空間內(nèi)插方法比較

1、一、空間數(shù)據(jù)的插值用各種方法采集的空間數(shù)據(jù)往往是按用戶自己的要求獲取的采樣觀測(cè)值，亦既數(shù)據(jù)集合是由感興趣的區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)或規(guī)則網(wǎng)點(diǎn)上的觀測(cè)值組成的。但有時(shí)用戶卻需要獲取未觀測(cè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)，而已觀測(cè)點(diǎn)上的數(shù)據(jù)的空間分布使我們有可能從已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)推算出未知點(diǎn)的數(shù)據(jù)值。在已觀測(cè)點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)估算未觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)的過(guò)程稱為內(nèi)插；在已觀測(cè)點(diǎn)的區(qū)域外估算未觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)的過(guò)程稱為外推?？臻g數(shù)據(jù)的內(nèi)插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情況下，空間位置越靠近的點(diǎn)越有可能獲得與實(shí)際值相似的數(shù)據(jù)，而空間位置越遠(yuǎn)的點(diǎn)則獲得與實(shí)際值相似的數(shù)據(jù)的可能性越小。下面介紹一些常用的內(nèi)插方法。1、邊界內(nèi)插使用邊界內(nèi)插法時(shí)，首先要假定任何

2、重要的變化都發(fā)生在區(qū)域的邊界上，邊界內(nèi)的變化則是均勻的、同質(zhì)的。邊界內(nèi)插的方法之一是泰森多邊形法。泰森多邊形法的基本原理是，未知點(diǎn)的最佳值由最鄰近的觀測(cè)值產(chǎn)生。如圖4-6-1所示。 泰森多邊形的生成算法見(jiàn)5.7。2、趨勢(shì)面分析趨勢(shì)面分析是一種多項(xiàng)式回歸分析技術(shù)。多項(xiàng)式回歸的基本思想是用多項(xiàng)式表示線或面，按最小二乘法原理對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合時(shí)假定數(shù)據(jù)點(diǎn)的空間坐標(biāo)X、Y為獨(dú)立變量，而表示特征值的Z坐標(biāo)為因變量。當(dāng)數(shù)據(jù)為一維時(shí)，可用回歸線近似表示為：其中，a0、a1為多項(xiàng)式的系數(shù)。當(dāng)n個(gè)采樣點(diǎn)方差和為最小時(shí)，則認(rèn)為線性回歸方程與被擬合曲線達(dá)到了最佳配準(zhǔn)，如圖4-6-2左圖所示，即： 當(dāng)數(shù)據(jù)以更為復(fù)

3、雜的方式變化時(shí)，如圖4-6-2右圖所示。在這種情況下，需要用到二次或高次多項(xiàng)式： （二次曲線） 在GIS中，數(shù)據(jù)往往是二維的，在這種情況下，需要用到二元二次或高次多項(xiàng)式： （二次曲面） 多項(xiàng)式的次數(shù)并非越高越好，超過(guò)3次的多元多項(xiàng)式往往會(huì)導(dǎo)致奇異解，因此，通常使用二次多項(xiàng)式。 趨勢(shì)面是一種平滑函數(shù)，難以正好通過(guò)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，除非數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和多項(xiàng)式的系數(shù)的個(gè)數(shù)正好相同。這就是說(shuō)，多重回歸中的殘差屬正常分布的獨(dú)立誤差，而且趨勢(shì)面擬合產(chǎn)生的偏差幾乎都具有一定程度的空間非相關(guān)性。 3、局部?jī)?nèi)插在GIS中，實(shí)際的連續(xù)空間表面很難用一種數(shù)學(xué)多項(xiàng)式來(lái)描述，因此，往往使用局部?jī)?nèi)插技術(shù)，即利用局部范圍內(nèi)的已知采樣點(diǎn)

4、的數(shù)據(jù)內(nèi)插出未知點(diǎn)的數(shù)據(jù)。常用的有線性內(nèi)插、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插、雙三次多項(xiàng)式（樣條函數(shù)）內(nèi)插。(1)、線性內(nèi)插線性內(nèi)插的多項(xiàng)式函數(shù)為：只要將內(nèi)插點(diǎn)周圍的3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可解算出系數(shù)a0、a1、a2 。(2)、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插的多項(xiàng)式函數(shù)為： 只要將內(nèi)插點(diǎn)周圍的4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可解算出系數(shù)a0、a1、a2、a3 。如果數(shù)據(jù)是按正方形格網(wǎng)點(diǎn)布置的（如圖4-6-3），則可用簡(jiǎn)單的公式即可計(jì)算出內(nèi)存點(diǎn)的數(shù)據(jù)值。設(shè)正方形的四個(gè)角點(diǎn)為A、B、C、D，其相應(yīng)的特征值為ZA、ZB、ZC、ZD，P點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的坐標(biāo)為dX、dY，則插值點(diǎn)的特征值Z為：(3)、雙三次多

