風險管理與金融機構(gòu)課后習題8-9章答案

1、第八章8.1 VaR是指在一定的知心水平下?lián)p失不能超過的數(shù)量；預期虧損是在損失超過 VaR的條件下?lián)p失的期望值，預期虧損永遠滿足次可加性風險分散總會帶來收 益條件。8.2 個風險度量可以被理解為損失分布的分位數(shù)的某種加權平均。 VaR對于第 x個分位數(shù)設定了 100%勺權重，而對于其它分位數(shù)設定了 0權重，預期虧損對于 高于X%勺分位數(shù)的所有分位數(shù)設定了相同比重，而對于低于 X%勺分位數(shù)的分位 數(shù)設定了 0比重。我們可以對分布中的其它分位數(shù)設定不同的比重， 并以此定義 出所謂的光譜型風險度量。當光譜型風險度量對于第q個分位數(shù)的權重為q的非 遞減函數(shù)時，這一光譜型風險度量一定滿足一致性條件。8.

2、3有5%勺時機你會在今后一個月?lián)p失6000美元或更多。8.4在一個不好的月份你的預期虧損為60000美元，不好的月份食指最壞的 5%的月份(1)由于99.1%的可能觸發(fā)損失為100萬美元，故在99%勺置信水平下，任意 項損失的VaR為100萬美元。萬美兀,2選定99%勺置信水平時，在1%勺尾局部布中，有0.9%的概率損失10000.1%的概率損失100萬美元，因此，任一項投資的預期虧損是0.1%1%1000.9%1%1000 910萬 美元0.991=0.982081的概率損失為200萬美元，有20.991=0.017838的概率損失為1100萬美元，由于99%=98.2081%+0.7919

3、%因此將兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應于99%勺置信水平的VaR是1100萬美元。4選定99%勺置信水平時，在1%勺尾局部布中,有0.0081%的概率損失2000 萬美元，有0.9919%的概率損失1100萬美元，因此兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生 的投資組合對應于99%勺置信水平的預期虧損是0.0000810.0120000.0099190.0111001107萬美元5由于1100 100 2=200,因此VaR不滿足次可加性條件，1107 910 2=1820,因此預期虧損滿足次可加性條件。18. 6 11 天展望期的 97.5% VaR為 200N (0.975)=200*1.96=3

4、9225天展望期的97.5% VaR為：5N 1 (0.99)2.331 31 天展望期的 99% VaR 為 392* N (0.975) =392*1.96 =466因此，5天展望期的99% VaR為5 *466=10428.7由于假定組合的價值變化服從正態(tài)分布，其期望值為 0,那么當每天價值變化 的一階自相關系數(shù)等于0.16時對于8.16中5天展期望的97.5%變現(xiàn)為996萬美 元，C中5天展望期的99%勺VAR變現(xiàn)為1182萬美元。8.8邊際VaR是 VaR的增長隨第i個資產(chǎn)增加的比率，增量VaR是指第i個資產(chǎn) 對于VaR的影響含有第i個資產(chǎn)VaR與不含有第i個資產(chǎn)VaR的差，成分Va

5、R 是指整體VaR對于第i個資產(chǎn)的分配成分 VaR的總和等于整體VaR。8.9總數(shù)為17或更多例外發(fā)生所對應的概率為 1-BINOMDIST( 16,1000,0,01 ，TRUE)即2.64%,在5%S信水平下我們應該拒絕這一模型。8.10當金融資產(chǎn)交易組合的每天價值獨立時，例外的情形以聚束的情形發(fā)生，而不是隨機分布在整體時間區(qū)域內(nèi)，這種情形被稱為聚束效應。通常情況下，我們假設交易組合每天的價值變化獨立，例外的情況發(fā)生應該比擬均勻的分布在檢 測區(qū)間內(nèi)，但是實際經(jīng)濟生活中，我們發(fā)現(xiàn)例外情形一般是呈現(xiàn)聚束分布特征的， 這便是聚束效應。8.11證明式8-3證明：我們希望計算數(shù)量為P1P2.Pn的標

