理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)普遍定理

1、理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院1理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院2一、質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心一、質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 iiiiiiCCCm xm ym zxyzmmm，10-1 10-1 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力 在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎么_定重心在均勻重力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎么_定重心的各種方法來(lái)確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)的各種方法來(lái)確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。yCxzOyCxCz

2、CrCrii()imm質(zhì)心質(zhì)心C點(diǎn)的位置點(diǎn)的位置： i ii iCimmmmrrr CCCCxyz rijk質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表示質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表示質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院3 內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。內(nèi)力：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)講，內(nèi)力系的主矢恒等于零， 內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：內(nèi)力系對(duì)任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：(i)(i)0 ()0iOi ；FMF二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與

3、外力二、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力外力：質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。外力：質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。(i)(i)(i)()0()0()0 xiyiziMMM ，F(xiàn)FF理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算122221 d12lzlmJxxmll2201 d 3lzmJxxmll解解：1、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用） 例例均均質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m。求桿。求桿對(duì)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz 及對(duì)及對(duì)z1 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz1 。

4、zdxxxOl2lz1dxxxC2l理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院5 zR222zi iiJm rRmmR xyRrdr22201d2d2RzJrmrrrmR 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R。則。則均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)圓板對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R。將圓板分為無(wú)數(shù)。將圓板分為無(wú)數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm= 2 rdr， =m/ R2，于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，于是圓板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)

5、土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6由所定義的長(zhǎng)度由所定義的長(zhǎng)度r rz稱為剛體對(duì)稱為剛體對(duì) z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。軸的回轉(zhuǎn)半徑。zzJmr2zzJmr 對(duì)于均質(zhì)剛體，對(duì)于均質(zhì)剛體，r rz僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。轉(zhuǎn)半徑是相同的。 在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見(jiàn)均質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見(jiàn)均質(zhì)剛體的剛體

6、的Jz和和r rz，以供參考。，以供參考。2、回轉(zhuǎn)半徑、回轉(zhuǎn)半徑理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院73、平行移軸定理、平行移軸定理 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。2zzCJJmdzCzydxmiCOzixiriCriyixCyiC222()zCi iCiiiCJm rm xy22222()() zi iiiiiiiCJm rm xym xyd2222()()2ziiiCiiiCzCJm xym

7、 ddm yJmd剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。0 iiCm y理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院8 動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)能和作用動(dòng)能和作用力的物理量力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。 力的功是力沿路程累積效

8、應(yīng)的度量。力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。cosWFsF s 時(shí)，正功；時(shí)，正功； 時(shí)，功為零；時(shí)，功為零； 時(shí)，負(fù)功。時(shí)，負(fù)功。 功的單位：焦耳（）；功的單位：焦耳（）；2221J1N m一、常力的功一、常力的功( (力是常矢量力是常矢量) )FM1M2s 12-112-1力的功力的功功是代數(shù)量。功是代數(shù)量。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院9二、變力的功二、變力的功 力力F 在曲線路程中作功為在曲線路程中作功為21MM 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力在變力F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，力的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，力F在微小弧在微小弧段上所作的功稱為力的段上所作的功稱為力的元功元功，記為記為d

9、 dW，于是有于是有cosdWFs0cos dsWFs自然法表示的自然法表示的功的計(jì)算公式功的計(jì)算公式上兩式可寫成矢量點(diǎn)乘積形式上兩式可寫成矢量點(diǎn)乘積形式dW Fr21dMMW Fr矢徑法表示的矢徑法表示的功的計(jì)算公式功的計(jì)算公式MM1M2dsMdrFdddxyzWF xFyF z21(ddd )MxyzMWF xFyF z直角坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式，也稱為功的解析表達(dá)式。直角坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式，也稱為功的解析表達(dá)式。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院10三、常見(jiàn)力的功三、常見(jiàn)力的功 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系1212g()g()iiiiCCWWmzzmzz 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等

10、于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。00gxyzFFFm ，代入功的解析表達(dá)式得代入功的解析表達(dá)式得211212(g)dg()zzWmzmzz1、重力的功、重力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院11221100d()dMMMMWk rlFrrr2011ddd()d()d22rrrrr rrrrr r200)(d2d)(2121lrkrlrkWrrrr )()(2202201lrlrk222212()()22kkWd