5、項(xiàng)式（樣條函數(shù)）內(nèi)插雙三次多項(xiàng)式是一種樣條函數(shù)。樣條函數(shù)是一種分段函數(shù)，對(duì)于n次多項(xiàng)式，在邊界處其n-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。因此，樣條函數(shù)每次只用少量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，故內(nèi)插速度很快；樣條函數(shù)通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，故可用于精確的內(nèi)插，可以保留微地貌特征；樣條函數(shù)的n-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故可用于平滑處理。雙三次多項(xiàng)式內(nèi)插的多項(xiàng)式函數(shù)為：將內(nèi)插點(diǎn)周圍的16個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)帶入多項(xiàng)式，可計(jì)算出所有的系數(shù)。4、移動(dòng)平均法在未知點(diǎn)X處內(nèi)插變量Z的值時(shí)，最常用的方法之一是在局部范圍（或稱窗口）內(nèi)計(jì)算個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值。既：對(duì)于二維平面的移動(dòng)平均法也可用相同的公式，但位置Xi應(yīng)被坐標(biāo)矢量Xi代替。窗口的大小對(duì)內(nèi)插的結(jié)果有決定性的影響。小窗

6、口將增強(qiáng)近距離數(shù)據(jù)的影響；大窗口將增強(qiáng)遠(yuǎn)距離數(shù)據(jù)的影響，減小近距離數(shù)據(jù)的影響。當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)的相互位置越近，其數(shù)據(jù)的相似性越強(qiáng)；當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)的相互位置越遠(yuǎn)，其數(shù)據(jù)的相似性越低。因此，在應(yīng)用移動(dòng)平均法時(shí)，根據(jù)采樣點(diǎn)到內(nèi)插點(diǎn)的距離加權(quán)計(jì)算是很自然的。這就是加權(quán)移動(dòng)平均法，即： 其中，i是采樣點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的權(quán)值，常取的形式有： 加權(quán)平均內(nèi)插的結(jié)果隨使用的函數(shù)及其參數(shù)、采樣點(diǎn)的分布、窗口的大小等的不同而變化。通常使用的采樣點(diǎn)數(shù)為68點(diǎn)。對(duì)于不規(guī)則分布的采樣點(diǎn)需要不斷地改變窗口的大小、形狀和方向，以獲取一定數(shù)量的采樣點(diǎn)。空間內(nèi)插方法比較(空間統(tǒng)計(jì)學(xué))摘 要：空間內(nèi)插可以分為幾何方法、統(tǒng)計(jì)方法、空間統(tǒng)計(jì)方法、函數(shù)方法、

7、隨機(jī) 模擬方法、物理模型模擬方法和綜合方法。介紹了每一種方法的適用范圍、算法和優(yōu)缺點(diǎn)。指出沒(méi)有絕對(duì)最優(yōu)的空間內(nèi)插方法，必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行空間探索分析，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，選擇最優(yōu)方法；同時(shí)，應(yīng)對(duì)內(nèi)插結(jié)果做嚴(yán)格的檢驗(yàn)。開(kāi)發(fā)通用空間內(nèi)插軟件、 智能化內(nèi)插以及加強(qiáng)相關(guān)基礎(chǔ)研究將是空間內(nèi)插研究的重點(diǎn)。 1 空間內(nèi)插 根 據(jù)已知地理空間的特性探索未知地理空間的特性是許多地理研究的第一步，也是地理學(xué)的 基本問(wèn)題。常規(guī)方法無(wú)法對(duì)空間中所有點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，但是我們可以獲得一定數(shù)量的空間樣本，這些樣本反映了空間分布的全部或部分特征，并可以據(jù)此預(yù)測(cè)未知地理空間的特征。在這 一意義上，空間內(nèi)插可以被定義為根據(jù)已知的空間數(shù)據(jù)估計(jì)

