數(shù)學(xué)模型思想及其滲透教學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)模型思想數(shù)學(xué)模型思想(sxing)及其滲透教學(xué)及其滲透教學(xué)第一頁，共59頁。 一條小河從哥尼斯堡的市中心穿過，河中有兩個(gè)小島，河上有七座橋連接這兩個(gè)小島和河的兩岸。能不能一次連續(xù)走完這七座橋，而不在任何一座橋上重復(fù)通過，并且最后(zuhu)還回到原來的起點(diǎn)？（現(xiàn)實(shí)背景（現(xiàn)實(shí)背景(bijng)中的生活問題）中的生活問題）這個(gè)問題吸引了無數(shù)游人去實(shí)地嘗試和研究。它最終是由十八世紀(jì)大數(shù)學(xué)家歐拉解決的，歐拉沒有親自(qnz)到實(shí)地去踏察，而是用A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)分別代表小島和兩岸，并把七座橋抽象為七條線段，與四個(gè)點(diǎn)連接成為一個(gè)圖形。（生活問題的數(shù)學(xué)化）（生活問題的數(shù)學(xué)化） 這樣，就把能否一次走過

2、七座橋而無重復(fù)，轉(zhuǎn)化為能否一筆畫出這個(gè)圖形的問題。（數(shù)學(xué)問題模型化）（數(shù)學(xué)問題模型化） 歐拉仔細(xì)分析了“一筆畫問題”數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)能夠一筆畫出的圖形只能有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，并且圖中要么沒有奇頂點(diǎn)，要么只有兩個(gè)奇頂點(diǎn)。他應(yīng)用這個(gè)結(jié)論去考察上述問題，發(fā)現(xiàn)圖中四個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，因此不能一筆畫出。于是，他斷定這七座橋不可能無重復(fù)地一次走完。 并運(yùn)用“一筆畫問題”的原理闡明了其中的道理。（運(yùn)用模型求解）（運(yùn)用模型求解）贏得了世人的公認(rèn)。（運(yùn)用模型解釋）（運(yùn)用模型解釋） （對(duì)解與相應(yīng)模型的價(jià)（對(duì)解與相應(yīng)模型的價(jià)值判斷）值判斷） 此后“一筆畫問題”的原理及其推論，普遍成為人們解決類似實(shí)際問題的數(shù)學(xué)

3、模型。（模型的價(jià)值判斷與變式、推廣應(yīng)用）（模型的價(jià)值判斷與變式、推廣應(yīng)用） 這是一個(gè)生活問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題模型化的經(jīng)典范例，它讓人們?cè)隗@嘆數(shù)學(xué)家理性智慧的同時(shí)，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)建模對(duì)于實(shí)際問題解決的效用之美。第1頁/共59頁第二頁，共59頁。 數(shù)學(xué)建模就是針對(duì)或參照現(xiàn)實(shí)世界中某一特定對(duì)象或現(xiàn)象(xinxing), 從某種特定的目的出發(fā)，按照一定的價(jià)值取向，作出必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具、方法得到一定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),并用它來刻畫和解釋特定對(duì)象或現(xiàn)象(xinxing)的現(xiàn)實(shí)性態(tài),預(yù)測(cè)對(duì)象或現(xiàn)象(xinxing)的未來狀況,提供處理對(duì)象或現(xiàn)象(xinxing)的優(yōu)化決策和控制方略。第2頁/共59頁

4、第三頁，共59頁。 數(shù)學(xué)建模就是針對(duì)或參照現(xiàn)實(shí)世界中某一特定(tdng)對(duì)象或現(xiàn)象（如上例中游（如上例中游(zhngyu)人行走七橋的嘗試）人行走七橋的嘗試） ，從某種特定的目的(md)出發(fā)（作出能否一次無重復(fù)地走完的判斷）（作出能否一次無重復(fù)地走完的判斷） ，按照一定的價(jià)值取向（試圖數(shù)學(xué)地解決與闡明此類問題）（試圖數(shù)學(xué)地解決與闡明此類問題） ，作出必要簡化和假設(shè)（畫示意圖）（畫示意圖） ，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具、方法 （奇、（奇、偶點(diǎn)的分析）偶點(diǎn)的分析）得到一定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) （“一筆畫問題一筆畫問題”特征特征數(shù)學(xué)化表達(dá)）數(shù)學(xué)化表達(dá)） ，并用它來刻畫和解釋特定對(duì)象或現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài) （七橋能否一次無重