6、準差，其中Pi為第i天的回報，其n2ij i jii 1式中，c i為Pi的標準差，p ij為Pi與Pj的相關系數(shù)。這是對于所有i ,c i= c，當ij時p ij= p i-j ，進一步運算，我們可以得出式8-3。2T 2仃 1)2(T2) 22仃3) 3. 2 T 18.12 1對應于95%勺置信水平，任意一項投資的 VaR為100萬美元。2選定95%勺置信水平時，在5%勺尾局部布中，有4%勺概率損失1000 萬美元，1%勺概率損失100萬美元，因此，任一項投資的預期虧損是 塑 1000100 820萬 美元5%5%0.94=0.8836的概盈利200萬美元，有20.02=0.0016的概

7、率損失1100萬美元，有20.94=0.0752的概率損失900萬美元，有20.02=0.0376的概率不虧損也不盈利，由 0.95=0.8836+0.0376+0.0004+0.0284,因此將兩項 投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應于 95%勺置信水平的VaR是 900萬美元。4選定95%勺置信水平時，在5%勺尾局部布中,有0.16%的概率損失2000 萬美元，有0.16%的概率損失1100萬美元，有4.68%的概率損失900萬美元，因 此，兩項投資迭加在一起所產(chǎn)生的投資組合對應于 95%勺置信水平的預期虧損是4.68%0.16%0.16%辛一90011002000941.6萬美兀5%5%

8、5%5由于900 100820 2=1640,因此預期虧損滿足次可加性條件。VaR N 1(X)2T 2(T1)2(T2) 22仃3) 32 T 1 (2)由上式得:所以VaRTVaR/VaRT/ T(3)YWv5230%524.16%。VaR T 2(T 1)2(T 2) 2 2(T 3) 3 . 2 T 1V10 2* 9*0.12 2*8*0.122 2*7* 0.123 . 2* 0.129-200J10222.8663758萬美元第九章9.2 某資產(chǎn)的波動率為每年25%對應于一天的資產(chǎn)價格百分比變化的標準為:25%/ .252=1.57%假定價格變化服從正態(tài)分布，均值為0估測在95%

9、勺置信度下價格百分比變化的置信區(qū)間為：-3.09%3.09%9.3開市時的波動率比閉市時的要大，交易員在計算波動率時往往采用交易天數(shù)而不是日歷天數(shù)。9.4隱含波動率是指使得由Black-Scholes所計算出的期權借個等于市價時所對 應的波動率，隱含波動率的求解方法通常是采用試錯法， 因為不同期權對應于不 同的隱含波動率，所以交易員利用Blac-Scholes公式時實際上采用了不同假設。9.5由9.3節(jié)的方法：先計算每段的回報，再計算回報的標準差，最后計算得到 的波動率為0.547%,但由式9-4的計算得出的每天波動率為0.530%。9.6由9-1可得：Prb( x) Kx ，當 500的概率

10、為1%2那么20.01 K* 500 ，K=2500,2當Prob( 1000) 2500*1000.25%，即點擊次數(shù)為10000次以及更屢次的比例為0.25%;2當Prob( 2000)2500 * 20000.0625%，即點擊次數(shù)為2000次以及更屢次的比例為0.0625%乘以在n-1天所估計的方差加上1 乘以第n天的回報的平方。9.8 GARCH 1,1對于長期平均方差設定了一定權重，這與EWM的假設一致，GARCH1,1丨具有波動率回歸均值的特性。9.9 在這種情形下，n 1 0.015， n (30.50 30) / 30 0.01667，由式(9-8)我 們可得出2 2 2n