8、（預(yù)測(cè)）未知空間的數(shù)據(jù)值。其目標(biāo)可以歸納為：缺值估計(jì)：估計(jì)某一點(diǎn)缺失的觀測(cè)數(shù)據(jù)，以提高數(shù)據(jù)密度；內(nèi)插等值線：以等值線的形式直觀地顯示數(shù)據(jù)的空間分布；數(shù)據(jù)格網(wǎng)化：把無(wú)規(guī)則分布的空間數(shù) 據(jù)內(nèi)插為規(guī)則分布的空間數(shù)據(jù)集，如規(guī)則矩形格網(wǎng)、三角網(wǎng)等。 空 間內(nèi)插對(duì)于觀測(cè)臺(tái)站十分稀少，而臺(tái)站分布又非常不合理的地區(qū)具有十分重要的實(shí)際意義 。這些地區(qū)的常規(guī)觀測(cè)常常不能滿足要求，在這種情況下，利用有限的常規(guī)觀測(cè)估計(jì)合理的空間分布，或盡可能地提高數(shù)據(jù)密度就成為迫切要求。在這些方面，缺值估計(jì)和數(shù)據(jù)格網(wǎng)化 將發(fā)揮重要的作用。 (1) 缺值估計(jì)。各種科學(xué)考察中形式多樣的短期觀測(cè)是提高數(shù)據(jù)觀測(cè)密度的重要方式， 無(wú)形中起到了

9、加密臺(tái)站的作用；而且由于這些考察常常到達(dá)人跡罕至的高海拔和極地等區(qū)域 ，有助于了解區(qū)域內(nèi)觀測(cè)變量的完整空間分布。但是，這些觀測(cè)序列往往很短，短則數(shù)十天，長(zhǎng)不過(guò)幾年。如何利用周圍臺(tái)站的長(zhǎng)序列觀測(cè)資料和短期觀測(cè)本身的信息，將觀測(cè)變量插 補(bǔ)到長(zhǎng)序列是一個(gè)重要問(wèn)題。 (2) 數(shù)據(jù)格網(wǎng)化。規(guī)則格網(wǎng)能夠更好地反映連續(xù)分布的空間現(xiàn)象，并對(duì)他們的變化作出模擬。現(xiàn)代地球科學(xué)模型和氣候模型，如GCM（一般環(huán)流模型），都要求與GIS數(shù)據(jù)模型和遙 感數(shù)據(jù)高度兼容的空間數(shù)據(jù)集。格網(wǎng)化的數(shù)據(jù)，尤其是規(guī)則矩形格網(wǎng)，已成為目前地學(xué)模型 的主要數(shù)據(jù)形式。因此，對(duì)已知觀測(cè)臺(tái)站的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行空間內(nèi)插，得到格網(wǎng)化數(shù)據(jù)是模型的第一步。

10、 空間內(nèi)插一般包括這樣幾個(gè)過(guò)程：內(nèi)插方法（模型）的選擇；空間數(shù)據(jù)的探索分析，包括對(duì)數(shù)據(jù)的均值、方差、協(xié)方差、獨(dú)立性和變異函數(shù)的估計(jì)等；內(nèi) 插方法評(píng)價(jià)；重新選擇內(nèi)插方法，直到合理；內(nèi)插。 因此，通過(guò)比較而選擇一個(gè)合用的、適合于數(shù)據(jù)空間分布特點(diǎn)的內(nèi)插方法是空間內(nèi)插的關(guān)鍵 。本文將空間內(nèi)插分類為幾何方法、統(tǒng)計(jì)方法、空間統(tǒng)計(jì)方法、函數(shù)方法、隨機(jī)模擬方法、物理模型模擬方法和綜合方法，通過(guò)比較研究，指出每一種方法的適用范圍、算法和優(yōu)缺點(diǎn) 。 2 空間內(nèi)插方法比較 空間內(nèi)插可依據(jù)：確定或隨機(jī)；點(diǎn)與面；全局或局部等標(biāo)準(zhǔn)分類。本文依據(jù)內(nèi)插方法的基本假設(shè)和數(shù)學(xué)本質(zhì)，把空間內(nèi)插分類為以下幾種方法。 2.1幾何方法