5、復(fù)地走完的判斷與解釋）（七橋能否一次無重復(fù)地走完的判斷與解釋） ，預(yù)測(cè)對(duì)象或現(xiàn)象的未來狀況（“一筆畫問題一筆畫問題”的推廣與變式）的推廣與變式） ，提供處理對(duì)象或現(xiàn)象的優(yōu)化決策和控制方略 （“一筆畫問題一筆畫問題”原理的原理的數(shù)學(xué)模型）數(shù)學(xué)模型）。第3頁/共59頁第四頁，共59頁。( (一一) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵關(guān)于數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵(nihn)(nihn)分析與界分析與界定定 二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)( (二二) ) 關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知與數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知與解讀解讀 數(shù)學(xué)建模作為方法與過程的統(tǒng)一體，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的始終，是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的重要

6、內(nèi)容，更是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的主要方式；是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心要素，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心環(huán)節(jié)；是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和演繹數(shù)學(xué)思想的平臺(tái)，又是感悟數(shù)學(xué)價(jià)值和實(shí)施數(shù)學(xué)應(yīng)用的載體。 數(shù)學(xué)建模，即數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。 第4頁/共59頁第五頁，共59頁。( (一一) ) 關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵分?jǐn)?shù)學(xué)模型的內(nèi)涵分析與界定析與界定 二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)( (二二) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知(rn zh)(rn zh)與解讀與解讀( (三三) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想的理解及其教學(xué)滲透關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想的理解及其教學(xué)滲透 數(shù)學(xué)模型思想是對(duì)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

7、 所謂思想是指客觀存在反映在人的意識(shí)中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識(shí)。 有實(shí)踐就會(huì)有真知，有思考就會(huì)有卓見，實(shí)踐加思考，真知變卓見，循環(huán)誠恒之，必然成思想！有實(shí)踐就會(huì)有真知，有思考就會(huì)有卓見，實(shí)踐加思考，真知變卓見，循環(huán)誠恒之，必然成思想！ 第5頁/共59頁第六頁，共59頁。( (一一) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵關(guān)于數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵(nihn)(nihn)分析與界分析與界定定 二、探討二、探討(tnto)的主要質(zhì)的主要質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)( (二二) ) 關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知與數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知與解讀解讀( (三三) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想的理解及其教學(xué)滲透關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想的理解及

8、其教學(xué)滲透( (四四) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)方略的探想關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)方略的探想 生活問題的數(shù)學(xué)化 數(shù)學(xué)應(yīng)用的生活化 事物之間的相互關(guān)系； 事件發(fā)生的內(nèi)在規(guī)律； 事情所蘊(yùn)含的事理。 由數(shù)學(xué)模型聯(lián)想實(shí)際應(yīng)用、有實(shí)際問題聯(lián)想相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、用數(shù)學(xué)模型解釋實(shí)際問題、事件、現(xiàn)象所蘊(yùn)含的原理。第6頁/共59頁第七頁，共59頁。 數(shù)學(xué)建模教學(xué)除了從數(shù)學(xué)外部獲得最初的來源和發(fā)展的原動(dòng)力之外，還應(yīng)當(dāng)從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的需求那里獲得資源和策動(dòng)力。對(duì)于運(yùn)用既有數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的數(shù)學(xué)問題時(shí)所形成的認(rèn)知沖突，直接利用數(shù)學(xué)原理、方法(fngf)與數(shù)學(xué)思維，建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型，以化解沖突，解決問題（如在整數(shù)范圍內(nèi)23的商無法

9、表示的問題，通過建立分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型去解決），這也是數(shù)學(xué)建模教學(xué)常用的基本方略。這也將是我們下一階段就數(shù)學(xué)模型思想及其滲透教學(xué)的主要研究內(nèi)容。第7頁/共59頁第八頁，共59頁。我們我們(w men)的認(rèn)識(shí)：的認(rèn)識(shí)： “數(shù)學(xué)(shxu)模型”與“模型思想”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)(shxu)課程標(biāo)準(zhǔn)賦予數(shù)學(xué)(shxu)教育的新的內(nèi)涵。 在廣義數(shù)學(xué)(shxu)模型觀下，數(shù)學(xué)(shxu)是關(guān)于模型的科學(xué)，數(shù)學(xué)(shxu)體系是由一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)(shxu)模型與模型系統(tǒng)構(gòu)成的模型體系。 對(duì)數(shù)學(xué)(shxu)的認(rèn)知，就是對(duì)數(shù)學(xué)(shxu)模型及其建構(gòu)方略的理解與掌握，它只有深刻到“模型”的意義上，才真正到達(dá)了

