電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題解

1、電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題題解例1在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為:Jc=ar10rJ5A/m2求：通過半徑r=1mm的球面的電流值。在r=1mm的球面上電荷密度的增加率。在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。2兀兀152.I 二：Jcds10r.rsinnddd|r二1mm05=40兀r.r=1mm=3.97A因?yàn)镴=4r(r210rJ.5H5rrdr由電流連續(xù)性方程，得到:cP可Jc:tr=1mm-1.58<108r=1mmA/m3在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率dI=-3.97Adt例2在無源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度H-ay2.6310°cos(3109t-10z)A/m求位

2、移電流密度J；。解：由于Jc=0，麥克斯韋第一方程成為'、H二Jd二邁八Hayay:tazazaxHy一3H=a/y=-ax2.63104sin31(ft-1Cz)A/m2dz例3在無源的區(qū)域中，已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度29E=ay10sin(6.2810-20.9z)v/m求空間任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度解:由麥克斯韋第二方程axayaz狛-Vxl-ctdxdz0Ey0一-：Ey二ax；z=十20.910cos(6.28109t-20.9z)將上式對(duì)時(shí)間t積分，若不考慮靜態(tài)場(chǎng)，則有B=蘭dt=-ax20.910上cos(6.28109t-20.9z)；：tdt-ax3.3310s

3、in(6.28109t-20.9z)T已知自由空間中，電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為E=axcos（wt-：z）;求磁場(chǎng)強(qiáng)度的H表達(dá)式。解:7:E-ct第二方程且在自由空間中H“IB豐亍E+(ay7zEx)aysin(wt-z)一-PH=-ay丁sin(wt-:z)dt-0一p=aycos(wt-:z)t無關(guān)的恒t無關(guān)的恒0W上式積分的常數(shù)項(xiàng)對(duì)時(shí)間是恒定的量，在時(shí)變場(chǎng)中一般取這種與定分量為0。例5有一個(gè)廣播電臺(tái)在某處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為JoB=0.2%cos2.1（3108t-x）azA/m媒介為空氣,求該處的位移電流密度。解：在該處無傳導(dǎo)電流_l_DJdft_SD=PJt0d在直角坐標(biāo)系中:=0.2%cos2.

4、1（310t-x）'、B二ax；：xBxayByazjzBz（主-巴）ax（-皂）ay（退-退）az:y:z:z:xy:x:y11rBz_:B=4哀）旳*0.2%sin2.1（310$t-x）（-2.1x）-0例6同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體外半徑a=1mm外導(dǎo)體內(nèi)半徑b=4mm內(nèi)外導(dǎo)體之間是空氣介質(zhì)，且電場(chǎng)強(qiáng)度為1008Ecos(1081-az)arV/mr用麥克斯韋方程求a。求磁感應(yīng)強(qiáng)度B。求內(nèi)導(dǎo)體表面電荷密度匚。求長度0<z<1m中總的位移電流。解：乎Earr:rrczAzrczAzArarrAr電rdz0(:Ar1Ara:r外az)100a8100a«=-sin(10

5、81-：z)-0sin(1Cft-：Z)rrB10cos(1081-az)r在內(nèi)外中間的空氣中，°、Jc=0'D=?J0£E:t將B代入，則:10sin(1C8r：z)a廠-1000108sin(1Ch-：z)ar%1tfrr1100：2%108r100；0108216|-=10%；0136:10法拉/米：2=10161104691ot=3：2=10161104691ot=3%=4二10H/mB10'cos(108tz)a.：3r3在內(nèi)外導(dǎo)體之間作園柱形高斯面，有0EdS=；dsvs's?sIdrLUo£2 二12二0Errdd00ddz丄

6、lEr；0r1003cos1103r5；010cos(10JdEdSst8(10t-z)ar8Jz)3：to：1001tfsin(10t-：z)adsr一；0；生sin(108t-：z)rddzr12二1010)0Vsin12二1010)0VsinQ(10t-：1012H-1000sin(108t-6二10-6二10108,1；0cos(10t-3|iio88Iz)o=6xiO®cos10tcos(10t)®sin1sin(1081)3 66例7、在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中傳輸?shù)碾姶挪?，其電?chǎng)強(qiáng)度矢量E乂yEosin(dz)cos(t-kxx)其中kx為常數(shù)