11、是 最簡(jiǎn)單的空間內(nèi)插方法。幾何方法基于“地理學(xué)第一定律”的基本假設(shè)，即鄰近的區(qū)域比距離遠(yuǎn)的區(qū)域更相似。幾何方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算開(kāi)銷少，具有普適性，不需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)對(duì)方法加以調(diào)整。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的密度足夠大時(shí)，幾何方法一般能達(dá)到滿 意的精度。幾何方法的最大問(wèn)題是，無(wú)法對(duì)誤差進(jìn)行理論估計(jì)。最常用的幾何方法有泰森多邊形（最近距離法）和反距離加權(quán)方法。 泰森多邊形（最近距離法） 泰森多邊形用于生成“領(lǐng)地”或控制區(qū)域。實(shí)際上，盡管泰森多邊形產(chǎn)生于氣候?qū)W領(lǐng)域，它卻特別適合于專題數(shù)據(jù)的內(nèi)插，因?yàn)樗蓪ｎ}與專題之間明顯的邊界，不會(huì)有不同級(jí)別之間的中間現(xiàn)象。泰森多邊形的算法非常簡(jiǎn)單，未采樣點(diǎn)的值等于與它距離最近的

12、 采樣點(diǎn)的值。 反距離加權(quán)方法 反距離加權(quán)法是最常用的空間內(nèi)插方法之一。它認(rèn)為與未采樣點(diǎn)距離最近的若干個(gè) 點(diǎn)對(duì)未采樣點(diǎn)值的貢獻(xiàn)最大，其貢獻(xiàn)與距離成反比?？捎孟率奖硎荆?(1) 式中，Z是估計(jì)值，Zi是第i（i=1，n）個(gè)樣本，i是距離，p是距離的冪，它顯著影響內(nèi)插的結(jié)果，它的選擇標(biāo)準(zhǔn)是最小平均絕對(duì)誤差。Husar等的研究結(jié)果表明，冪越高，內(nèi)插結(jié)果越具有平滑的效果。 2.2統(tǒng)計(jì)方法 其 基本假設(shè)是，一系列空間數(shù)據(jù)相互相關(guān)，預(yù)測(cè)值的趨勢(shì)和周期是與它相關(guān)的其它變量的函數(shù)。統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算開(kāi)銷不大，有一定的理論基礎(chǔ)，能夠?qū)φ`差作出整體上的估計(jì)。 但是，其前提是一定要有好的采樣設(shè)計(jì)，如果采樣過(guò)程不能

13、反映出表面變化的重要因素，如周期性和趨勢(shì)，則內(nèi)插一定不能取得好的效果。常用的統(tǒng)計(jì)方法有趨勢(shì)面方法和多元回歸方法。 趨勢(shì)面 趨勢(shì)面根據(jù)有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合曲面，進(jìn)行內(nèi)插。它適用于：能以空間的視點(diǎn)詮釋趨勢(shì)和殘差；觀測(cè)有限，內(nèi)插也基于有限的數(shù)據(jù)。當(dāng)趨勢(shì)和殘差分別能與區(qū)域和局部尺度的空間 過(guò)程相聯(lián)系時(shí)，趨勢(shì)面分析最有用。 趨勢(shì)面方法可以被定義為： y=A+e (2) 式中，y是n1維矩陣，對(duì)應(yīng)于n個(gè)樣本；A是n個(gè)樣本的坐標(biāo)矩陣；是趨勢(shì)面參數(shù)矩陣。A和依賴于趨勢(shì)面的次數(shù)。趨勢(shì)面的次數(shù)是它最重要的特征。 e是殘差，通常是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量。當(dāng)殘差是隨機(jī)獨(dú)立時(shí)，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)有效；但實(shí)際上，趨勢(shì)面中的殘差常是自相關(guān)（

14、特別是趨勢(shì)面的次數(shù)較低時(shí)），因此，檢驗(yàn)是顯著有偏差的。殘差的空間自相關(guān)可以用隨機(jī)過(guò)程模型模擬。 由于趨勢(shì)面的以上特性，它的目標(biāo)有時(shí)并非最佳擬合，而是把數(shù)據(jù)分成區(qū)域趨勢(shì)組分和局部的殘差。 多元回歸 在各種統(tǒng)計(jì)方法中，使用較多的是回歸分析，其特點(diǎn)是不需要分布的先驗(yàn)知識(shí)。 多 元回歸在數(shù)學(xué)形式上與趨勢(shì)面很相似，但是，它們又有著顯著的不同。首先，在趨勢(shì)面分析中，A是坐標(biāo)矩陣，而在回歸分析中，它可以是任意變量。其次，在趨勢(shì)面方法中，模 型的擬合嚴(yán)格地遵從自常數(shù)、一次、二次、立方等的順序，主要的問(wèn)題是確定模型的次數(shù)， 因此，趨勢(shì)面分析有內(nèi)在的多重共線性問(wèn)題；而在多元回歸中，盡管也存在多重共線性，但它并非內(nèi)