10、數(shù)學(xué)(shxu)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)(shxu)思想的層面。 “生活問題的數(shù)學(xué)(shxu)化”與“數(shù)學(xué)(shxu)應(yīng)用的生活化”是學(xué)生數(shù)學(xué)(shxu)模型思想養(yǎng)成教育的基本途徑和方略。 第8頁/共59頁第九頁，共59頁。敬請(qǐng)期待下一期敬請(qǐng)期待下一期(y q)的專題沙的專題沙龍！龍！謝謝謝謝(xi xie)領(lǐng)導(dǎo)領(lǐng)導(dǎo)同仁！同仁！第9頁/共59頁第十頁，共59頁。( (一一) )關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵分析與界數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵分析與界定定 二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 一個(gè)基本數(shù)學(xué)概念就是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)模型；而一個(gè)個(gè)彼此關(guān)聯(lián)(gunlin)的概念，縱橫貫通，在一定

11、的邏輯關(guān)系下形成多元結(jié)構(gòu)的概念群，便成為相對(duì)完整的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)。 縱向觀察分析：隨著某一數(shù)學(xué)概念的推廣與拓展，在屬種關(guān)系下，由一個(gè)屬概念派生的一個(gè)個(gè)種概念，又是一個(gè)個(gè)新的數(shù)學(xué)模型。 橫向觀察分析：伴隨著一個(gè)概念的產(chǎn)生，往往會(huì)有一些與之并列的概念或概念系統(tǒng)相應(yīng)地生成，它們也都是一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型與模型系統(tǒng)。 在廣義數(shù)學(xué)模型觀下，數(shù)學(xué)是關(guān)于模型的科學(xué)，數(shù)學(xué)體系是由一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型與模型系統(tǒng)構(gòu)成的模型體系。 第10頁/共59頁第十一頁，共59頁。( (二二) ) 關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)建模的認(rèn)知與解讀建模的認(rèn)知與解讀 數(shù)學(xué)模型建構(gòu)即數(shù)學(xué)建模，它是通過建立數(shù)學(xué)模型來描述、刻畫(khu)客觀

12、現(xiàn)實(shí)和解決實(shí)際問題的方法，也是一個(gè)有序、完整的系統(tǒng)操作（行為或思維）過程。它包括：從現(xiàn)實(shí)背景中發(fā)現(xiàn)和提出實(shí)際問題、實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題的模型化、運(yùn)用模型求解與解釋、對(duì)解與相應(yīng)模型的價(jià)值判斷、模型的變式與推廣應(yīng)用等。 第11頁/共59頁第十二頁，共59頁。( (二二) ) 關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知與數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知與解讀解讀數(shù)學(xué)建?？勺鳛?zuwi)陳述性知識(shí)表征，即視作解決問題的方法。 數(shù)學(xué)(shxu)建?？勺鳛槌绦蛐灾R(shí)表征，即視作解決問題的過程。 數(shù)學(xué)建模作為方法與過程的統(tǒng)一體，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的始終，是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的重要內(nèi)容，更是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的主要方式；是數(shù)學(xué)

13、學(xué)習(xí)的核心要素，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心環(huán)節(jié)；是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)和演繹數(shù)學(xué)思想的平臺(tái)，又是感悟數(shù)學(xué)價(jià)值和實(shí)施數(shù)學(xué)應(yīng)用的載體。第12頁/共59頁第十三頁，共59頁。( (二二) )關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知(rn zh)(rn zh)與解讀與解讀 一個(gè)數(shù)學(xué)概念常常就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，隨著它的拓展與推廣(tugung)，在種屬關(guān)系下所層層派生的一個(gè)個(gè)屬概念又是一個(gè)個(gè)新的數(shù)學(xué)模型。 在數(shù)學(xué)(shxu)概念下往會(huì)有相應(yīng)的數(shù)學(xué)(shxu)運(yùn)算、規(guī)則、法則、定律、性質(zhì)等等衍生。第13頁/共59頁第十四頁，共59頁。( (三三) )關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想(sxing)(sxing)的理解及其教學(xué)滲透