11、ddd末初有限變形下彈性力的功只與有限變形下彈性力的功只與彈簧的初始變形和末變形有彈簧的初始變形和末變形有關(guān)，與力作用點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。關(guān)，與力作用點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。2、彈性力的功、彈性力的功 ( (指有限變形下彈性力的功，與彈簧兩端點(diǎn)位置無(wú)關(guān)指有限變形下彈性力的功，與彈簧兩端點(diǎn)位置無(wú)關(guān)) )彈簧原長(zhǎng)彈簧原長(zhǎng)l0 ，作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線，作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線A1A2。在彈性極限內(nèi)。在彈性極限內(nèi) k彈簧的剛性系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力彈簧的剛性系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力(N/m)。00()k rl Fr110220rlrldd初變形初變形 末變性末變性A1A2r2r1d d1

12、d d2l0Or0rAd dFA0dr理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院12 OzO1A設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上A點(diǎn)的力為點(diǎn)的力為F，將該力分解為將該力分解為Ft、Fn和和Fb 。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角j j與弧長(zhǎng)與弧長(zhǎng)s的關(guān)系為的關(guān)系為tcosFFddsRjR為點(diǎn)為點(diǎn)A到軸的垂距。力到軸的垂距。力F 的元功為的元功為ttd =dddzWF sF RMjjFrFtFrFbFn力力F在剛體從角在剛體從角j j1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到j(luò) j2所作的功為所作的功為2112dzWMjjj 3、作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功、作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功

13、，力偶的功作用面垂直轉(zhuǎn)軸的常力作用面垂直轉(zhuǎn)軸的常力偶偶M，則力偶作的功為，則力偶作的功為1221()WMjj理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院13dd0CtrvSSdd0CWtdFrFv法向力法向力FN，靜摩擦力，靜摩擦力FS作用于瞬心作用于瞬心C處，而瞬心的位移處，而瞬心的位移(2) 圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力的功。圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力的功。(1) 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功2211NddMMMMWF sf Fs FN=常量時(shí)，常量時(shí)，W= f FNs，與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。，與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。 圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)

14、，摩擦力是靜摩擦力，不作功摩擦力是靜摩擦力，不作功! !4、摩擦力的功、摩擦力的功FNFSCPRw wO理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院145、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功 只要只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零兩點(diǎn)間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零。 剛體內(nèi)力功之和等于零，不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等剛體內(nèi)力功之和等于零，不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零于零，但變形體內(nèi)力功之和不為零，例如彈簧的功不為零。但變形體內(nèi)力功之和不為零，例如彈簧的功不為零。ddABWdFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr6、任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功、任意運(yùn)動(dòng)剛體上

15、力系的功結(jié)論結(jié)論1 1：任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力：任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和。作功的代數(shù)和。結(jié)論結(jié)論2 2：任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，也等于力系向任一點(diǎn)：任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，也等于力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化所得的力與力偶作功之和。簡(jiǎn)化所得的力與力偶作功之和。 ( (虛位移原理用虛位移原理用) )OABrArBFF理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院15約束力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。約束力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。4、柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）、柔性約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零

16、。拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。RRRRdddd0WdFrFrFrFrNNd0 (d )WdFrFr1、光滑固定面約束、光滑固定面約束drFNNNS() d0CWdFFr3、剛體沿固定面作純滾動(dòng)、剛體沿固定面作純滾動(dòng)FNFSC四、理想約束力的功四、理想約束力的功2、聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）drFRFR理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院16 物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。瞬時(shí)量，恒為正，具有與功相同的量綱，單位也是瞬時(shí)量，恒為正，具有與

17、功相同的量綱，單位也是J(焦耳焦耳)。對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（viC 為第為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度）個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度）221122CiiCTmvmv柯尼希定理柯尼希定理221mvT 一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能212iiTmv二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能12-212-2動(dòng)動(dòng) 能能理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院17212PTJw（P為速度瞬心）為速度瞬心）2PCJJmd222221111()2222CCCJm dmvJwww22221111()2222iiiCTmvm vmvmv2222111()222iii izTmvmrJww3、平面運(yùn)動(dòng)剛體、

