數值分析誤差學習教案

1、會計學1數值數值(shz)分析誤差分析誤差第一頁，共44頁。2 數值分析是做什么用的？數值分析是做什么用的？數值數值分析分析輸入復雜問題或運算輸入復雜問題或運算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計算機計算機近似解近似解第2頁/共44頁第二頁，共44頁。3 研究對象研究對象 那些在理論上有解而又無法手工那些在理論上有解而又無法手工(shugng)計算的數學問題計算的數學問題 例例 解解300階的線性方程組階的線性方程組 求求6階矩陣階矩陣(j zhn)的全部特征值的全部特征值第3頁/共44頁第三頁，共44頁。4主要主要(zhyo)內容內容 數值數值(shz)代數代數近似

2、求解線性方程組近似求解線性方程組 (直接解法直接解法, 迭代解法迭代解法)矩陣特征值的計算矩陣特征值的計算 數值數值(shz)逼近：逼近：插值法，函數逼近插值法，函數逼近 數值微分與數值積分數值微分與數值積分 微分方程近似求解微分方程近似求解 非線性方程求解非線性方程求解 常微分方程數值解法常微分方程數值解法 偏微分方程數值解法偏微分方程數值解法第4頁/共44頁第四頁，共44頁。5第一章第一章 誤差誤差(wch)2 絕對誤差、相對誤差絕對誤差、相對誤差(xin du w ch)和有效數字和有效數字3 數值計算數值計算(j sun)中誤差的傳播中誤差的傳播4 數值計算中應注意的幾個問題數值計算中

3、應注意的幾個問題1 誤差的來源誤差的來源 第5頁/共44頁第五頁，共44頁。61 誤差誤差(wch)的來源的來源 誤差按來源誤差按來源(liyun)可分為：可分為： 模型誤差模型誤差 觀測誤差觀測誤差 截斷誤差截斷誤差 舍入誤差舍入誤差第6頁/共44頁第六頁，共44頁。7 模型誤差模型誤差 數學模型通常是由實際問題抽象得到的，一數學模型通常是由實際問題抽象得到的，一般般(ybn)帶有誤差，這種誤差稱為模型誤差帶有誤差，這種誤差稱為模型誤差. 觀測誤差觀測誤差 數學模型中包含的一些數學模型中包含的一些(yxi)物理參數通物理參數通常是通過觀測和實驗得到的，難免帶有誤差，這種誤差常是通過觀測和實驗

4、得到的，難免帶有誤差，這種誤差稱為觀測誤差稱為觀測誤差. 截斷誤差截斷誤差 求解數學模型所用求解數學模型所用(su yn)的數值的數值方法通常是一種近似方法，這種因方法產生的誤差稱方法通常是一種近似方法，這種因方法產生的誤差稱為截斷誤差或方法誤差為截斷誤差或方法誤差.第7頁/共44頁第七頁，共44頁。8 543251413121)1ln(xxxxxx實際實際(shj)計算時只能截取有限項代數和計算，如取前計算時只能截取有限項代數和計算，如取前5項有：項有：5141312112ln 這里產生這里產生(chnshng)誤差誤差 (記作記作R5 )截斷誤差截斷誤差 8171615R例如，利用例如，利

5、用 ln(x+1) 的的Taylor公式公式(gngsh)計算計算 ln2,第8頁/共44頁第八頁，共44頁。9 舍入誤差舍入誤差 由于計算機只能對有限位數進由于計算機只能對有限位數進行行, e原則保留有限位，這時產生的誤差稱為原則保留有限位，這時產生的誤差稱為舍入誤舍入誤差差。, 231等都要按舍入等都要按舍入運算，在運算中像運算，在運算中像在數值在數值(shz)分析中，均假定數學模型是準確的，因而分析中，均假定數學模型是準確的，因而不考慮模型誤差和觀測誤差，只討論截斷誤差和舍入誤不考慮模型誤差和觀測誤差，只討論截斷誤差和舍入誤差對計算結果的影響差對計算結果的影響.第9頁/共44頁第九頁，共

6、44頁。10 設設x* 是準確值是準確值x 的一個的一個(y )近似值，記近似值，記e=x x*稱稱 e為近似值為近似值 x* 的絕對誤差，簡稱誤差的絕對誤差，簡稱誤差.絕對誤差一般很難準確計算絕對誤差一般很難準確計算(j sun), 但可以估計上界但可以估計上界. 絕對誤差絕對誤差(ju du w ch)則稱則稱 為近似值為近似值 x* 的的絕對誤差限絕對誤差限，簡稱誤差限，簡稱誤差限. 若若 滿足滿足 |e2 絕對誤差、相對誤差和有效數字絕對誤差、相對誤差和有效數字第10頁/共44頁第十頁，共44頁。11例例 用毫米用毫米(ho m)刻度的米尺測量一長度刻度的米尺測量一長度 x, 如讀如讀