14、的理解及其教學(xué)滲透 所謂思想是指客觀存在反映(fnyng)在人的意識(shí)中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識(shí)。 數(shù)學(xué)模型思想是對(duì)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)模型建構(gòu)(jin u)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。 認(rèn)識(shí)來源于實(shí)踐，認(rèn)識(shí)的正確與否需要實(shí)踐的檢驗(yàn)。學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想來源于他們的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，來源于活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)模型、模型建構(gòu)及其內(nèi)在必然聯(lián)系的理解與思考，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模實(shí)踐是學(xué)生感悟與形成模型思想的最直接的載體和最有效的途徑。 第14頁/共59頁第十五頁，共59頁。二、探討的主要二、探討的主要(zhyo)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)數(shù)學(xué)史話數(shù)學(xué)史話(sh hu): 歐拉的七橋問題歐拉的七橋問題第15頁/共59頁第十六頁，共59頁。( (

15、三三) )關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想關(guān)于數(shù)學(xué)模型思想(sxing)(sxing)的理解及其教學(xué)滲透的理解及其教學(xué)滲透 無論是作為方法還是作為過程的建模教學(xué)都具有深刻的數(shù)學(xué)教育意義，這種意義主要體現(xiàn)(txin)為對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的滲透：對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟、理解模型思想的啟迪，對(duì)學(xué)生形成、確立模型思想的促進(jìn)，以及對(duì)學(xué)生理性精神的培養(yǎng)。 第16頁/共59頁第十七頁，共59頁。( (四四) )關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)(jio xu)(jio xu)方略的探想方略的探想 數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，一頭聯(lián)結(jié)著現(xiàn)實(shí)世界，一頭聯(lián)結(jié)著數(shù)學(xué)世界，它要對(duì)客觀事物或現(xiàn)象的本質(zhì)作數(shù)學(xué)化地描述與刻畫，要在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)之間通過(tnggu)映射、

16、反演的相互穿越，實(shí)現(xiàn)意義和理性的通達(dá)。 它應(yīng)當(dāng)(yngdng)是關(guān)于數(shù)學(xué)建模的方法在解決實(shí)際問題中的情境化地演繹與臨場(chǎng)式地習(xí)得； 它也應(yīng)當(dāng)是對(duì)于數(shù)學(xué)建模的過程在解決具體問題場(chǎng)景下的應(yīng)然性地預(yù)設(shè)與原生態(tài)地生成。 第17頁/共59頁第十八頁，共59頁。( (四四) )關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)(jio xu)(jio xu)方略的探想方略的探想 不管(bgun)是作為方法，還是作為過程的教與學(xué)的活動(dòng)； 也不管是作為教師一方的應(yīng)然性預(yù)設(shè)和情境化演繹，還是作為學(xué)生(xu sheng)一方的臨場(chǎng)式習(xí)得與原生態(tài)生成。 它都需要依賴于現(xiàn)實(shí)而具體的操作平臺(tái)和真切而實(shí)在的臨場(chǎng)體驗(yàn)、感悟，這種平臺(tái)的搭建與場(chǎng)

17、域氛圍的營造，需要有一個(gè)由現(xiàn)實(shí)的生活背景、鮮活的原始素材、典型的問題情境、翔實(shí)的探究過程等作為承載與支持的載體。 第18頁/共59頁第十九頁，共59頁。( (四四) )關(guān)于數(shù)學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)建模教學(xué)方略的探想建模教學(xué)方略的探想 從數(shù)學(xué)建模的角度去考察(koch)生活，容易發(fā)現(xiàn)許多生活問題其內(nèi)核和精髓，本質(zhì)上就近似或類似于數(shù)學(xué)模型的原型或雛形。 1.1.生活生活(shnghu)(shnghu)問題問題的數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)化 某些事物之間的相互關(guān)系 某些事件發(fā)生的內(nèi)在規(guī)律 某些事情所蘊(yùn)含的事理 第19頁/共59頁第二十頁，共59頁。( (四四) )關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)(ji