18、平面運(yùn)動(dòng)剛體三、剛體的動(dòng)能三、剛體的動(dòng)能2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體1、平移剛體、平移剛體只能對(duì)瞬心和質(zhì)心用，對(duì)其它點(diǎn)不存在類似的公式。只能對(duì)瞬心和質(zhì)心用，對(duì)其它點(diǎn)不存在類似的公式。dw w質(zhì)心質(zhì)心C瞬心瞬心P理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院18221122CCTmvJw212CCJmRvRw ，243CmvT CvRvw2211()22CTm vrJww221122CCTmvJw均質(zhì)圓盤在平板上均質(zhì)圓盤在平板上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能w wvCvC均質(zhì)圓盤在地面上均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能CvCw w理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

19、中南大學(xué)土木工程學(xué)院19P 為為AB桿的瞬心桿的瞬心2234AATm vsinAvlw2113PJml2212126sinAABPABm vTJw21223()6sin4AmTm vAvPAw解：解：AABTTT例例均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，上端，上端B靠在光滑的墻上，下端靠在光滑的墻上，下端A用鉸鏈用鉸鏈與質(zhì)量為與質(zhì)量為m2、半徑為、半徑為R且放在粗糙地面上的均質(zhì)圓柱中心相連，圓柱作且放在粗糙地面上的均質(zhì)圓柱中心相連，圓柱作純滾動(dòng)，桿與水平線的夾角為純滾動(dòng)，桿與水平線的夾角為 ，若圓柱中心速度為，若圓柱中心速度為vA，求系統(tǒng)的動(dòng)能。，求系統(tǒng)的動(dòng)能。vAAB CPw wA

20、B理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院20解：解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心桿作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C的速度為的速度為CACAvvv速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有：速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有：222222221122142cos(180)()2coscosCACAA CAAAAAvvvv vvlvlvll vjwwjwwj則桿的動(dòng)能則桿的動(dòng)能222222222211221111242 121123(cos )()(cos )CCAAAATmvJm vll vmlm vll vwwwjwwwj例例如圖滑塊如圖滑塊A以速度以速度vA在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上鉸接一質(zhì)在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上

21、鉸接一質(zhì)量為量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB，桿以角速度，桿以角速度ww繞繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。試求當(dāng)桿試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為與鉛垂線的夾角為jj時(shí)，桿的動(dòng)能。時(shí)，桿的動(dòng)能。BjvAw wABjvAw wACvCvAvCA理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院211221TTW質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的約束力不作功，但質(zhì)點(diǎn)系在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的約束力不作功，但質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力作功之和并不一定等于零，例如彈簧在系統(tǒng)內(nèi)作功。的內(nèi)力作功之和并不一定等于零，例如彈簧在系統(tǒng)內(nèi)作功。一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

22、質(zhì)點(diǎn)系在一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系在一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力在此過(guò)程中所作功的和。對(duì)理想約束，等于點(diǎn)系全部力在此過(guò)程中所作功的和。對(duì)理想約束，等于全部主動(dòng)力所作功的和。全部主動(dòng)力所作功的和。當(dāng)可以求出任意位置的動(dòng)能和功的當(dāng)可以求出任意位置的動(dòng)能和功的表達(dá)式時(shí)，利用上式求導(dǎo)可求加速度或角加速度。表達(dá)式時(shí)，利用上式求導(dǎo)可求加速度或角加速度。12-312-3動(dòng)能定理動(dòng)能定理理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院22例例已知均質(zhì)圓盤質(zhì)量為已知均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，摩擦因數(shù)為，摩擦因數(shù)為 f ，斜面傾角為，斜面傾角為j j 。

