì)：階方陣的行列式具有如下性質(zhì)：（1） |AT| = |A| （2）k |A| =kn | A|（3）|AB| = |A| |B|定義定義 如果如果n階方陣階方陣A的行列式的行列式detA0,則稱則稱A為為非奇異矩非奇異矩陣陣(或或非退化矩陣非退化矩陣),如果如果detA=0,則稱則稱A為為奇異矩陣奇異矩陣(或或退化退化矩陣矩陣).定理定理 設(shè)設(shè)A,B都都是

14、是n階方陣，階方陣，則則AB為為非奇非奇異矩陣異矩陣當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)A，B都為都為非奇異矩陣非奇異矩陣.推論推論 設(shè)設(shè)A,B都都是是n階方陣，階方陣，如果如果A為為奇異奇異矩陣矩陣，則，則AB和和BA都為都為奇奇異矩陣異矩陣.|A1A2Ak | = |A1| |A2| |Ak | 一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換矩陣的三種初等變換：矩陣的三種初等變換：（1）互換矩陣兩行）互換矩陣兩行(列列)：rirj (ci cj)（2）某行）某行(列列)乘以非零常數(shù)乘以非零常數(shù)k：kri(kci)（3）把）把j行行(列列)乘以非零數(shù)乘以非零數(shù)k加到第加到第i行行(列列)：ri+krj (ci+kcj)A

15、B：矩陣：矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換變成經(jīng)過(guò)初等變換變成B定義定義 2.17 由單位矩陣由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為稱為n階初等矩陣階初等矩陣二、初等矩陣二、初等矩陣?yán)?，例如?經(jīng)過(guò)一次初等變換可以得到下列經(jīng)過(guò)一次初等變換可以得到下列幾種初等矩陣：幾種初等矩陣： 1001E1,2E 1Ek0k 2Ek0k 1,2Ek 2,1Ek0110001k100k101k101k111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa設(shè)先看如下的例子先看如下的例子111213142122232431323334001010100aaaaaaaaaaaa3

16、13233342122232411121314aaaaaaaaaaaaArr31相當(dāng)于相當(dāng)于對(duì)實(shí)對(duì)實(shí)A施第一施第一種初等種初等行變換行變換(1,3)EA111213142122232431323334100000012,400100100aaaaAEaaaaaaaa再看如下的例子再看如下的例子111413122124232231343332aaaaaaaaaaaaAcc42相當(dāng)于相當(dāng)于對(duì)實(shí)對(duì)實(shí)A施第一施第一種初等種初等列變換列變換可以證明：可以證明： mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211設(shè)設(shè)( , )mm nEi j A( , )m nnAE i j( ( )mm nEi

17、kA( ( )m nnAE i k( , ( )m nnAE i j k( , ( )mm nEi j kAi 的的 行乘以行乘以Akji 的的 行的行的 倍加到倍加到 行上行上Ak交換交換 的的 ， 兩行兩行Ajii 的的 列乘以列乘以Akji 的的 列的列的 倍加到倍加到 列上列上Ak交換交換 的的 ， 兩列兩列Aji一、矩陣的行列式一、矩陣的行列式由由n階方陣階方陣A按照原來(lái)的按照原來(lái)的位置構(gòu)成位置構(gòu)成n行列式行列式稱為方陣稱為方陣A的行列式，記為的行列式，記為 A 或者或者detA.注意：只有方陣才能定義它的行列式注意：只有方陣才能定義它的行列式.性質(zhì)：性質(zhì)：n階方陣的行列式具有如下性

18、質(zhì)：階方陣的行列式具有如下性質(zhì)：（1） |AT| = |A| （2）k |A| =kn | A|（3）|AB| = |A| |B|定義定義 如果如果n階方陣階方陣A的行列式的行列式detA0,則稱則稱A為為非奇異矩非奇異矩陣陣(或或非退化矩陣非退化矩陣),如果如果detA=0,則稱則稱A為為奇異矩陣奇異矩陣(或或退化退化矩陣矩陣).定理定理 設(shè)設(shè)A,B都都是是n階方陣，階方陣，則則AB為為非奇非奇異矩陣異矩陣當(dāng)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)A，B都為都為非奇異矩陣非奇異矩陣.推論推論 設(shè)設(shè)A,B都都是是n階方陣，階方陣，如果如果A為為奇異奇異矩陣矩陣，則，則AB和和BA都為都為奇奇異矩陣異矩陣.|A1A2Ak

19、 | = |A1| |A2| |Ak | 數(shù)數(shù)a 0：a a-1 = a-1 a =1若若A可逆，則可逆，則A-1存在，且存在，且 .二、矩陣的逆二、矩陣的逆1、定義、定義設(shè)有設(shè)有B和和C 滿足滿足 AB = BA = I, AC = CA = I.)()(CICCBAACBBIB 則則注意注意若若A, B均為方陣，且均為方陣，且AB = I (或或 BA = I), 則則A可逆且可逆且B=A-1.11,.,0nndDddd（）；1111nddD11, (0)kIIkk（ ）I -1 = I證證 3:11()()AB B A11()A BBA1AAI111()ABABB A所以可逆， 且4：1