18、o xu)(jio xu)方略的探想方略的探想 生活問題的數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生(xu sheng)經(jīng)歷的是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，而數(shù)學(xué)應(yīng)用的生活化，則是讓學(xué)生(xu sheng)經(jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程。 2.2.數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)應(yīng)用的生應(yīng)用的生活化活化 新知形成時(shí)； 新知應(yīng)用時(shí)； 知識(shí)綜合應(yīng)用中。 第20頁/共59頁第二十一頁，共59頁。三、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)(shxu)建模教學(xué)的行與思建模教學(xué)的行與思( (一一) )激活經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備激活經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備(chbi) (chbi) 類化提煉建類化提煉建模模 第21頁/共59頁第二十二頁，共59頁。三、數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)(shxu)建模教

19、學(xué)的行與思建模教學(xué)的行與思( (一一) )激活經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備激活經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備(chbi) (chbi) 類化提類化提煉建模煉建模 1.1.激活生活經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備激活生活經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備(chbi)(chbi)，在簡約事理中建模，在簡約事理中建模第22頁/共59頁第二十三頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝，上衣每件有一種新款童裝，上衣每件9090元，褲子每條元，褲子每條6060元，元，學(xué)校學(xué)校(xuxio)(xuxio)舞蹈興趣組買來舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了多少套，一共花了多少錢？錢？1.1.說事理說事理(shl) (shl) 先求1套童裝（1件上衣和1條褲子）的錢，再求買8套童裝一共花的錢，或先求分別

20、求出8件上衣與8條褲子的錢，再求買8套童裝一共花的錢。 第23頁/共59頁第二十四頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝，上衣每件有一種新款童裝，上衣每件9090元，褲子每條元，褲子每條6060元，元，學(xué)校舞蹈學(xué)校舞蹈(wdo)(wdo)興趣組買來興趣組買來8 8套，一共花了多少錢？套，一共花了多少錢？2.2.事理的數(shù)學(xué)事理的數(shù)學(xué)(shxu)(shxu)概括概括 （1件上衣的錢+1條褲子的錢） 套數(shù)= 一共花的錢 1件上衣的錢件數(shù)+1條褲子的錢條數(shù)= 一共花的錢 即（1件上衣的錢+1條褲子的錢）套數(shù)=1件上衣的錢件數(shù)+1條褲子的錢條數(shù) 第24頁/共59頁第二十五頁，共59頁。案例：案例：

21、有一種有一種(y zhn(y zhn) )新款童裝，上衣每件新款童裝，上衣每件9090元，元，褲子每條褲子每條6060元，學(xué)校舞蹈興趣組買來元，學(xué)校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了套，一共花了多少錢？多少錢？3.3.事理事理(shl)(shl)向算理向算理的嬗變的嬗變 （90+60）8=1200 ; 908+608=1200 即 （90+60）8= 908+608 第25頁/共59頁第二十六頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝有一種新款童裝(tn(tn zhun zhun) )，上衣每件，上衣每件9090元，元，褲子每條褲子每條6060元，學(xué)校舞蹈興趣組買來元，學(xué)校舞蹈興趣組買來8 8套

22、，一共花了多少套，一共花了多少錢？錢？4. 4. 算理的推廣算理的推廣(tugung) (tugung) 你能找出類似于（90+60）8= 908+608這樣的等式嗎？第26頁/共59頁第二十七頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款童裝，上衣有一種新款童裝，上衣(shngy)(shngy)每件每件9090元，元，褲子每條褲子每條6060元，學(xué)校舞蹈興趣組買來元，學(xué)校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了套，一共花了多少錢？多少錢？5.5.算理的符號(hào)化算理的符號(hào)化數(shù)學(xué)模型的形成數(shù)學(xué)模型的形成(xngchng) (xngchng) 這樣的等式有多少？列舉得完嗎？你能想個(gè)辦法將它表示出來嗎？ 第27頁/共

23、59頁第二十八頁，共59頁。案例：案例： 有一種有一種(y zhn(y zhn) )新款童裝，上衣每件新款童裝，上衣每件9090元，褲子元，褲子每條每條6060元，學(xué)校舞蹈興趣組買來元，學(xué)校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了多少錢？套，一共花了多少錢？5.5.算理的符號(hào)化算理的符號(hào)化數(shù)學(xué)模型的形成數(shù)學(xué)模型的形成(xngchng) (xngchng) 兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于將這兩個(gè)數(shù)分另與一個(gè)數(shù)相乘，然后相加。 第28頁/共59頁第二十九頁，共59頁。案例：案例： 有一種新款有一種新款(xn kun)(xn kun)童裝，上衣每件童裝，上衣每件9090元，褲子每條元，褲子每條6060元，學(xué)校