23、求。求純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。j jCFNmgvCw wFS解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)圓盤中心向下解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)圓盤中心向下 產(chǎn)生位移產(chǎn)生位移 s 時(shí)速度達(dá)到時(shí)速度達(dá)到vC。s10T 力的功力的功：12sinWmgsj由動(dòng)能定理得：由動(dòng)能定理得：230sin4Cmvmgsj2234CTmvjsin32ga 上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院23w wII解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 T1=022222122211123222 Am lm rTm vww AAvlvlrrwww，2

24、22222212212229()()624 12mlmm rmmlTllrwwww12WMj根據(jù)動(dòng)能定理，得根據(jù)動(dòng)能定理，得221229012mmlMwj將將式對(duì)式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得2126(29)Mmm l122329Mlmmjw例例水平面上水平面上行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄OA受力偶受力偶M作用而繞固定水平軸作用而繞固定水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪并帶動(dòng)齒輪在固定齒輪在固定齒輪上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄OA為均質(zhì)桿，長(zhǎng)為均質(zhì)桿，長(zhǎng)l、質(zhì)量為質(zhì)量為m1；齒輪齒輪為均質(zhì)圓盤，半徑為均質(zhì)圓盤，半徑r 、質(zhì)量為質(zhì)量為m2。試求曲柄的角速度及試求曲柄的角速度及角加

25、速度。角加速度。P321，12-12 OAMw wvA理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院24例例圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓盤圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓盤A、B各重各重P，半徑均為，半徑均為R，兩盤中心線為水平線，兩盤中心線為水平線，重物重物D重重Q，盤，盤A上作用有常力偶矩上作用有常力偶矩M。問(wèn)下落距離。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度時(shí)重物的速度與加速度。與加速度。(不可伸長(zhǎng)的繩不計(jì)自重，盤不可伸長(zhǎng)的繩不計(jì)自重，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)ABCOMD解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，設(shè)重物解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，設(shè)重物 速度為速度為 v，加速度為，加速度為a。01T2222111

26、 222OACBQTJvJgww22222222222111 32 222 23()()4242(87 )16ABPQPRvRgggPvQPvRvRgRggRvQPgwwQv aC12hWMQhMQhRjw wAw wB理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院25PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(16287ddd2() ()16dddQPvMhhvQvgtRtt8(/)87M RQ gaQP上式兩邊求導(dǎo)得：上式兩邊求導(dǎo)得：2112TTW由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理Qv aABCOMDCw wAw wB理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院26

27、解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。122sincos(2sincos )Wmgsfmgsmgsf22221211 110 22 22TTmvmrmvw運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：wrv 2245mvT 由動(dòng)能定理：由動(dòng)能定理：250(2sincos )4mvmgsf對(duì)對(duì)求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得2(2sincos )5gaf例例均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤A質(zhì)量質(zhì)量m，半徑，半徑r；滑塊；滑塊B質(zhì)量質(zhì)量m，通過(guò)通過(guò)質(zhì)量不質(zhì)量不計(jì)計(jì)、平行于斜面、平行于斜面的的桿桿AB連接連接。斜面傾角為。斜面傾角為 ，動(dòng)摩擦因數(shù)為，動(dòng)摩擦因數(shù)為 f，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜，圓盤作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求滑

28、塊止。求滑塊B的加速度及桿的內(nèi)力。的加速度及桿的內(nèi)力。P326、綜、綜-21 ABmgFNAmgFNBFSAFBs設(shè)設(shè)A移動(dòng)移動(dòng)s，則，則桿的內(nèi)力用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解桿的內(nèi)力用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院27例例卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑為為R1，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為，質(zhì)量為m2，質(zhì)量，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為 ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求，圓柱只滾不

29、滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程經(jīng)過(guò)路程s 時(shí)的速度和加速度。時(shí)的速度和加速度。 MOCR1R2解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為1221sinsWMm gsR系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為01T22221122111222CCTJm vJwwFNm1gFOxFOym2gFS其中其中2111Jm R22212CJm R11RvCw22RvCww w1w w2理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院28于是于是)32(42122m

