數(shù)學(xué)史的教育功能

1、數(shù)學(xué)史的教育功能數(shù)學(xué)史的教育功能四川師范大學(xué)四川師范大學(xué) 張紅張紅數(shù)學(xué)史的教育功能n 數(shù)學(xué)是一門重要的科學(xué)，是學(xué)校里的重要課程。數(shù)學(xué)這門科學(xué)有悠久的歷史，發(fā)展過(guò)程充滿了人類的創(chuàng)造和理性智慧，積累了這門學(xué)科富有魅力的題材。 n英國(guó)科學(xué)史家丹皮爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“再?zèng)]有什么故事能比科學(xué)思想發(fā)展的故事更有魅力了.n 如: 棋盤上的學(xué)問(wèn)，高斯的快速求和的傳說(shuō)。數(shù)學(xué)史的教育功能n數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念,數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展,及其與社會(huì)政治,經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。英國(guó)科學(xué)史家丹皮爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“再?zèng)]有什么故事能比科學(xué)思想發(fā)展的故事更有魅力了?！睌?shù)學(xué)史的教育功能n1.貫通數(shù)學(xué)歷史，把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，加深對(duì)數(shù)學(xué)

2、概念、方法、思想的理解。n例如：設(shè)G是一個(gè)非空集合，如果在G上定義了一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，稱為乘法，如果滿足如下條件，G稱為一個(gè)群。n1.封閉性 2.結(jié)合律 n3.存在單位元 4.存在逆元 n2.整合數(shù)學(xué)學(xué)科，理清數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程。n3.把學(xué)生從課內(nèi)導(dǎo)向課外，形成對(duì)文化的歷史認(rèn)同感。n4.傳承數(shù)學(xué)史的文化，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力。國(guó)外研究現(xiàn)狀：nICMI:國(guó)際數(shù)學(xué)教學(xué)委員會(huì)：1908年n HPM:數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)研究組織1976年n PME:數(shù)學(xué)教育心理學(xué)組織，1976年n IOWME:婦女與數(shù)學(xué)教育組織，1984年n WFNMC:數(shù)學(xué)競(jìng)賽世界聯(lián)盟，1994年n ICTMA:數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用組

3、織，2003年HPM歷屆會(huì)議的舉辦地點(diǎn)n1984年，阿德萊德，澳大利亞n1988年，弗洛倫莎，意大利n1992年，多倫多，加拿大n1996年，葡萄牙n2000年，臺(tái)北，臺(tái)灣n2004年 ，瑞典。涉及數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與藝術(shù)，數(shù)學(xué)與文學(xué)，數(shù)學(xué)與音樂(lè)等。n2008年，墨西哥。國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀分析 數(shù)學(xué)史的研究，在一批數(shù)學(xué)家特別是在吳文俊院士、王元院士、張景中院士、姜伯駒院士的推動(dòng)下，達(dá)到了前所未有的高度。n1.近年出版中國(guó)數(shù)學(xué)史大系。n2.數(shù)學(xué)史課程在大學(xué)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容。n4.2005年5月西安首次數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會(huì)議。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究掃描n王元華羅庚n張景中院士數(shù)學(xué)講座專集n張順燕，

4、數(shù)學(xué)的美與理，數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用，數(shù)學(xué)的源與流。n汪曉勤，中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史n劉潔民，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育四川師大：n1.白話九章算術(shù)徐品方，成都時(shí)代出版社n2女?dāng)?shù)學(xué)家傳奇，徐品方，科學(xué)出版社n3.數(shù)學(xué)符號(hào)史徐品方，張紅，科學(xué)出版社n4.中學(xué)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史，徐品方，張紅，寧銳（擬出，出版社待定）高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容n直接選題：n（1）早期算術(shù)與幾何-計(jì)數(shù)與測(cè)量n（2）古希臘數(shù)學(xué)n（3）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶n（4）平面解析幾何的產(chǎn)生-數(shù)與形的結(jié)合n（5）微積分的產(chǎn)生高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容n（6）歐拉與高斯n（7）伽羅華與近世代數(shù)的產(chǎn)生n（8）康托的集合論n（9）隨機(jī)思想的發(fā)展n（10）算法思想的