24、舞蹈興趣組買來元，學(xué)校舞蹈興趣組買來8 8套，一共花了多少錢？套，一共花了多少錢？5.5.算理的符號(hào)化算理的符號(hào)化數(shù)學(xué)模型的形成數(shù)學(xué)模型的形成(xngchng) (xngchng) （a+b）c= ac+bc第29頁/共59頁第三十頁，共59頁。注意注意(zh (zh y)y)點(diǎn)：點(diǎn)： 選取的生活(shnghu)實(shí)例要典型，適切，具有代表性，蘊(yùn)含的事理要鮮明、易于學(xué)生捕捉和揭示，并便于他們進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理、抽象概括和表述； 領(lǐng)悟的事理，用列舉(lij)實(shí)例的方式進(jìn)行演繹、佐證，以及對(duì)事理作數(shù)學(xué)化推廣的環(huán)節(jié)是必不可少的； 算理的符號(hào)化表述數(shù)學(xué)表達(dá)式是數(shù)學(xué)模型的重要形式，應(yīng)當(dāng)盡可能多地采用。第30頁

25、/共59頁第三十一頁，共59頁。2.2.激活學(xué)習(xí)激活學(xué)習(xí)(xux)(xux)經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，在類比遷移中經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，在類比遷移中建模建模 建模教學(xué)中要充分利用學(xué)生先前獲得的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、建模經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生從既有的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和思想方法的遷移中類推、衍生并提煉、概括新的數(shù)學(xué)模型，把建模過程化作學(xué)生運(yùn)用遷移規(guī)律(gul)進(jìn)行自主探究的實(shí)踐和歷練過程。第31頁/共59頁第三十二頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：1.1.回溯回溯激活知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)激活知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)(jngyn)(jngyn)儲(chǔ)備，奠定遷移基儲(chǔ)備，奠定遷移基礎(chǔ)礎(chǔ) 師：402=？，你是怎么算的？為什么可以這樣算？生甲：是80，我用40+40，因?yàn)?

26、02表示2個(gè)40；生乙：是80，因?yàn)?0是4個(gè)十，4個(gè)十乘2是8個(gè)十，8個(gè)十是80；生丙：是80，先用42得8，再添一個(gè)0得80，因?yàn)?個(gè)4是8，所以2個(gè)40就是80。第32頁/共59頁第三十三頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：2.2.遷移遷移尋求算理、算法尋求算理、算法(sun f)(sun f)依據(jù)，續(xù)依據(jù)，續(xù)構(gòu)新的模型構(gòu)新的模型師：一圈跑道400米，小明跑2圈，求他跑多少米如何列式？生：4002。師：4002又該怎樣口算呢？請(qǐng)大家想一想，再把自己的想法與同伴們交流交流。生：略。（上述生甲、乙、丙敘述內(nèi)容的遷移）師：如果小明跑6圈，求他跑多少米又該怎樣列式呢？生：4006。師：現(xiàn)

27、在還用加法算嗎？（排除負(fù)遷移的干擾排除負(fù)遷移的干擾）生：不，太麻煩啦！師：那么，整百數(shù)乘一位數(shù)該怎樣算呢？生：先用一位數(shù)乘一位數(shù)，然后再添兩個(gè)0。（整百數(shù)乘一位數(shù)的口算模型整百數(shù)乘一位數(shù)的口算模型）第33頁/共59頁第三十四頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：3.3.聯(lián)想聯(lián)想(linxing)(linxing)運(yùn)用拓展、延伸機(jī)制，升華運(yùn)用拓展、延伸機(jī)制，升華遷移價(jià)值遷移價(jià)值 師：讀一讀下面的算式，并根據(jù)這些算式之間的聯(lián)系，把他們分分類。36=18 5700=3500 75=35 3006=1800 49=36 705=350 360=180生： 36 =18 75=35 49=36 3