15、在的，可以通過(guò)逐步回歸解決，因此，相對(duì)于趨勢(shì)面的選擇次數(shù)，多元回歸的核心 問(wèn)題是選擇變量（主成分分析等方法有助于選擇變量）和區(qū)分模型。 2.3空間統(tǒng)計(jì)（Geostatistics）方法 空間統(tǒng)計(jì)又稱地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)，于20世紀(jì)50年代初開(kāi)始形成，60年代在 法國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Matheron的大量理論研究工作基礎(chǔ)上逐漸趨于成熟。其基本假設(shè)是建立在空間相關(guān)的先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭系?。假定空間隨機(jī)變量具有二階平穩(wěn)性，或者是服從空間統(tǒng)計(jì)的本征假設(shè)（in trinsic hypothesis。則它具有這樣的性質(zhì)：距離較近的采樣點(diǎn)比距離遠(yuǎn)的采樣點(diǎn)更相似，相似的程度、或空間協(xié)方差的大小，是通過(guò)點(diǎn)對(duì)的平均方差度量的。點(diǎn)對(duì)差異的方

16、差大小只與采樣點(diǎn)間的距離有關(guān)，而與它們的絕對(duì)位置無(wú) 關(guān)。空間統(tǒng)計(jì)內(nèi)插的最大優(yōu)點(diǎn)是以空間統(tǒng)計(jì)學(xué)作為其堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，可以克服內(nèi)插中誤差難以分析的問(wèn)題， 能夠?qū)φ`差做出逐點(diǎn)的理論估計(jì)；它也不會(huì)產(chǎn)生回歸分析的邊界效應(yīng)。缺點(diǎn)是復(fù)雜，計(jì)算量大，尤其是變異函數(shù)（variogram）是幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)變異函數(shù)模型的組合時(shí)，計(jì)算量很大；另一 個(gè)缺點(diǎn)是變異函數(shù)需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)人為選定?？臻g統(tǒng)計(jì)方法以Kriging及其各種變種（Cokri ging等）為代表。 Kriging內(nèi)插 (1） Kriging內(nèi)插的公式 Kriging內(nèi)插由南非地質(zhì)學(xué)家Krige發(fā)明，并因此而命名。Matheron給出了Kriging的一般公式。K

17、riging內(nèi)插的公式為： (3) 式中，z(xi)為觀測(cè)值，它們分別位于區(qū)域內(nèi)xi位置；x0是一個(gè)未采樣點(diǎn)；i為權(quán)，并且其和等于1。即 (4) 選取i，使z(x0)的估計(jì)無(wú)偏，并且使方差DD(-*2DD) 2e小于任意觀測(cè)值線形組合的方差。 最小方差由下式給定： (5) 它由下式得到： (6) 式中，(xi，xj)是z在采樣點(diǎn)xi和xj之間的半方差（semi-variance），(xj,x0)是z在采樣點(diǎn)xi和未知點(diǎn)x0之間的半方差，這些量都從適宜的變異函數(shù)得到。是極小化處理時(shí)的拉格朗日乘數(shù)。 估計(jì)半方差是一個(gè)較為復(fù)雜的過(guò)程，這一過(guò)程稱為空間數(shù)據(jù)探索分析（ESDA）。 (2） 空間數(shù)據(jù)探索分

18、析（ESDA） 對(duì)于Kriging內(nèi)插而言，空間數(shù)據(jù)探索分析的目標(biāo)是建立半方差(h)和點(diǎn)對(duì)之間的空間距離h之間的關(guān)系，即變異函數(shù)。 由于空間統(tǒng)計(jì)的本征假設(shè)可以表示為以下兩個(gè)公式： 任意兩個(gè)距離為h的兩點(diǎn)間的差值的數(shù)學(xué)期望為0： EZ(x)-Z(x+h)=0 (7) 任意兩個(gè)距離為h的兩點(diǎn)間的差值的方差最?。?VarZ(x)-Z(x+h)=E(x)-(x+h)2=2(h) (8) 因此，由下式估計(jì)半方差(h)： (9) 這 一關(guān)系即變異函數(shù)。它提供了內(nèi)插、優(yōu)化采樣的有用信息。Kriging內(nèi)插的第一步是 根據(jù)樣本找到適合的變異函數(shù)理論模型。最常用的變異函數(shù)模型有：nugget、球面、指數(shù)、 高斯