30、mvTC由由1212WTT得得21221(23)0sin4CvsmmMm gsR解之得解之得21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm MOCR1R2FNm1gFOxFOym2gFSw w1w w2動(dòng)能定理求導(dǎo)得動(dòng)能定理求導(dǎo)得211212(sin )(23)CMm gRamm R由于斜面不一定通過(guò)由于斜面不一定通過(guò)O點(diǎn)，所以系統(tǒng)不能用對(duì)點(diǎn)點(diǎn)，所以系統(tǒng)不能用對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩定理求解。的動(dòng)量矩定理求解。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院29AB求下落時(shí)求下落時(shí)B的加速度的加速度j jAB求初瞬時(shí)桿的角加速度求初瞬時(shí)桿的角加速度AFBC求初瞬時(shí)兩桿的角加速度求初瞬時(shí)兩

31、桿的角加速度此類求加速度問(wèn)題，之所以一般位置的動(dòng)能及功的表達(dá)式不好列出，是此類求加速度問(wèn)題，之所以一般位置的動(dòng)能及功的表達(dá)式不好列出，是因?yàn)檫@類問(wèn)題是兩個(gè)因?yàn)檫@類問(wèn)題是兩個(gè)“自由度自由度”的問(wèn)題，而動(dòng)能定理只有一個(gè)方程，無(wú)的問(wèn)題，而動(dòng)能定理只有一個(gè)方程，無(wú)法求兩個(gè)自由度的問(wèn)題。若補(bǔ)充其它動(dòng)力學(xué)方程又會(huì)出現(xiàn)未知的約束力。法求兩個(gè)自由度的問(wèn)題。若補(bǔ)充其它動(dòng)力學(xué)方程又會(huì)出現(xiàn)未知的約束力。對(duì)于一個(gè)自由度的問(wèn)題，動(dòng)能定理一般可以求解！前面用動(dòng)能定理求加對(duì)于一個(gè)自由度的問(wèn)題，動(dòng)能定理一般可以求解！前面用動(dòng)能定理求加速度的問(wèn)題都是一個(gè)自由度的問(wèn)題。兩個(gè)自由度的問(wèn)題可用動(dòng)量定理及速度的問(wèn)題都是一個(gè)自由度的問(wèn)題

32、。兩個(gè)自由度的問(wèn)題可用動(dòng)量定理及動(dòng)量矩定理或達(dá)朗貝爾原理求解！動(dòng)量矩定理或達(dá)朗貝爾原理求解！理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院30解：以任意位置的桿解：以任意位置的桿AB為研究對(duì)象，受力如圖。為研究對(duì)象，受力如圖。桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)任意位置時(shí)桿的角速度和桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)任意位置時(shí)桿的角速度和角加速度分別為角加速度分別為w w和和 。例例質(zhì)量為質(zhì)量為m長(zhǎng)為長(zhǎng)為l 的均質(zhì)桿，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿的均質(zhì)桿，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從著鉛垂墻壁，從j j0角角無(wú)初速地滑下，不計(jì)摩擦。求：無(wú)初速地滑下，不計(jì)摩擦。求：(1)桿在任意位置時(shí)的桿

33、在任意位置時(shí)的角速度和角加速度；角速度和角加速度；(2)開始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻壁對(duì)桿的約束力；開始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻壁對(duì)桿的約束力；(3)桿桿脫離墻時(shí)，桿與水平面所夾的角脫離墻時(shí)，桿與水平面所夾的角。P283，11-15，P326綜綜-18OxyABCj jFBmgFAw w 桿的動(dòng)能，桿的動(dòng)能，T1=022222111226CCTmvJmlww系統(tǒng)只有重力系統(tǒng)只有重力mg作功作功120(sinsin )2lWmgjj由由1212WTT得得03(sinsin )glwjj兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意jw 可得可得3cos2glj理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土

34、木工程學(xué)院31解：取系統(tǒng)分析，則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為解：取系統(tǒng)分析，則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為2012ATmv2v02220021 1()()2 2CvTMrMvr22001(2)22BTmvmv2107104ABCDMmTTTTTv222200011 13()()22 24DvTMvMrMvr例例如圖，重物如圖，重物A和和B通過(guò)動(dòng)滑輪通過(guò)動(dòng)滑輪D和定滑輪和定滑輪C而而運(yùn)動(dòng)。如果重物運(yùn)動(dòng)。如果重物A開始時(shí)向下的速度為開始時(shí)向下的速度為v0，試問(wèn)，試問(wèn)重物重物A下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物A和和B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m，滑輪，滑輪D和和C的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為M