7、。試求:解:(1)(2)(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。兩導(dǎo)體表面上的面電流密度Js。由麥克斯韋方程可得:-:E:EX:zez對(duì)上式積分后得:EEokx-一cos(z)sin(t-kx)e一sin(z)cos(t-kx)ddxz,dx即:sin(dz)cos®t一kxx)EokxCOs(dz)sin('kxx)exz=0表面上，法線n=ez，面（2）導(dǎo)體表面上的電流存在于兩導(dǎo)體板相向的一面，故在電流密度ze%dsin('kxx)在z=d表面上，法線n=-ez，面電流密度：Ez”eyTsin(tkxx)例&一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體半徑為b,長度為

8、L,同軸線兩端用理想導(dǎo)體板短路。已知在a遼r乞b、OzL區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)為：E=eAsinkz，H=甩coskz（1）確定A、B之間的關(guān)系。（2）確定k。（3）求r=a及r=b面上的亠、Js。解：由題意可知，電磁場(chǎng)在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)。（1）A、B之間的關(guān)系。因?yàn)?#39;、E=z=乞?qū)Wcoskz=-j-H所以A-jJBk（2）因?yàn)?#39;、H=1-err-:(rHi)：(rHi)Bke=eBksinkz二rzz：rrr所以AkBj<-j1k，k=；kj；（3）因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體構(gòu)成的同軸線，所以邊界條件為:在r二a的導(dǎo)體面上，法線n二er，所以Jsa?sar=e旦coskz-zrA.,r

9、sinkz_rr_a二eBcoskzzaA.,r_asinkz_a在r=b的導(dǎo)體面上,法線n-er，所以JsbBr»=ecoskzr-zrr巾AsinkzrB7=-ecoskzr-zb7Asinkz_b例9、電磁波在真空中傳播，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：4j20二zE(t)=(ex-jey)10eJ(V/m)試求:(1)工作頻率f。(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式。(3)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。解：由題意可得:k=2°<00109所以工作頻率(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為:HezE二丄(eyjex)104e20立(A/m)0其中波阻抗0=120F。(2)坡

10、印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。電磁波的瞬時(shí)值為:E(t)=ReEe舊=x_jey)10_4cosWt_2Ez)(V/m)H(t)=ReHe妙=*(e+je)10一4cosdt20江z)(A/m)0yx所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值:St)=E(t)xH(t)=110-8cos2(at20rz)(e-je(e+je)=OW/m2n0xyyx同理可得坡印廷矢量的時(shí)間平均值:SavReEH=0W/m2例10、已知空氣中一均勻平面電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為:H«exey26S試求:(1)波長、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角。(2)常數(shù)A。(3)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。解:(1)波長、傳播方向單位矢量及

11、傳播方向與z軸的夾角分別為:=-0.4mkk=Jkx+k；=J(41)2+(3兀)2=5兀，kg嗨，叫®)=53(2)cHz=4二jA-12二j=0解之得A=3。(3) 電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量E：0Hek9.0(-ex3ey26ez4)<j(4x3z)(0.8ex0.6ez)=”0(|底x+»評(píng)ez)L*3z)V/m例11、假設(shè)真空中一均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為：一j£(2x+J2y-J3z)V/mE=3(e-2ey)e6試求:(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅、波矢量和波長。(2)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式解：依題意知，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅:E。=E0xE0y=3.

12、3V/m所以波矢量k=kek，其中ek4ex從而(1)-4mk電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為:E(t)=ReEe=3(exV2ey)cos畫t青(2x+V2yT3z)(V/m)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為:H(t)二丄ekE(t)=-(.6ex3ey3.2ez)oycoSt-2(2x+*2y-73z)6(A/m)例12、已知在無源的自由空間中，磁場(chǎng)為H=ey2cos（1x5）sin96-1z0t（A/m）利用麥克斯韋方程求相應(yīng)的電場(chǎng)E及常數(shù)：。解：將H表示為復(fù)數(shù)形式：H（x,z）-eyi2cos（15二x）iz由時(shí)諧形式的麥克斯韋第二方程可得：1.T41；0E(x,z)二一:''H二

13、i"oex：2cos(15二(1)ezH(x,z)二eyi22；o%x)ezi30二sin(15ey：:Ex:EziA0z:x:2(15二)2)cos(15二x)ez比較（1）式何（2）式，有x)e-ilz:2(15二)2)=20；0=(6二109)24二10-73io"二400二所以二J400二2-225二廠=41.56(rad/m)所以，相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為：E(x,z,t)=ex496cos(15二x)sin(6二109t-41.56z)9ey565.5sin(15二x)cos(6二10t-41.56z)V/m例13、同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑a=1mm，外導(dǎo)體內(nèi)半徑b=4mm