28、60=180 705=350 3006=1800 7500=3500師：這樣分類的依據(jù)是什么？生：第一組在口算時(shí)都用“三六十八”這句口訣，第二組在口算時(shí)都用“五七三十五”這句口訣。第34頁/共59頁第三十五頁，共59頁。案例案例(n (n l)l)：3.3.聯(lián)想聯(lián)想運(yùn)用拓展、延伸運(yùn)用拓展、延伸(ynshn)(ynshn)機(jī)制，升華遷機(jī)制，升華遷移價(jià)值移價(jià)值 師：那么，類似這樣，根據(jù)49=36，你能聯(lián)想到哪些算式呢？生：409=360 、 4900=3600、 40009=36000、900004=360000 師：（小結(jié)）很好，你們憑借整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和自己的聰明才智，進(jìn)行類推，不僅找到了

29、整百數(shù)乘一位數(shù)的口算方法，而且創(chuàng)造性地聯(lián)想到整千、整萬數(shù)的口算方法，并且算得很好，老師真是佩服你們！第35頁/共59頁第三十六頁，共59頁。( (二二) )探解認(rèn)知沖突探解認(rèn)知沖突(chngt) (chngt) 思辨明理建模思辨明理建模 從數(shù)學(xué)史視閾審視數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，其根本的動(dòng)因是源于實(shí)際問題解決(jiju)的需要； 從本質(zhì)屬性上去考察數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，其實(shí)質(zhì)是在對(duì)客觀世界深刻認(rèn)識(shí)(rn shi)的基礎(chǔ)上所作出的定量刻畫和定性把握； 從學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效機(jī)理分析，其自身內(nèi)在的心里矛盾運(yùn)動(dòng)是最為理想的動(dòng)力策源。 第36頁/共59頁第三十七頁，共59頁。 實(shí)際問題的解決與學(xué)生既有認(rèn)知結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)等的矛

30、盾、沖突及其由此而觸發(fā)和引生的心理的、言語和行為方面的活動(dòng)，是一種推動(dòng)和促進(jìn)他們進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的重要的動(dòng)力資源和有效的途徑、方法。 在為學(xué)生設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)方案時(shí)，要圍繞他們認(rèn)知過程中的認(rèn)識(shí)質(zhì)點(diǎn)的逐步推進(jìn)，有層次地創(chuàng)設(shè)一些必要的認(rèn)知沖突，讓他們?cè)谔浇庹J(rèn)知沖突的思辨與實(shí)踐中頓悟明理，并逐步歸納、概括建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。 第37頁/共59頁第三十八頁，共59頁。第38頁/共59頁第三十九頁，共59頁。 課題課題(kt)(kt)在沖突中在沖突中提出；提出； “ “方位方位(fngwi)”(fngwi)”在在沖突中統(tǒng)一；沖突中統(tǒng)一； 方向(fngxing)在沖突中精準(zhǔn)； 模型在沖突中完善；模型在沖突中完善；第39

31、頁/共59頁第四十頁，共59頁。( (三三) )依托操作支撐依托操作支撐(zh chng) (zh chng) 循序遞推建循序遞推建模模 動(dòng)手操作，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(xux)中最直接、最具體、最利于從感性向理性抽象過渡的認(rèn)知、探究活動(dòng)。 學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生隨著操作思維和思維操作的交替往復(fù)，熟練程度會(huì)逐步提高，動(dòng)手操作將逐漸衰減淡出，理性思維將逐步遞進(jìn)攀升，頭腦中會(huì)漸漸(jinjin)地自發(fā)形成一些簡化了的、類似于條件反射式的認(rèn)知聯(lián)結(jié)，并且其基本內(nèi)涵與本質(zhì)屬性最終會(huì)以一定的圖式來表征建構(gòu)生成數(shù)學(xué)模型。 第40頁/共59頁第四十一頁，共59頁。案例案例(n l)(n l)：材料準(zhǔn)備：每位學(xué)生7枚面積(

32、min j)1平方厘米的正方形卡片。 長方形、正方形的面積計(jì)算方法的模型長方形、正方形的面積計(jì)算方法的模型(mxng)建構(gòu)建構(gòu)第41頁/共59頁第四十二頁，共59頁。建模過程建模過程(guchng)(guchng)： 1.1.擺測(cè)奠基擺測(cè)奠基(dinj)(dinj)，滋生算理，滋生算理生： （待大家擺好后集體交流）1行擺3個(gè)，擺了2行，一共擺了32=6（個(gè)），面積就是6平方厘米。 出示長方形（長3厘米，寬2厘米）：第42頁/共59頁第四十三頁，共59頁。2.2.設(shè)疑引探，推算設(shè)疑引探，推算(tu sun)(tu sun)遂就遂就生： 我有辦法了！第一行擺5個(gè)，還有2個(gè)這樣豎著擺，就可以知道（推