5、歷程n（11）中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容n數(shù)學(xué)文化內(nèi)容與各模塊內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合，其中有9個(gè)直接與數(shù)學(xué)史有關(guān)。n（1）數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展n（2）歐幾里得幾何原本與公理化思想n（3）平面解析幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合的思想n（4）微積分與極限思想n（5）非歐幾何與相對(duì)論問(wèn)題高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容n數(shù)學(xué)文化內(nèi)容與各模塊內(nèi)容的有機(jī)結(jié)合，其中有9個(gè)直接與數(shù)學(xué)史有關(guān).n(6)拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生 （7）二進(jìn)制與計(jì)算機(jī) （8）黃金分割引出的數(shù)學(xué)問(wèn)題 （9）無(wú)限與悖論 初中新課程中的數(shù)學(xué)史教材出現(xiàn)了關(guān)于代數(shù),幾何,數(shù)論,分析,概率分支的數(shù)學(xué)史事和傳說(shuō).棋盤上的學(xué)問(wèn)，高斯快速求和。 教材內(nèi)容也和數(shù)學(xué)史結(jié)合起來(lái)

6、. 如:負(fù)數(shù)的歷史,無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn),尋找圓周率的近似值,代數(shù)的由來(lái),方程的歷史,勾股定理,尺規(guī)作圖,歐式幾何的來(lái)歷. 還有,計(jì)算器的分類,計(jì)算機(jī)的發(fā)展,功能. 數(shù)學(xué)史的意義 數(shù)學(xué)是一門歷史性或者說(shuō)累積性很強(qiáng)的學(xué)科.(如數(shù)的演進(jìn),非歐幾何的產(chǎn)生,抽象代數(shù)的出現(xiàn)). 天文學(xué)的“地心說(shuō)”,物理學(xué)的“以太說(shuō)”,化學(xué)的“燃素說(shuō)”. 數(shù)學(xué)包含并且正在繼續(xù)生長(zhǎng)出越來(lái)越多的分支. 數(shù)學(xué)史可以看到數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的艱難和喜悅. 所以,不了解數(shù)學(xué)史就不可能全面了解數(shù)學(xué)科學(xué). 數(shù)學(xué)史的意義 而且,不了解數(shù)學(xué)史,就不可能全面了解整個(gè)人類文明史. 數(shù)學(xué)是文化.其文化特點(diǎn)是: 數(shù)學(xué)以抽象的形式,追求高度精確,可靠的知

7、識(shí). 數(shù)學(xué)追求一般性模式特別是一般性算法. 數(shù)學(xué)的創(chuàng)造具有美的特征.數(shù)學(xué)史的分期1.數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展(公元6世紀(jì)前)2.初等數(shù)學(xué)時(shí)期(公元前6世紀(jì)-16世紀(jì)) (1)古希臘數(shù)學(xué)(公元6世紀(jì)-6世紀(jì)) (2)中世紀(jì)東方數(shù)學(xué)(3世紀(jì)-15世紀(jì)) (3)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期(15世紀(jì)-16世紀(jì))3.近代數(shù)學(xué)時(shí)期(17-18世紀(jì))4.現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期(1820-現(xiàn)在) 數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展n數(shù)概念的形成:30萬(wàn)年以前 計(jì)數(shù):手指-石子-結(jié)繩-刻痕 早期記數(shù)系統(tǒng):10進(jìn)制(埃及,中國(guó),希臘,印度)60進(jìn)制(巴比倫),20進(jìn)制(瑪雅)n幾何的實(shí)踐來(lái)源: 埃及幾何-測(cè)地, 印度幾何-宗教 中國(guó)幾何-天文, 希臘

8、幾何- 哲學(xué)河谷文明 埃及,美索不達(dá)米亞,中國(guó),印度地域的文明-河谷文明. 尼羅河,底格里斯河與幼發(fā)拉底河,黃河與長(zhǎng)江,印度河與恒河. 埃及數(shù)學(xué)來(lái)源于兩部紙草書-萊茵德紙草書和莫斯科紙草書.特點(diǎn):10進(jìn)制,無(wú)位值概念 美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)來(lái)源于泥版文書.特點(diǎn):60進(jìn)制,引進(jìn)位值概念.(同一個(gè)記號(hào),根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對(duì)位置而賦予不同的值.) 初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué)1.論證數(shù)學(xué)的發(fā)端: 代表人物:泰勒斯(測(cè)量金字塔的塔高,相似形,全等形), 畢達(dá)哥拉斯: a.的前兩卷的材料 b.正多面體作圖 c.黃金分割 d.萬(wàn)物皆數(shù),可公度量 ,無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)-第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué)2.論證數(shù)

9、學(xué)的發(fā)展(雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)) 特點(diǎn):學(xué)派林立(伊利亞學(xué)派,詭辯學(xué)派, 柏拉圖學(xué)派,亞里斯多德學(xué)派) 三大幾何問(wèn)題(尺規(guī)作圖問(wèn)題): a.化圓為方 b.倍立方體 c.三等分角 1837年,法國(guó)數(shù)學(xué)家旺澤爾在代數(shù)方程論基礎(chǔ)上證明了倍立方體和三等分任意角不可能只用尺規(guī)作圖.1882年,德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率的超越性,從而化圓為方不可能.任何有理系數(shù)代數(shù)方程的任何一個(gè)根叫做代數(shù)數(shù),否則叫做超越數(shù). 初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué) 亞里斯多德學(xué)派指出:需要有未加定義的名詞-原始概念原始概念(如:點(diǎn),線,面,體).定義了公理公理,公設(shè)公設(shè),創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué),其中的基本邏輯規(guī)律:矛盾律和排中律矛盾律和排