7、出的長度是出的長度是 x*=765 mm, 由于誤差限是由于誤差限是 0.5 mm, 故故準確值準確值.mm5 .765,mm5 .764 x 精確精確(jngqu)值值x , 近似值近似值 x* 和誤差限和誤差限 之之間滿足：間滿足：通常通常(tngchng)記為記為 *xxx *xx 第11頁/共44頁第十一頁，共44頁。12 絕對誤差絕對誤差(ju du w ch)有時并不能完全地反有時并不能完全地反映近似值的好壞，如測量映近似值的好壞，如測量 100 m 和和 10 m 兩個長度兩個長度，若它們的絕對誤差，若它們的絕對誤差(ju du w ch)都是都是 1 cm，顯然前者的測量結果比

8、后者的準確顯然前者的測量結果比后者的準確. 因此，決定一個量的近似值的精確度，除了要因此，決定一個量的近似值的精確度，除了要看絕對誤差看絕對誤差(ju du w ch)外，還必須考慮該量外，還必須考慮該量本身的大小本身的大小.第12頁/共44頁第十二頁，共44頁。13稱稱 er 為近似值為近似值 x* 的的相對誤差相對誤差. 記記,*xxxxeer 由于由于 x 未知，實際使用時總是未知，實際使用時總是(zn sh)將將 x* 的相的相對誤差取為對誤差取為*xxxxeer .|rre 相對誤差相對誤差(xin du w ch) 稱為近似值稱為近似值x*的的相對誤差限相對誤差限. |*| xr

9、第13頁/共44頁第十三頁，共44頁。14例例 設設 x*=1.24是由精確值是由精確值 x 經過經過(jnggu)四舍五入得四舍五入得到的近似值到的近似值, 求求x*的絕對誤差限和相對誤差限的絕對誤差限和相對誤差限.由已知可得由已知可得:所以所以(suy) =0.005,245. 1235. 1 x%.4 . 024. 1005. 0 r 解解 一般地一般地, 凡是由準確值經過四舍五入得到的近似凡是由準確值經過四舍五入得到的近似值值, 其絕對誤差限等于其絕對誤差限等于(dngy)該近似值末位的半該近似值末位的半個單位個單位.第14頁/共44頁第十四頁，共44頁。15有有 位有效數字，精確到小

10、數點后第位有效數字，精確到小數點后第 位位* 有效數字有效數字(yu xio sh z) 若近似值若近似值 x*滿足滿足 則稱則稱 x*準確到小數點后第準確到小數點后第n位位. 并把從第一個非零數字到并把從第一個非零數字到這一位的所有數字均稱為這一位的所有數字均稱為有效數字有效數字.,1021|*|nxx 1415.3*.;8979321415926535.3 例例：問：問： 有幾位有效數字？有幾位有效數字？* 31050* .|解：解：43第15頁/共44頁第十五頁，共44頁。16例例 已知下列近似值的絕對誤差限都是已知下列近似值的絕對誤差限都是0.005, 問問它們它們(t men)具有幾

11、位有效數字具有幾位有效數字? a=12.175, b=0.10, c=0.1, d=0.0032由于由于(yuy)0.0050.5102,解解所以所以(suy)a 有有4位有效數字位有效數字1, 2, 1,7; b 有有2位有效數字位有效數字1, 0;c 有有1位有效數字位有效數字1;d 沒有有效數字沒有有效數字.第16頁/共44頁第十六頁，共44頁。17數數x*總可以寫成如下形式總可以寫成如下形式.10. 0*21mnaaax x* 作為作為x的近似值的近似值, 具有具有n位有效數字當且僅當位有效數字當且僅當nmxx 1021*其中其中m是整數是整數, ai是是0到到9中的一個數字中的一個數

12、字,. 01 a由此可見由此可見, 近似值的有效數字近似值的有效數字(yu xio sh z)越多越多, 其絕對其絕對誤差越小誤差越小. 有效數字的另一等價有效數字的另一等價(dngji)定義定義第17頁/共44頁第十七頁，共44頁。18故取故取 n=6，即取，即取 6 位有效數字位有效數字(yu xio sh z). 此時此時 x*=1.41421.解解則近似值則近似值x*可寫為可寫為由于由于 ,414. 12 ,10. 0*121 naaax. 011 a51101021*2 nx令令例例 為了為了(wi le)使使 的近似值的絕對誤差小于的近似值的絕對誤差小于105，問應取幾位有效數字？