33、算出）能擺3行，一共擺53=15（個(gè)），面積是15平方厘米。 出示長方形（長5厘米，寬3厘米）：第43頁/共59頁第四十四頁，共59頁。生：不用擺了，根據(jù)圖中的格點(diǎn)能想到：（師引述：沿長的方向）一行(yxng)可以擺4個(gè)，（師引述：沿寬的方向）正好可以擺3行，一共能擺43=12（個(gè)），面積是12平方厘米。 3.3.引發(fā)引發(fā)(yn f)(yn f)聯(lián)想，棄擺從算聯(lián)想，棄擺從算出示 1厘米第44頁/共59頁第四十五頁，共59頁。 生：95=45（平方厘米） 4.4.循序循序(xnx)(xnx)遞推，確立遞推，確立算法算法出示5厘米9厘米第45頁/共59頁第四十六頁，共59頁。5.5.強(qiáng)算蓄勢(shì)，因勢(shì)

34、建模強(qiáng)算蓄勢(shì)，因勢(shì)建模 長 寬 面積（1） 7厘米 4厘米 ？（生：28平方厘米）（2） 10厘米 8厘米 ？（生：80平方厘米）第46頁/共59頁第四十七頁，共59頁。6.6.變式體驗(yàn)，完善變式體驗(yàn)，完善(wnshn)(wnshn)建構(gòu)建構(gòu) 長 寬 面積（1） 9厘米(l m) 5厘米(l m) ？（45平方厘米(l m)）（2） 8分米 4分米 ？（32平方分米） （3） 10分米 7分米 ？（70平方分米）（4） 6米 4米 ？（24平方米）（5） 5米 5米 ？（25平方米）第47頁/共59頁第四十八頁，共59頁。注意注意(zh (zh y)y)點(diǎn)：點(diǎn)：1. 操作僅僅是實(shí)施建模的一種前

35、期手段，操作的最終目的卻是為了(wi le)退出操作； 2. 操作的目的與意圖光是教師清楚還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還要設(shè)法通過滲透、啟發(fā)和借助情境的刺激、催化作用，將教學(xué)(jio xu)（操作）的目的轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)（操作）心理驅(qū)動(dòng)，并內(nèi)化為全體學(xué)生共同意識(shí)； 3. . 所有的操作要以建模目標(biāo)主線貫穿成鏈，主旨鮮明。操作內(nèi)容的選擇和組織要切合學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和建模的實(shí)際需要；操作目標(biāo)和要求要具體明確；操作方式要簡單方法要易行，既要尊重學(xué)生的選擇，又要服從建模的需要。 第48頁/共59頁第四十九頁，共59頁。( (四四) )遵循數(shù)理邏輯遵循數(shù)理邏輯 據(jù)理據(jù)理(j l)(j l)分類分類建模建模 數(shù)理邏輯(shl

36、-lu j) 分類是數(shù)學(xué)上常用的方法，也是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一條重要途徑和主要的方式、方法之一，有許許多多(x x du du)新的數(shù)學(xué)知識(shí)就是通過對(duì)既有知識(shí)的進(jìn)一步分類而分離或分化出來的。 分離：方程就是以“式子等式含有未知數(shù)的等式”這樣的序鏈進(jìn)行分類，從“式子”這一數(shù)學(xué)概念中分離出來的新的數(shù)學(xué)分支。 分化：小數(shù)就是從分母是10、100、1000這類分?jǐn)?shù)中分化出來的關(guān)于“數(shù)”的新的分支。第49頁/共59頁第五十頁，共59頁。 以新知識(shí)產(chǎn)生的背景為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)理邏輯通過分類建構(gòu)新知模型的方法，是學(xué)生追溯數(shù)學(xué)知識(shí)的本源(bnyun)、把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和生成新的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型的重要途徑與方法，它對(duì)于學(xué)生弄懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈、搞清數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)系和厘定數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，具有十分重要的作用。 第50頁/共59頁第五十一頁，共59頁。 運(yùn)用邏輯分類的方法幫助學(xué)生