10、中律,成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心.亞里斯多德的形式邏輯為歐幾里德演繹幾何體系的形成奠定了方法論基礎(chǔ).初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué)3.希臘數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代 代表人物:歐幾里德,阿基米德,阿波羅尼奧斯. 與希爾伯特的. 歐式第五公設(shè)： 初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué)獨(dú)立性：每一公理不能由其它公理推出。相容性：公里系統(tǒng)內(nèi)不存在矛盾。完備性：每一命題在公里系統(tǒng)內(nèi)必可判定。 第五公設(shè)的兩個(gè)等價(jià)命題：1.過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行。2.三角形的內(nèi)角和為兩直角。初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué)3. 希臘數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代: 阿基米德:公元前兩世紀(jì),用“窮竭法”計(jì)算了圓周率的近似值22/7(祖沖之叫約率) 阿波羅尼奧斯

11、創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論.之前,希臘人用三種不同的圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線,阿氏從對(duì)頂錐得到所有圓錐曲線,并命名橢圓,雙曲線,拋物線.是希臘演繹幾何的最高成就. 初等數(shù)學(xué)時(shí)期-古希臘數(shù)學(xué) 4.希臘數(shù)學(xué)的后期:丟番圖的:將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù).即 費(fèi)馬對(duì)此問(wèn)題的研究引出了“費(fèi)馬大定理”: (n2).無(wú)非零整數(shù)解.1994年,由維爾斯證明. “坐地日行八萬(wàn)里”.古希臘人用“兩條平行線被第三條直線所截,內(nèi)錯(cuò)角相等”算出地球周長(zhǎng)約為40000公里.222zyxnnnzyx 三次發(fā)展高潮:兩漢時(shí)期,魏晉南北朝時(shí)期,宋元時(shí)期.兩漢時(shí)期兩漢時(shí)期:是中國(guó)古代數(shù)學(xué)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中最早的一部中最早的一部.

12、最為突出的是勾股算法,周朝數(shù)學(xué)家商高所說(shuō):勾三,股四,弦五.尋找勾股數(shù)導(dǎo)致了1637年,費(fèi)馬提出費(fèi)馬大定理。勾股定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理.三國(guó)時(shí)趙爽用出入相補(bǔ)原理(面積拼補(bǔ)法)證明了勾股定理. 出入相補(bǔ)原理出入相補(bǔ)原理:一個(gè)平面幾何圖形被分割成若干部分后,面積的總和保持不變.注意:不是任意兩個(gè)體積相等的立體圖形都可以拼補(bǔ)和剖分.1900年德恩證明了存在等底等高卻不剖分相等甚至也不拼補(bǔ)相等的四面體.(希爾伯特23個(gè)問(wèn)題中的第三個(gè)問(wèn)題) 中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)兩漢時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué) 是中國(guó)古典數(shù)學(xué)中最重要的著作.全書共246個(gè)問(wèn)題,分成九章,依次為:方田,粟米,衰分,少?gòu)V,商功,均輸,盈不足,方程,勾股.涉及

13、算術(shù),代數(shù),幾何方面.魏晉南北朝時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)1.劉徽的成就(公元三世紀(jì)) 徽率徽率:157/50 體積理論體積理論:計(jì)算體積(多面體和球)公式時(shí)使用了兩種無(wú)限小方法:極限方法和不可分量方法. 2.祖沖之的成就:(公元五世紀(jì)) 圓周率圓周率:3.1415926(肭數(shù)) 3.1415927(盈數(shù)) 22/7(約率),355/113(密率,祖率),16世紀(jì)歐洲人才算出密率,祖沖之領(lǐng)先歐洲1000年. 球的體積公式球的體積公式,依據(jù)出入相補(bǔ)原理和祖氏原理證明。魏晉南北朝時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)3. (4世紀(jì))中的“雞兔同籠”問(wèn)題. 35頭,94足,雞兔各幾何? (5世紀(jì))中的“百雞問(wèn)題”: 雞翁一,直錢五.雞