19、、阻尼正弦、冪和線形模型。其中，前幾種模型在一定的范圍內(nèi)達(dá)到極大方差，而線形 模型的方差增長(zhǎng)沒(méi)有極限。以下是幾種基本變異函數(shù)的形式，這些變異函數(shù)的特性分別是： Nugget模型缺乏空間相關(guān)。 球面模型空間相關(guān)隨距離的增長(zhǎng)逐漸衰減，當(dāng)距離后，空間相關(guān)消失。 指數(shù)模型空間相關(guān)隨距離的增長(zhǎng)以指數(shù)形式衰減，相關(guān)性消失于無(wú)窮遠(yuǎn)。表示距離，在此距離上95%的變量的可變性趨于穩(wěn)定。 高斯模型空間相關(guān)隨距離的增長(zhǎng)而衰減，相關(guān)性消失于無(wú)窮遠(yuǎn)。曲線起始一段的形狀是拋物線，表示變量的空間變化非常平滑。 阻尼正弦模型阻尼正弦模型適宜于周期性變化的空間變量，但其變化強(qiáng)度隨距離的增長(zhǎng)而衰減。表示周期。 線性模型空間可變性

20、隨距離的增長(zhǎng)而呈線性地增長(zhǎng)，不會(huì)在某一距離穩(wěn)定下來(lái)。 變異函數(shù)的形式是內(nèi)插質(zhì)量的關(guān)鍵。需要注意的是，由于不同的區(qū)域有不同的空間模式，因 而也就有不同的變異函數(shù)。而空間內(nèi)插都有一個(gè)隱含的假定，即空間是連續(xù)的，因此，在選擇變異函數(shù)模型之前，檢查數(shù)據(jù)以確定空間連續(xù)性是十分必要的。 Cokriging內(nèi)插 Cokriging （共協(xié)kriging）內(nèi)插的基本原理與Kriging相同，但它通過(guò)考慮一個(gè)以上變量而優(yōu)化估計(jì)；內(nèi)插由于考慮了變量之間的關(guān)系而得到改善。例如，在估計(jì)溫度、降水等氣候變 量時(shí)，海拔高度是附加的重要變量。Cokriging內(nèi)插包括以下過(guò)程：確定多個(gè)觀測(cè)值之間 空間相關(guān)的特征；借助于變異

21、函數(shù)和交叉變異函數(shù)（crossvariogram），對(duì)相關(guān)建模； 利用這些函數(shù)估計(jì)內(nèi)插值。 除公式(7)、(8)外，Cokriging引入一個(gè)新的假定，即兩個(gè)變量之間差值的方差最小。 VarZ(x)-Zk(x)=2k(h) （10） 式中，Zk(x)是與估計(jì)值Z(x)相關(guān)的第k個(gè)變量。 Cokriging 中引入交叉變異函數(shù)，它是兩個(gè)不同變量之間的相關(guān)隨距離變化的函數(shù)。它與簡(jiǎn)單 變異函數(shù)不同，前者的形式是方差，因此總為正或零；而后者的形式為協(xié)方差，因此可以為 正、負(fù)或零。如果兩個(gè)變量向相反的方向變化，交叉變異函數(shù)為負(fù)；如果兩個(gè)變量的變化相獨(dú)立，交叉變異函數(shù)為零。 交叉變異函數(shù)的形式為： (11

22、) Cokriging內(nèi)插的關(guān)鍵是估計(jì)交叉變異函數(shù)，以分析變量自身以及變量之間的空間相關(guān)。Cokriging的其它過(guò)程都是與Kriging一致的。 2.4函數(shù)方法 是 使用函數(shù)逼近曲面的一種方法。函數(shù)方法在空間內(nèi)插領(lǐng)域大多用于一些特殊場(chǎng)合，如利用 高密度的高程數(shù)據(jù)產(chǎn)生等高線、為提高格網(wǎng)數(shù)據(jù)的空間分辨率而內(nèi)插數(shù)據(jù)等。對(duì)于利用有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行缺值預(yù)測(cè)和內(nèi)插格網(wǎng)，函數(shù)方法多不適合，因?yàn)樗y以滿足內(nèi)插的精度，也 難以估計(jì)誤差。函數(shù)方法的特點(diǎn)是不需要對(duì)空間結(jié)構(gòu)的預(yù)先估計(jì)、不需要做統(tǒng)計(jì)假設(shè)。缺點(diǎn)是難以對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)，點(diǎn)稀時(shí)效果不好。常用的函數(shù)方法有：傅里葉級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、雙線性內(nèi)插、立方卷積法等。 傅里