11、0.94 0.0150.06 0.016670.0002281因此在第n天波動率的估計值為0.000281 O.。15103，即1.5103%。9.10由EWM模型我們可以得到波動率的預測方程可以表示為:m2 一 、i 12m 2n (1)Unin mi 1所以，我們可以看出當我們把更大的權重，即認為近期的數(shù)據(jù)對現(xiàn)在的影響更大。同時，由模型我們也可以看出的變化將引起模型中權重的集體變化,進而引起模型波動率的較大變化。9. 11采用通常的符號，n 1 20 10240.01923，因此0.012 0.00016220.0000020.006 0.0192320.92n 0.01078，對于最新波

12、動率的估計為每天1.078%。9.12.解：價格變化的比率為-0.005/1.5000=-0.003333，當前每天的方差估計為0.0069=0.000036，對于每天的方差的新估計為波動率的新估計值為以上數(shù)值的平方根O.000033511 =0.597%1-，長期平均方差為/(1-)，增大 會促使長期平均方差的增長，增大會增大對于近期數(shù)據(jù)所設定的權重，同時減小對于長期平均方差所設定的權 重，以及增大長期平均方差；增大 仍會增大對于前一個方差所設定的權重，減小對于長期平均方差所設定的權重，并且增大長期平均方差的水平。9.14 長期平均方差為3 / 1- a - B，即 0.000004/0.0

13、3=0.0001333，長期平均波動率為0.0001333 =1.155%，描述方差回歸長期平均 的方程式為 E c 2n+k=VL+( a + B )k( (T 2 n- VL)這時 E c 2 n+k=0.0001330+0.97k c 2 n-0.0001330丨如果當前波動率為每年20% c占52 血001471 =0.0121，即每天 1.21%。9.15 FTSE用美元表達為XY, X為其用英鎊表達的價值，丫為匯率，定義xi為X 在第i填的價格變化百分比，yi為丫在第i填的百分比變化，XY的比例變化為 xi+yi,xi的標準差為1.8%, yi的標準差為0.9%, X與丫的相關系數(shù)

14、為0.4，因此xi+yi的方差為：0.018*0.018+0.009*0.009+2*0.009*0.018*0.4=0.0005346 ，因此 xi+yi 的標準 差為0.0231，即2.31%,這就是FTSE100被轉(zhuǎn)化成美元后的波動率。9.16由式9-10可得：11 94 .4 .2，那么長期平均方差為：vl/O.OOO0003/0.02 O.OOO15，再由式 9-14 可得：2t 2302E( n t ) Vl () ( n Vl)0.00015 0.98 (0.010.00015)0.000123，那么波動率為：飛().O.OOO123 0.0111，即30天后的日波動率為1.11

15、%。9.17 把VL =0.0001，=0.0202，=20 以及 V()()252Vl 1 e V(0) VlLL得到波動率為19.88%。9.18周數(shù)股票價格價格比S / S 1每天回報Ui ln(Si Si 01 3221011121314此時,Ui33330.0947082Ui0.01145周收益率標準差的估計值為.1145 .09470820.028841314 (14 1)即周波動率為2.884%每周波動率的標準差為0.028840.00545或每周0.545%149.19(a)在這種情形下,0.013n (298 300)/300 -0.0066667 由式(9-8)我們可得出0

16、.0001615272 2 2n 0.94 0.0130.06 0.0066667因此在第n天波動率的估計值為0.000161527 O.。12709，即1.2709%。(b)這里GARCH(1,1模型為2 20.0000020.04 n 10.94 n 1由(a) 知,2 10.01320.0001692n-1(-0.0066667)20.000044447 因此0.0000020.04 0.0000444470.94 0.000169=0.00015886對于波動率的最新估計為0.00015886=0.012604，即每天1.2604%.9.21a由題設可知GARCH1,1丨模型為:2 20.0000020.03 n i 0.95 n 1因為1.2，由于Vl ,可知模型隱含的每天長期平均方差為2 n0.0001，對應的波動率為0.0001 =0.01即每天1%2 2b因為當前波動率為每天1.5%，所以n 10.0150.000225由于E ntt2Vl() ( n Vl)故20天后E2 2040天后