35、，半徑均為半徑均為r且為均質(zhì)圓盤。重物且為均質(zhì)圓盤。重物B與水平面的動(dòng)與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為f ，繩索質(zhì)量忽略不計(jì)且不能伸長(zhǎng)。，繩索質(zhì)量忽略不計(jì)且不能伸長(zhǎng)。DABv0C理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院32DABC 系統(tǒng)受力如圖所示，設(shè)重物系統(tǒng)受力如圖所示，設(shè)重物A下降下降h高高度時(shí)，其速度增大一倍。在此過(guò)程中，所度時(shí)，其速度增大一倍。在此過(guò)程中，所有的力所作的功為有的力所作的功為12d2(1 2 )WmghMghFhMf m gh由由1212WTT得得203(710 )(1 2 )4Mm vMf m gh解得解得203(710 )4(1 2 )Mm vhMf

36、m g速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為220(710 )TMm vmgMgMgmgFNFdFCyFCx如何求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各段繩如何求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各段繩的張力及的張力及C處的約束力？處的約束力？理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院33設(shè)重物設(shè)重物A下降任意位置下降任意位置 s 時(shí)的速度為時(shí)的速度為vA。DABCvAs227104ABCDAMmTTTTTv系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為1constT 在此過(guò)程中，所有的力所作的功為在此過(guò)程中，所有的力所作的功為12d2(1 2 )WmgsMgsFsMf m gs并注意并注意 可求得可求得dd0ddAAAvsavtt，2(1 2

37、 ) 710AMf magMm加速度求得后，如何求力？加速度求得后，如何求力？定軸轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程動(dòng)方程質(zhì)心運(yùn)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)定理動(dòng)量矩動(dòng)量矩定理定理質(zhì)心運(yùn)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)定理由由1212WTT上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院342、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。剛體動(dòng)量矩的計(jì)算剛體動(dòng)量矩的計(jì)算1、平移剛體、平移剛體()zzCLMmv 平移剛體可視為質(zhì)量集中于質(zhì)心的平移剛體可視為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算對(duì)點(diǎn)（或

38、軸）的動(dòng)量矩。質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算對(duì)點(diǎn)（或軸）的動(dòng)量矩。2()zziii izLM mmrJwwv 對(duì)對(duì)定軸定軸的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩vivCrCrixyziCOpmiviMiriw wz理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院353、平面運(yùn)動(dòng)剛體、平面運(yùn)動(dòng)剛體 平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面某軸的動(dòng)量矩，平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面某軸的動(dòng)量矩，等于剛體隨質(zhì)心作平移時(shí)質(zhì)心處的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩等于剛體隨質(zhì)心作平移時(shí)質(zhì)心處的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。CvCw wJw wp=mvCAd1d2B1AzACLLmv dJw2BCLmv dJw 理

39、論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院361223232222()OJJLmmR vRR1122222332()JJm v Rm v RwwOOAOBOCLL+L+L解：系統(tǒng)對(duì)解：系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩等于三個(gè)物體軸的動(dòng)量矩等于三個(gè)物體 對(duì)對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量矩的代數(shù)和。點(diǎn)動(dòng)量矩的代數(shù)和。w w1w w2112223222RRvvww由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知有如下關(guān)系由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可知有如下關(guān)系例例已知滑輪系統(tǒng)中滑輪已知滑輪系統(tǒng)中滑輪A的質(zhì)量的質(zhì)量m1和半徑和半徑R1，對(duì)，對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1?；喕咮的質(zhì)量的質(zhì)量m2和半徑和半徑R2， 對(duì)對(duì)B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2 ，且，且 R1=2R2

40、。 物體物體C的質(zhì)量的質(zhì)量m3和速度和速度v3。求系統(tǒng)對(duì)。求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩。OAMR1BCR2v3v2理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院37質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理(e)d()dOOtLMF質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的動(dòng)量矩定理(e)d()dzzLMtF 上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)