23、葉級(jí)數(shù) 對(duì)于周期性的數(shù)據(jù)序列，如海浪，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)將它們分解為正弦波和余弦波。 樣條函數(shù)方法 樣 條函數(shù)是使用函數(shù)逼近曲面的一種方法。樣條函數(shù)易操作，計(jì)算量不大，它與空間統(tǒng)計(jì)方 法相比具有以下特點(diǎn)，不需要對(duì)空間方差的結(jié)構(gòu)做預(yù)先估計(jì)；不需要做統(tǒng)計(jì)假設(shè)，而這些假設(shè)往往是難以估計(jì)和驗(yàn)證的；同時(shí)，當(dāng)表面很平滑時(shí)，也不犧牲精度。樣條函數(shù)適合于非常平滑的表面，一般要求有連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)；它適合于根據(jù)很密的 點(diǎn)內(nèi)插等值線，特別是從不規(guī)則三角網(wǎng)（TIN）內(nèi)插等值線。 樣條函數(shù)的缺點(diǎn)是難以對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)，點(diǎn)稀時(shí)效果不好。樣條函數(shù)的種類很多，最常用的有B樣條、張力樣條和薄盤樣條等。 雙線性內(nèi)插 雙線性內(nèi)

24、插和立方卷積法都主要用于網(wǎng)格數(shù)據(jù)的內(nèi)插（重采樣），一般很少用于根據(jù)離散 數(shù)據(jù)內(nèi)插空間分布。它使用與待估計(jì)網(wǎng)格距離最近的4個(gè)網(wǎng)格值，線性內(nèi)插獲得新的網(wǎng)格值 。雙線性內(nèi)插方法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)據(jù)重采樣后的結(jié)果較為平滑，沒(méi)有階躍效應(yīng)， 同時(shí)具有較高的精度。缺點(diǎn)是網(wǎng)格被平均化，具有低頻濾波的效果；邊緣被平滑，有些極值丟失了。 立方卷積法 是 最常使用的網(wǎng)格數(shù)據(jù)內(nèi)插方法之一。它使用與待估計(jì)網(wǎng)格距離最近的16個(gè)網(wǎng)格值，根據(jù)立方卷積公式計(jì)算輸出。立方卷積公式有幾個(gè)不同版本，有的產(chǎn)生低通濾波的效 果，有的產(chǎn)生高通濾波的效果，較好的方法應(yīng)該在高頻信息和低頻信息的取舍間取得平衡。 立方卷積法的優(yōu)點(diǎn)是采樣結(jié)果的統(tǒng)計(jì)信息（均

25、值和方差）與原數(shù)據(jù)的相似程度比其他采樣方法高。缺點(diǎn)是數(shù)據(jù)值被改變，因此不能用于類型數(shù)據(jù)（專題圖）的內(nèi)插。立方卷積法特別適 宜于顯著改變了網(wǎng)格尺寸，但要保持原數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性的數(shù)據(jù)內(nèi)插，如數(shù)字高程數(shù)據(jù)的重采樣。 2.5隨機(jī)模擬方法 其基本假設(shè) 與空間統(tǒng)計(jì)方法不同，隨機(jī)模擬認(rèn)為地理空間具有非平穩(wěn)性，是空間異質(zhì)的。它通過(guò)空間分布現(xiàn)象的可選的、等概率的、數(shù)值表達(dá)（地圖）來(lái)對(duì)空間不確定性建模。對(duì)應(yīng)不確定性，可以接受可選的多個(gè)答案。與空間統(tǒng)計(jì)方法不同，隨機(jī) 模擬方法不是產(chǎn)生唯一的估計(jì)結(jié)果，它產(chǎn)生一系列可選的結(jié)果，它們都與實(shí)際數(shù)據(jù)一致，而 且相關(guān)模型將它們聯(lián)系起來(lái)。隨機(jī)模擬方法的最大優(yōu)點(diǎn)是定義了各種隨機(jī)變量之間