13、，問應取幾位有效數字？2 x第18頁/共44頁第十八頁，共44頁。19 相對誤差限與有效數字相對誤差限與有效數字(yu xio sh z)之間的關系之間的關系.111211021.021010.01050 nnmnnmra.aaa.a.x* 有效數字有效數字(yu xio sh z) 相對誤差限相對誤差限已知已知 x* =0.a1a2an10m有有 n 位有效數字位有效數字(yu xio sh z)，則其相對誤差限為，則其相對誤差限為第19頁/共44頁第十九頁，共44頁。20nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(21010.0)1(210|*|*|11112111 相對誤

14、差相對誤差(xin du w ch)限限 有效數字有效數字1110)1(21 nra已知已知 x* 的的相對誤差限相對誤差限可寫為可寫為則則可見可見 x* 至少至少(zhsho)有有 n 位有效數字位有效數字.第20頁/共44頁第二十頁，共44頁。21 基本運算基本運算(yn sun)中中( )的誤差估計的誤差估計,105 . 0|414. 12|3 ,105 . 0|236. 25|3 問問?|414. 1236. 225| ?236. 2414. 152 3 數值計算數值計算(j sun)中誤差中誤差的傳播的傳播如如第21頁/共44頁第二十一頁，共44頁。22例例 計算計算 A=f (x1

15、, x2). 如果如果x1, x2的近似值為的近似值為 x1*, x2*, 則則A的近似值為的近似值為 A*=f (x1*, x2*), 用多元用多元函數函數(hnsh)微分近似公式可以得到微分近似公式可以得到*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)*,(),(*)(2221112122221111212121xexxxfxexxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfAAAe 絕對誤差絕對誤差(ju du w ch) e 運算可近似看成微分運算運算可近似看成微分運算.第22頁/共44頁第二十二頁，共44頁。23由此可以得到由此可以得到(d do)基本運算中基本運算

16、中( )的誤差估計的誤差估計,),()()(2121xexexxe 和差的誤差和差的誤差(wch)限不超過各數的誤限不超過各數的誤差差(wch)限之和限之和.| )(| )(| )(|2121xexexxe 第23頁/共44頁第二十三頁，共44頁。24)()()()()(212121211221xexexxxexxxxexxxerrr ),()()(211221xexxexxxe | )(| )(| )(|2121xexexxerrr 乘法相對誤差乘法相對誤差(xin du w ch)限不超過各數相對誤差限不超過各數相對誤差(xin du w ch)限之和限之和.第24頁/共44頁第二十四頁，

17、共44頁。25,)()(22211221xxexxexxxe ).()()()(211222211221xexexxxxexxexxxerrr 乘除相對誤差乘除相對誤差(xin du w ch)限不超過各數相對誤差限不超過各數相對誤差(xin du w ch)限之和限之和. | )(| )(|2121xexexxerrr 第25頁/共44頁第二十五頁，共44頁。26例例 設設 y=xn, 求求 y 的相對誤差的相對誤差(xin du w ch)與與 x 的相對誤差的相對誤差(xin du w ch)之間的關系之間的關系.解解)()()(1xenxxeyenn )()()()()(1xnexxe

18、nxxenxyyeyernnr 所以所以(suy)xn 的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的n倍倍.x2的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的 2 倍倍,x的相對誤差的相對誤差(xin du w ch)是是 x 的相對誤差的相對誤差(xin du w ch)的的 1/2 倍倍.第26頁/共44頁第二十六頁，共44頁。27 算法算法(sun f)的數值穩(wěn)定性的數值穩(wěn)定性 一種數值算法一種數值算法, 如果如果(rgu)其計算舍入誤差積其計算舍入誤差積累是可控制的累是可控制的, 則稱其為數值穩(wěn)定的則稱其為數值穩(wěn)定的, 反之稱為數反之稱為數值不穩(wěn)定的值不穩(wěn)定的.第27

19、頁/共44頁第二十七頁，共44頁。28 101dxexIxnn利用分部積分法可得計算利用分部積分法可得計算(j sun)In的的遞推公式遞推公式, 2 , 11, 1 nnIInn例例 計算計算(j sun)積分積分算法算法(sun f)1： 1010dxeIx, 2 , 11, 1 nnIInn6321. 0632120558. 011 e由此遞推計算由此遞推計算 I1, I2, , I9.解解第28頁/共44頁第二十八頁，共44頁。291 , 2 , 8 , 9, )1(11 nInInn 10109919110110dxxIdxexe取近似值取近似值,0684. 0)10110(2119

20、 eI由此計算由此計算(j sun) I8, I7, , I0.并將計算公式改寫并將計算公式改寫(gixi)為為算法算法(sun f)2：此時此時10121|1*99 eII.0316. 0 第29頁/共44頁第二十九頁，共44頁。30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法(sun f)10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法(sun f)20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.0916第30頁/共44頁第三十頁，共44頁。31 對任何對任何 n都應有都應有In0, 但算法但算法1的計算結果顯示的計算結果顯示I8 (n+1)n!當當n=25時時, 在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為