41、和（外力系對(duì)同一軸的主矩）。 一個(gè)剛體一個(gè)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為(e)d()()dzzzJJMtw F理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院38例例已知滑輪系統(tǒng)中滑輪已知滑輪系統(tǒng)中滑輪A的質(zhì)量的質(zhì)量m1和半徑和半徑R1，對(duì)，對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1，其上作，其上作用力偶矩為用力偶矩為M的力偶?；喌牧ε??；咮的質(zhì)量的質(zhì)量m2和半徑和半徑R2， 對(duì)對(duì)B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2 ，且，且R1=2R2。 物體物體C的質(zhì)量的質(zhì)量m3，求物體，求物體C的加速度。的加速度。OAMR1BCR2v解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。解：取整個(gè)

42、系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖示。(e)232()()gOMMmmRF由動(dòng)量矩定理由動(dòng)量矩定理(e)d()dOOLMFt122322222()OCJJLmmR vRR2312232222()g()CMmmaJJmmRRFxFym1gm2gm3ga理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院39 取質(zhì)心取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則平面運(yùn)為動(dòng)系原點(diǎn)，則平面運(yùn)動(dòng)可分解為動(dòng)可分解為隨質(zhì)心隨質(zhì)心C的平移的平移和和繞繞質(zhì)心質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可分別通過(guò)可分別通過(guò)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)確定。來(lái)確定。 rrd dCCCCCLLJJJtwj，11-611-6剛

43、體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 設(shè)平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系設(shè)平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系F1，F(xiàn)2 Fn可以可以簡(jiǎn)化為該對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)平面力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面簡(jiǎn)化為該對(duì)稱平面內(nèi)的一個(gè)平面力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形圖形S，其質(zhì)心一定位于，其質(zhì)心一定位于S內(nèi)。內(nèi)。jyxxyOCDF1F2F3FnS(e)(e) ()CCCmJMaFF，剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院40 上述方程稱為（單個(gè)）上述方程稱為（單個(gè)）剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。應(yīng)用時(shí)，前一式取其投影式。即應(yīng)用時(shí)，前一式取其投

44、影式。即(e)(e) ()CCCmJMaFF，(e)(e)(e)()CxCxCyCyCCCmamxFmamyFJJMj F剛體平面運(yùn)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)微分方程 平面運(yùn)動(dòng)微分方程只用于一個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，平面運(yùn)動(dòng)微分方程只用于一個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，不能用于多剛體系統(tǒng)。對(duì)于多剛體系統(tǒng)，可用多剛體不能用于多剛體系統(tǒng)。對(duì)于多剛體系統(tǒng)，可用多剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)固定軸固定軸的動(dòng)量矩定理。的動(dòng)量矩定理。(e)(e)d ()dziiCzLmMtaFF，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院41 動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)力學(xué)普遍定理 動(dòng)量定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩

45、定理 動(dòng)能定理動(dòng)能定理矢量形式，投影求解。矢量形式，投影求解。標(biāo)量形式標(biāo)量形式綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用根據(jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砀鶕?jù)問(wèn)題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒定理的應(yīng)用。求解，包括各種守恒定理的應(yīng)用。比較復(fù)雜的問(wèn)題，根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)比較復(fù)雜的問(wèn)題，根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)合求解。一般可用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)有關(guān)的量（速度、合求解。一般可用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)有關(guān)的量（速度、加速度），用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或?qū)ΧㄝS的動(dòng)量矩定理、加速度），用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或?qū)ΧㄝS的動(dòng)量矩定理、對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理求力。對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理求力。求解過(guò)程中，往往要正求解過(guò)程中，往往要正確進(jìn)行

46、運(yùn)動(dòng)分析，確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析， 提供提供正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。平面運(yùn)動(dòng)速度和平面運(yùn)動(dòng)速度和加速度的分析。加速度的分析。12-612-6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院42動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 例例置于光滑水平面上的兩均質(zhì)桿置于光滑水平面上的兩均質(zhì)桿AC和和BC各重為各重為P，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l，在，在C處光滑鉸處光滑鉸 接，初始靜止，接，初始靜止，C點(diǎn)高度為點(diǎn)高度為h，求鉸，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。到達(dá)地面時(shí)的速度。ChABC解：整體分析受力如圖。因?yàn)榻猓赫w分析受力如圖。因?yàn)?，且