20、()AATTTT1()A AT TI2、伴隨矩陣、伴隨矩陣 |A| =a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 annA11 A21 An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann 其中Aij是行列式 中元素aij的的的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式. 推論推論2.22.2設(shè)設(shè)A為為n階方陣階方陣, 如果存在如果存在n階方陣階方陣B使得使得AB=In(或者或者BA=In), 則則A可逆且可逆且B=A-1.推論推論2.32.3設(shè)設(shè)A為為n階可逆矩陣階可逆矩陣, 例例1 設(shè)方陣設(shè)方陣A滿足滿足A2 - A - 2I =O, 證明：證明：A和和I - A都可逆都可逆.證證()2A

21、 AII12( ()AAII112()AAAI所以 可逆， 且12()()A IAI112()IAIAA 所以可逆， 且在許多工程問(wèn)題的矩陣計(jì)算中，由于矩陣的階數(shù)一般很高，因此，為了使矩陣的結(jié)構(gòu)更清楚，同時(shí)也為了利用矩陣所具有的某些特點(diǎn)，常常采用分塊法，將大矩陣的運(yùn)算化成一些小矩陣的運(yùn)算。=A11A12A13A14 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，我們用若干條縱線對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，我們用若干條縱線和橫線將其分成許多個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為原來(lái)和橫線將其分成許多個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為原來(lái)矩陣的子陣或子塊，以這些子塊為元素所構(gòu)成的矩陣矩陣的子陣或子塊，以這些子塊為元素所構(gòu)成的矩陣稱為稱為分塊矩

22、陣分塊矩陣。1、分塊矩陣的概念、分塊矩陣的概念111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa例如例如：123111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa通常，通常，要適當(dāng)?shù)剡x擇分法，使一些子塊為便于運(yùn)要適當(dāng)?shù)剡x擇分法，使一些子塊為便于運(yùn)算的特殊矩陣，如算的特殊矩陣，如單位矩陣單位矩陣，零矩陣零矩陣，上（下）上（下）三角形矩陣三角形矩陣等等11122122 AAAA123100201130041A選擇如下的分法選擇如下的分法 100201130041A211 22I

23、AAA0例如，對(duì)矩陣?yán)?，?duì)矩陣 便可以得分塊矩陣便可以得分塊矩陣 11111111,ssrrsrrsAABBABAABB同同型型矩矩陣陣加法：加法：分塊方法相同分塊方法相同11111111.ssrrrsrsABABABABAB分塊矩陣有著與普通矩陣相類似的運(yùn)算方法和性質(zhì)分塊矩陣有著與普通矩陣相類似的運(yùn)算方法和性質(zhì)對(duì)應(yīng)塊對(duì)應(yīng)塊相加相加1111.srrsAAAAA數(shù)乘：數(shù)乘：分塊矩陣分塊矩陣對(duì)應(yīng)塊對(duì)應(yīng)塊數(shù)乘數(shù)乘1111.srrskAkAkAkAkA11111111 , strrssst Am lBlnAABBABAABB設(shè)為矩陣， 為矩陣，分塊成11 ijijissjCA BA B其中1212,

24、.iiisjjsjABAAABBB其中矩陣 列的分法與矩陣 行的分法相同 即子塊的列數(shù)分別等于子塊的行數(shù)則乘法乘法1111()tijr trrtCCCABCCC 求求 AB . 1000010011102101A1001112 1B212100 0010 0111 0210 1IAAI0 例例 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 解解 分別把分別把A、B分塊成分塊成 211001112 1IBB222121111001.0000IIIABAIBAB0212100 0010 0111 0210 1IAAI0211001112 1IBB1111rssrAAAAA1111TTsTTrsrAAAAA則則轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置設(shè)設(shè)即分塊矩

25、陣轉(zhuǎn)置時(shí)，既要把整個(gè)分塊矩陣轉(zhuǎn)置，即分塊矩陣轉(zhuǎn)置時(shí)，既要把整個(gè)分塊矩陣轉(zhuǎn)置，又要把其中每一個(gè)子塊轉(zhuǎn)置。又要把其中每一個(gè)子塊轉(zhuǎn)置。1(),ijm nmAa1(,.,),i1,2,.,miiinaa其中12( )( ,),ij m nnAa1(,.,) ,1,2,.,jjmjaajn其中T T分塊行矩陣分塊行矩陣分塊列矩陣分塊列矩陣112diag(,)ttAAA AAA分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣iAnAA其中 為 階矩陣， 都是方陣也就是 的主對(duì)角線上的子塊都是方陣，其余子塊都是零矩陣！1100100031001000,0100013100210214AB11001000310010000100013100210214AB1122AOBOOAOB20004000100000561122ABOOA B 例例 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 求求 AB.解解 1,mAAA1,mBBB1111+,+,+mmmmABA BABA BA BAB即即:則則:1,kkkmAAA特別地特別地:逆：逆：11,.,mmAAAAA設(shè)均可逆。.1111 mAAA則則分