14、，內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣介質(zhì)，并且電場(chǎng)強(qiáng)度為1008E二ecos108t-0.5z(V/m)r(1)求磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式；(2)求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；(3)計(jì)算Oz乞1m中的位移電流id。解：將E表示為復(fù)數(shù)形式：E(r,z)二er®°e-i0.5z則由時(shí)諧形式的麥克斯韋方程可得:H(x,z)-0.398e.0.398e.i0.5z/e(A/m)而磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式為H(r,z,t)=2旦cos(1(ft-0.5z)(A/m)(2)內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度JsJs=erH=ez397.9cos(10t-0.5z)(A/m):E18r582ersin(10t-0.5z)(A/m)sid1

15、0Jd所以，在0-z-1中的位移電流衛(wèi)2兀rdz=-0.55sin(108t0.25)(A)例14、已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場(chǎng)的振幅E0=800(V/m)，方向?yàn)閑x，如果波沿著z方向傳播，波長為0.61m,求：（1）電磁波的頻率f;（2）電磁波的周期T;（3）如果將場(chǎng)量表示為Acos（.t_kz），其k值為多少？（4）磁場(chǎng)的振幅H0=?解：在空氣中，電磁波的速度為c-1-31078（m/s）本征阻抗0=120h=377-J所以/3x108(1)電磁波頻率f=c4.92108Hz=492MHz/扎0.61(2)18電磁波周期T0.20310s=2.03ns(3)k=2二/，二10.3

16、(rad/m)(4)E0800=2.12(A/m)H00377例15、在自由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為E=ex10-4ei(t-g)ey10xy4i(，t-20二z)e2(V/m)求：（1）平面波的傳播方向；（2）電磁波的頻率；（3）波的極化方式；（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度H；（5）電磁波流過沿傳播方向單位面積的平均功率。解：（1）從電場(chǎng)方程可知，傳播方向?yàn)閑z(2)從電場(chǎng)方程可知，k=20二所以-二20二2:.-10=3109(Hz)工3GHz'.；0"0(1)艮電場(chǎng)可表示為(exiey)10e420z是左旋圓極化波(2)由H-ezE可得0ey2.65102z0)（5）平均

17、功率Sav14i20z4(20孑、=Re(ex10_e_沢+ey10-e18相速Vp1.510(m/s)«護(hù)2典軋)(-&2.6510，e"八只ey2.6510”ei20：z)=eZ2.6510J1(W/m2)即Pav=2.6510J1(W/m2)14呻.例16、電磁波磁場(chǎng)振幅為A/m，在自由空間沿ez方向傳播，當(dāng)t=0,z=0時(shí)，H在ey方向,3兀相位常數(shù)-=30rad/m。(1)寫出H和E的表達(dá)式；(2)求頻率和波長。解：(1)在自由空間中，°=120二二377'J而-.；0丄0二30(rad)所以所以-9109(rad于是得磁場(chǎng)電場(chǎng)例17、在

18、7=1、；r=4、二=0的媒質(zhì)中，有一均勻平面波，其電場(chǎng)強(qiáng)度m-TEJIsin(t-kz),319H(z,t)eycos(91t030)3兀E=°H(-品占40cos(99t10z30)co9(2)f1.43109(Hz)2兀2兀0.20m()波長2二1(m)若已知平面波的頻率f=150MHz，任意點(diǎn)的平均功率密度為0.265W/m2。試求：(1)電磁波的波數(shù)、相速、波長、波阻抗；(2)t=0,z=0時(shí)的電場(chǎng)E(0,0)|等于多少？(3)經(jīng)過t=0.1»s后,電場(chǎng)E(0,0)值傳到什么位置?A(1)(rad/m)0詁2二150106R2吃波阻抗二土=60n(0)；0(2)均勻平面波的平均坡印廷矢量S平均=尋石內(nèi)2=go.265xio(W/m)得Em=10漢10彳(V/m)sin101033sin10103330.866=8.6610(V/m)t=0.1七后E=10f2"kz+叮I3丿_2i6二兀)_3=10sin15010110一2=3次6610得sin130-2二z8.6610I3丿z=15(m)例18、空氣中某一均勻平面波的波長為12cm,當(dāng)該平面波進(jìn)入某無損耗媒質(zhì)中傳播時(shí)，其波長減小為8cm，且已知在媒質(zhì)中的E和H的振幅分別為50V/m和0.1A/m。求該平