14、母一,直錢三. 雞雛三,直錢一.百錢買百雞,雞翁,母,雛各幾何 .“百雞問(wèn)題”是世界著名的不定方程問(wèn)題,13世紀(jì)意大利,15世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中有記載.宋元時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué) 宋元時(shí)期是中國(guó)古代最高成就時(shí)期. 四大家:楊輝,秦九韶,李冶,朱世杰 楊輝三角,又叫賈憲三角,西方叫帕斯卡三角. 秦九韶的求解一次同余方程組的方法大衍總數(shù)術(shù)。 宋元時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)方程小史: 古埃及在紙草書上寫下了含有未知數(shù)的問(wèn)題 12世紀(jì),李冶用“天元術(shù)”解題, 14世紀(jì),元朝數(shù)學(xué)家朱世杰用“四元術(shù)”解題. “天元術(shù)”和“四元術(shù)”是半符號(hào)化代數(shù)的嘗試.中國(guó)數(shù)學(xué)的半符號(hào)化的嘗試大衍總數(shù)術(shù)與孫子算經(jīng)孫子問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)

15、之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？” N 2(mod3） 3（mod5） 2（mod7）答案是：N70*2+21*3+15*2-2*10523，被民間稱為“韓信點(diǎn)兵”，編有“孫子歌”: 三人同行七十稀，五樹(shù)梅花二十一枝， 七子團(tuán)員月正半，除百零五便得知。印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)1.印度數(shù)學(xué):0是印度數(shù)學(xué)對(duì)世界文明的貢獻(xiàn).印度人不僅把0看作計(jì)數(shù)法中的空位,而且也把0 看為可實(shí)行運(yùn)算的一個(gè)獨(dú)立的數(shù).2.近代數(shù)學(xué)時(shí)期-分析1.文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué):兔子問(wèn)題與斐波那鍥數(shù)列:1,1,2,3,5,8,11,13,21 一次,二次,三次,四次方程的根式解. 代數(shù)基本定理:n次方程必有n個(gè)根. 2.解析幾何

16、的誕生:笛卡兒和費(fèi)馬的貢獻(xiàn)3.微積分的誕生:牛頓和萊布尼茲的貢獻(xiàn)4.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)和分析的嚴(yán)格化（魏爾斯特拉斯，戴德金分割，康托的基本序列，自然數(shù)的基數(shù)，實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)）近代數(shù)學(xué)時(shí)期-分析5.歐拉對(duì)微積分的貢獻(xiàn),歐拉是拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)始人.歐拉定理:對(duì)凸多面體,f+v=e+26.微積分對(duì)數(shù)論的影響: 1640年,費(fèi)馬驗(yàn)證了當(dāng)n=0,1,2,3,4,時(shí), 是質(zhì)數(shù)。叫做費(fèi)馬數(shù)。費(fèi)馬提出猜想:費(fèi)馬數(shù)是質(zhì)數(shù)。但當(dāng)n5時(shí)，費(fèi)馬數(shù)=6416700417,122n近代數(shù)學(xué)時(shí)期-幾何非歐幾何的產(chǎn)生: 歐式幾何的第五公設(shè)的等價(jià)命題:1.過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行.2.三角形的內(nèi)角和為兩直角.近代數(shù)學(xué)

17、時(shí)期-幾何 羅巴切夫斯基幾何第五公設(shè)變?yōu)?1.過(guò)直線外一點(diǎn)沒(méi)有直線與已知直線平行.2.三角形的內(nèi)角和小于兩直角. 黎曼幾何第五公設(shè)變?yōu)?1.過(guò)直線外一點(diǎn)有兩條以上直線與已知直線平行.2.三角形的內(nèi)角和大于兩直角. 近代數(shù)學(xué)時(shí)期-代數(shù) 對(duì)根式解的研究導(dǎo)致群概念的產(chǎn)生-抽象代數(shù). 次數(shù)大于或等于5的方程無(wú)根式解-拉格朗日提出 ,阿貝爾證明. 伽羅華找到了有根式解的充分必要條件.在這一過(guò)程中建立了群概念.現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期1.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派: 邏輯主義學(xué)派,直覺(jué)主義學(xué)派,形式主義學(xué)派（與布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一數(shù)學(xué)的比較）.2.集合論悖論(羅素悖論)與ZF系統(tǒng)。3. 1936年,美根據(jù)1000萬(wàn)戶電話用戶和該雜志定戶,斷言羅斯福:蘭登=370:161,結(jié)果是,抽樣調(diào)查關(guān)注樣本的代表性. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期4計(jì)算器的分類和計(jì)算機(jī)的發(fā)展: 簡(jiǎn)單計(jì)算器,科學(xué)計(jì)算器和圖形計(jì)算器. 用Excel可以很方便地制作統(tǒng)計(jì)圖.,計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù),眾位數(shù),眾數(shù),還可求出方差和標(biāo)準(zhǔn)差. 第一臺(tái)能作加減運(yùn)算的機(jī)械式計(jì)算機(jī)是由帕斯卡帕斯卡164