九上《243正多邊形和圓》

1、正多邊形正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形. .幾種常見的正多邊形幾種常見的正多邊形生活中的正多邊形圖案生活中的正多邊形圖案生活中的正多邊形圖案生活中的正多邊形圖案正多邊形的性質(zhì)正多邊形的性質(zhì)60正正n邊形內(nèi)角和：邊形內(nèi)角和：(n2)180108 每條邊都相等每條邊都相等 每個(gè)角都相等每個(gè)角都相等135 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形， 一個(gè)正一個(gè)正n邊形共有邊形共有n條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸， 每條對(duì)稱軸都通過(guò)每條對(duì)稱軸都通過(guò)n邊形的邊形的中心中心.正多邊形的性質(zhì)正多邊形的性質(zhì)正五邊形正五邊形正八邊形正八邊形正三邊形正三邊形什么叫中心？什么叫中心？ 邊數(shù)是邊數(shù)是偶數(shù)偶數(shù)的正多邊形

2、的正多邊形 是是中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形， 它的它的中心中心就是就是對(duì)稱中心對(duì)稱中心.正八邊形正八邊形正六邊形正六邊形正多邊形的性質(zhì)正多邊形的性質(zhì)菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？菱形的四個(gè)角不相等菱形的四個(gè)角不相等. .矩形的四條邊不相等矩形的四條邊不相等. .CABDE 正多邊形和圓的關(guān)系非常密切，把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓.123ABCDE45證明：證明：AB=BC=CD=DE=EA AB=BC=CD=DE=EA BCE=CDA=3AB 1=2 同理同理2=3=4=5 又又頂點(diǎn)頂點(diǎn)A、B、

3、C、D、E都在都在 O上，上， 五邊形五邊形ABCDE是是 O的內(nèi)接正五邊形的內(nèi)接正五邊形. O是五邊形是五邊形ABCDE的外接圓的外接圓. 定理證明定理證明 把圓分成把圓分成 n（n3）等份：）等份： 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形.內(nèi)接正多邊形內(nèi)接正多邊形EFCD.正多邊形及外接圓中的有關(guān)概念正多邊形及外接圓中的有關(guān)概念EFCD.n360中心角nBOGAOG180AB邊心距邊心距OG把把AOB分成分成2個(gè)全等的直角三角形個(gè)全等的直角三角形.設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為a，半徑為，半徑為R，它的周長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)為為L(zhǎng) =

4、 na.Ra）邊心距（）邊心距（面積，邊心距）（rnarLSraR2121222正多邊形的有關(guān)計(jì)算正多邊形的有關(guān)計(jì)算ABCD正多邊形正多邊形外接圓外接圓內(nèi)接正多邊形與外接圓的聯(lián)系內(nèi)接正多邊形與外接圓的聯(lián)系把正把正n邊形的邊數(shù)無(wú)限增多，邊形的邊數(shù)無(wú)限增多，正多邊形正多邊形就接近于圓就接近于圓.圓圓由圓怎樣得到由圓怎樣得到正多邊形？正多邊形？ 把一個(gè)圓把一個(gè)圓4等分，并依次連接這些點(diǎn)等分，并依次連接這些點(diǎn),得到正多邊形嗎得到正多邊形嗎?探究探究正方形正方形已知已知 O的半徑為的半徑為2cm，求作圓的內(nèi)接正三角形，求作圓的內(nèi)接正三角形120 AOCB探究探究用量角器度量，使用量角器度量，使AOB=B

5、OC=COA=120用量角器或用量角器或30角的三角的三角板度量，使角板度量，使BAO=CAO=30一題多解一題多解量角器作圖量角器作圖 你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、你能用以上方法畫出正四邊形、正五邊形、正六邊形嗎？正六邊形嗎？ABCDOABCDEOOABCDEF907260 你能用尺規(guī)作出正四邊形、正八邊形嗎？你能用尺規(guī)作出正四邊形、正八邊形嗎？ABCDO探究探究尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖 作出已知作出已知 O的互相垂直的直的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過(guò)圓心作徑即得圓內(nèi)接正方形，再過(guò)圓心作各邊的垂線與各邊的垂線與 O相交，或作各中相交，或作各中心角的角平分線與心角的角平分線與 O相交

6、，即得相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形十四邊形 你能用尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、你能用尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？正十二邊形嗎？OABCEFD 以半徑長(zhǎng)在圓周上截取以半徑長(zhǎng)在圓周上截取六段相等的弧，依次連結(jié)各六段相等的弧，依次連結(jié)各等分點(diǎn)，則作出正六邊形等分點(diǎn)，則作出正六邊形. 先作出正六邊形，則可先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形正二十四邊形 有一個(gè)亭子它的地基是半徑為有一個(gè)亭子它的地基是半徑為4m的正六邊形，的正六邊形，求地

7、基的周長(zhǎng)和面積（精確到求地基的周長(zhǎng)和面積（精確到0.1平方米）平方米）.FADE.rRP解解:.606360半徑六邊形的邊長(zhǎng)等于它的是等邊三角形，從而正，它的中心角等于是正六邊形，所以由于OBCABCDEF亭子的周長(zhǎng)亭子的周長(zhǎng) L=64=24(m)(6 .4132242121322242422224mLrSrBCPCOCOPCRt亭子的面積心距根據(jù)勾股定理，可得邊，中，在例題ABCDEO 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A、B、C、D、E是是 O 的的5等分點(diǎn)，等分點(diǎn)，畫出畫出 O的的內(nèi)接正五邊形內(nèi)接正五邊形和和外切正五邊形外切正五邊形. 把圓分成把圓分成 n（n3）等份：）等份： 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓

8、的切線切線，以相鄰，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的的外切正多邊形外切正多邊形.外切正多邊形外切正多邊形又又五邊形五邊形PQRST的各邊都與的各邊都與 O相切，相切，五邊形五邊形PQRST的是的是O外切正五邊形。外切正五邊形。 證明：連結(jié)證明：連結(jié)OA、OB、OC，則：，則：OAB=OBA=OBC=OCBTP、PQ、QR分別是以分別是以A、B、C為切點(diǎn)的為切點(diǎn)的 O的切線的切線OAP=OBP=OBQ=OCQPAB=PBA=QBC=QCB又又AB=BCAB=BCPAB與與QBC是全等的等腰三角形。是全等的等腰三角形。P=Q PQ=2PA同理同理Q=R=S=

9、T QR=RS=ST=TP=2PA ABCDEP PQ QR RS ST TO定理證明定理證明正正多多邊邊形形概念概念計(jì)算計(jì)算畫法畫法應(yīng)用應(yīng)用正多邊形與圓的關(guān)系正多邊形與圓的關(guān)系正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角正多邊形的對(duì)稱性、相似性正多邊形的對(duì)稱性、相似性半徑、邊心距、中心角的計(jì)算半徑、邊心距、中心角的計(jì)算邊長(zhǎng)、面積的計(jì)算邊長(zhǎng)、面積的計(jì)算量角器等分圓周畫正多邊形量角器等分圓周畫正多邊形尺規(guī)作正方形、正六邊形等尺規(guī)作正方形、正六邊形等圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)及組合圖形周長(zhǎng)的計(jì)算圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)及組合圖形周長(zhǎng)的計(jì)算圓面積、扇形面積及組合圖形面積的計(jì)算圓面積、扇形面積及

10、組合圖形面積的計(jì)算 1. 正正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是_;中心角是中心角是_；正多邊形的中心角與外角的正多邊形的中心角與外角的大小關(guān)系是大小關(guān)系是_.n360nn1802）（相等相等 2. O是正是正ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的_圓與圓與_圓的圓心圓的圓心.外接外接內(nèi)切內(nèi)切 3. OB叫正叫正ABC的的_ ，它是正，它是正ABC的的_圓的半徑圓的半徑. 4. OD叫作正叫作正ABC的的_ ，它是，它是正正ABC的的_ 圓的半徑。圓的半徑。ABC.OD半徑半徑外接外接邊心距邊心距內(nèi)切內(nèi)切ABCDE5. 求證：正五邊形的對(duì)角線相等求證：正五邊形的對(duì)角線相等.證明：

11、連結(jié)證明：連結(jié)BD、CE，則，則 在在BCD和和CDE中中 BC=CD BCD=CDE CD=DE BCD CDE BD=CE 同理可證對(duì)角線相等同理可證對(duì)角線相等. 6. 正六邊形正六邊形ABCDEF外切于外切于 O， O的半的半徑為徑為R，則該正六邊形的周長(zhǎng)和面積各是多少？，則該正六邊形的周長(zhǎng)和面積各是多少？266323421621 34126 33130tan ,30tan ， ,3021 , ., OBO, :RRROMABSRAMABPROMAMOMAMROMAOBAOMAOMRtBMAMMABOMOMOA、M，AB中在于則連結(jié)于切設(shè)如圖解ABCDEFOMR 8. 正六邊形正六邊形A

12、BCDEF的邊長(zhǎng)是的邊長(zhǎng)是a，分別以，分別以C、F為為圓心，圓心，a為半徑作弧，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是為半徑作弧，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是_.aaaEDlCaalCFABCDEFEAEA364)32(2)(2 32180120 120 , :陰影中正六邊形解ABCDEF2)233()2(36 2 )( 2 ,120 , , :aSSSSSSSSSSSSCOAAOCCOAAOCCOAOOAOCAOCAOCOAOCAOCOAOCCOAAOCOAOCAOC扇形小弓形陰影扇形扇形弓形小弓形則連結(jié)的圓心為設(shè)如圖解 9. 等邊等邊ABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 a ,以各邊為弦以各邊為弦作弧交于作弧交于ABC的外心

13、的外心O. 求求:菊形的面積菊形的面積.ABCOO 10. A是半徑為是半徑為2的的 O外的一點(diǎn)外的一點(diǎn),OA=4,AB是是 O的切線的切線,點(diǎn)點(diǎn)B是切點(diǎn)是切點(diǎn),弦弦BCOA,邊結(jié)邊結(jié)AC,則圖中陰影部分的面積等于則圖中陰影部分的面積等于 ( )A. 32360260 60 , 2, 4 , D.BOAC, OB,OC,，2故選由同底等高知交于點(diǎn)設(shè)連結(jié)如圖扇形陰影COBADBOCDSSCODOABDOBOASSABCDO332 D. C. 38 B. 32 A. AABCDEF 11. 已知正六邊形已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為2厘米厘米, 分分別以每個(gè)頂點(diǎn)為圓心別以每個(gè)頂點(diǎn)為圓心, 以以1厘米為半徑作弧厘米為半徑作弧, 求這些弧求這些弧所圍成的圖形所圍成的圖形(陰影部分陰影部分)面積面積.(精確到精確到0.1平方厘米平方厘米).HG)4.1( 236 360112062436 6222cmSSSAGH扇形正六邊形陰O 3. 至少是至少是 . 4. 正多邊形是軸對(duì)稱圖形，奇數(shù)邊的正多正多邊形