26、的空間相關(guān)，這類相關(guān)可以根據(jù)相鄰數(shù)據(jù)把高度不確定性的先驗(yàn)分布更新為低不確定性的后驗(yàn)分布。 缺點(diǎn)是建模困難，計(jì)算量大。常用的隨機(jī)模擬方法有高斯過(guò)程、馬爾科夫過(guò)程、蒙特卡羅方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等。 2.6確定性模擬 其 基本假設(shè)是變量的空間分布受物理定律控制，因此，可以使用物理模型或半經(jīng)驗(yàn)、半物理 的模型模擬空間分布。對(duì)于這一類內(nèi)插，常常是使用有限的觀測(cè)值獲得一些必須的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，再把這些參數(shù)代入到物理模型之中。典型的例子是，GCM是一個(gè)純物理模型，但它的參數(shù) 化使用了經(jīng)驗(yàn)方法。在山區(qū)氣候變量的內(nèi)插過(guò)程中，也大量使用這種方法。確定性模擬的最大優(yōu)點(diǎn)即它的確定性，它不依賴或很少依賴觀測(cè)樣本。但空間現(xiàn)象

27、是否可以被確定性地預(yù)測(cè)以及我們是否可以持這一樂(lè)觀的信念十分值得懷疑。 2.7綜合方法 是以上幾種方法的綜合。對(duì)于空間變量，一般能夠用不同的方法分別對(duì)結(jié)構(gòu)化變量、隨機(jī)變 量和觀測(cè)誤差（殘差）建模。王勁峰把空間變量分解為： 空間變量=趨勢(shì)+周期+隨機(jī)+噪聲 （12） 并分別用統(tǒng)計(jì)方法、譜函數(shù)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)過(guò)程建模描述相應(yīng)的成分。 綜合方法還適宜于能夠得到輔助性數(shù)據(jù)，如遙感數(shù)據(jù)的場(chǎng)合。通過(guò)從輔助性數(shù)據(jù)中提取空間 模式，在合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如四叉樹(shù)的支持下，劃分空間同質(zhì)的區(qū)域，從而逼近最佳的預(yù)測(cè)值。 3結(jié)論與建議 3.1結(jié)論 （1） 空間內(nèi)插可依據(jù)其基本假設(shè)和數(shù)學(xué)本質(zhì)分類為：幾何方法、統(tǒng)計(jì)方法、空

28、間統(tǒng)計(jì)方法 、函數(shù)方法、隨機(jī)模擬方法、物理模型模擬方法和綜合方法。 （2） 空間內(nèi)插是極為重要的GIS空間分析方法。對(duì)于觀測(cè)臺(tái)站稀少，而測(cè)點(diǎn)分布又極不合理的地區(qū)，空間內(nèi)插是研究這些區(qū)域空間變量空間分布的基本方法，是建立空間模型的前提之一。 （3） 空間數(shù)據(jù)探索分析是分析地理數(shù)據(jù)的重要工具，它的一個(gè)重要目標(biāo)是估計(jì)空間變量的 變異函數(shù)。變異函數(shù)反映空間相關(guān)隨距離變化的特征，可以用幾個(gè)基本變異函數(shù)模型描述。根據(jù)變異函數(shù)，可以判斷數(shù)據(jù)是否具有平穩(wěn)性，是否符合空間統(tǒng)計(jì)的本征假設(shè)。 （4） 本文比較了主要的空間內(nèi)插方法，分析了各種方法的假設(shè)、適用范圍、算法和優(yōu)缺點(diǎn) ，并且重點(diǎn)介紹了空間統(tǒng)計(jì)方法。必須指出，對(duì)于眾多的空間內(nèi)插方法而言，沒(méi)有絕對(duì)最優(yōu)的空間內(nèi)插方法，只有特定條件下的最優(yōu)方法。因此，必須依據(jù)數(shù)據(jù)的內(nèi)在特征，依據(jù)對(duì)數(shù) 據(jù)的空間探索分析，經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，選擇最優(yōu)的空間內(nèi)插方法。同時(shí)，應(yīng)對(duì)內(nèi)插結(jié)果做嚴(yán)格的檢驗(yàn)。 3.2對(duì)空間內(nèi)插研究的建議 （1） 開(kāi)發(fā)通用空間內(nèi)插軟件?？臻g內(nèi)插是地理學(xué)的基本問(wèn)題，也是GIS重要的空間分析方法。但現(xiàn)有的GIS軟件中包括的空間內(nèi)插方法都很少，如ARC/INFO中只有趨勢(shì)面、Kriging和 一些特定用途的函數(shù)方法，而且它們的界面不友好，難以使用。因此，應(yīng)開(kāi)發(fā)具