47、初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。(e)0 xF動(dòng)量守恒定理動(dòng)能定理求解。動(dòng)量守恒定理動(dòng)能定理求解。計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。1222hWPPh01T222223123121wwlgPlgPT代入動(dòng)能定理：代入動(dòng)能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlvwPPFNAFNBvCw ww w理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院43OBA解解：取單個(gè)物體為研究對(duì)象。：取單個(gè)物體為研究對(duì)象。 分別以物塊分別以物塊A、B和滑輪為研究對(duì)象，受力如圖。和滑輪為研究對(duì)象，受力如

48、圖。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得21()(3)2ABmrFF rm1gFAam2gFBa例例物塊物塊A和和B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1、m2，且，且 m1m2，分別系，分別系在繩索的兩端，繩跨過(guò)一定滑輪，如圖。滑輪的質(zhì)量為在繩索的兩端，繩跨過(guò)一定滑輪，如圖。滑輪的質(zhì)量為m，并可看成是半徑為并可看成是半徑為r的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦，繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求物塊承摩擦，繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求物塊A的加速度的加速度和軸承和軸承O的約束力。的約束力。ABOr11(1)Am am gF22(2)B

49、m aFm g0(4)OxF0(5)OyABFFFmgFBFAFOxFOymg 理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院44 由以上方程聯(lián)立求解得：由以上方程聯(lián)立求解得：12122()2()mmagmmm0OxF21212122()()2()OymmFmmm ggmmmar注意到注意到解解：用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，：用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)動(dòng)能為運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)動(dòng)能為222221212111 11()( )(22)222 24vTmvm vmrmmm vr121d(22) d2Tmmm v

50、v所有力的元功為所有力的元功為1212() d()diWmm gsmm gv t12121(22) d()d2mmm v vmm gv t 由微分形式由微分形式的動(dòng)能定理得的動(dòng)能定理得于是可得于是可得12122()2()mmagmmmBAm1gvm2gvOmgw wFOxFOy理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院45于是可得于是可得21212122()()2()OymmFmmm ggmmm2112()Oym am aFmmm g得得0OxF考慮剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理考慮剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(e)iiCxxmaF(e)iiCyymaFBAm1gam2gaOmg FOxFOy

51、理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院46 解解：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為212121()21(22)2OLmvrm vrmrmmm vrw1212d1(22)()2dvmmm rmm grt然后按解然后按解的方法即可求得軸承的方法即可求得軸承O的約束力。的約束力。由由得得(e)d()dOOLMt F12122()dd2()mmvagtmmmBAm1gvm2gvOmgw wFOxFOy理論力學(xué)理論力學(xué)中南大

52、學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院47 解：解：用動(dòng)能定理求角加速度。用動(dòng)能定理求角加速度。由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力， 倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落。設(shè)桿運(yùn)動(dòng)到與水平方向夾角為倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落。設(shè)桿運(yùn)動(dòng)到與水平方向夾角為 時(shí)時(shí) 的角速度為的角速度為w w，則桿的動(dòng)能為，則桿的動(dòng)能為2222222111( cos ) (cos)22 12283PmllmlTJmwww初動(dòng)能為零，此過(guò)程只有重力作功，由初動(dòng)能為零，此過(guò)程只有重力作功，由2221(cos)(1 sin )832mllmgw當(dāng)當(dāng) =0時(shí)解出時(shí)解出lg3w2112TTW vA動(dòng)能定理兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可求角加速度動(dòng)能定理兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可求角加速度22212cos ( sin )(cos)2( cos )832mlmgl www =0代入上式，便得到特定位置代入上式，便得到特定位置時(shí)的角加速度時(shí)的角加速度3g2l 例例均質(zhì)桿長(zhǎng)為均質(zhì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和角加速度及地面的約束力。擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和角加速度及地面的約束力。AC