湖南城市學(xué)院-隨機(jī)過程講稿(7)

1、13.1 線性變換的概念及基本定理線性變換的概念及基本定理3.2 隨機(jī)過程的微分和積分隨機(jī)過程的微分和積分3.3 隨機(jī)微分方程隨機(jī)微分方程3.4 隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析第三章 隨機(jī)過程的線性變換 3.5 隨機(jī)序列的線性變換隨機(jī)序列的線性變換23.53.5、隨機(jī)序列的線性變換、隨機(jī)序列的線性變換3.5.1 隨機(jī)過程采樣定理隨機(jī)過程采樣定理確知信號采樣：為了避免恢復(fù)信號時發(fā)生頻率混疊，對連續(xù)信號確知信號采樣：為了避免恢復(fù)信號時發(fā)生頻率混疊，對連續(xù)信號的采樣頻率必須大于或等于兩倍信號的最高頻率。即對一個確定的采樣頻率必須大于或等于兩倍信號的最高頻率。即對一個確定性的連續(xù)

2、信號性的連續(xù)信號s(t)，其頻率范圍限定在（，其頻率范圍限定在（-C，C）之間，按照采）之間，按照采樣定理，則采樣頻率為樣定理，則采樣頻率為S2C，得到采樣序列，得到采樣序列s(nT); n=0, 1, 2, ，其中，其中T為采樣間隔，則信號為采樣間隔，則信號s(t)完全可以由完全可以由s(nT) 恢復(fù)出來，即恢復(fù)出來，即ntntnTstsCCnn)sin()()(3定理定理3.7設(shè)連續(xù)性隨機(jī)過程設(shè)連續(xù)性隨機(jī)過程X(t)是頻帶有限的，即它的功率譜密度滿足以是頻帶有限的，即它的功率譜密度滿足以下關(guān)系下關(guān)系cXG,0)(CCCnnTntntnTXtX,)sin()()(選擇采樣頻率選擇采樣頻率S2

3、C，對隨機(jī)過程，對隨機(jī)過程X(t)進(jìn)行等間隔采樣，得到進(jìn)行等間隔采樣，得到采樣序列采樣序列X(nT); n=0, 1, 2, ，其中，其中T為采樣間隔，則為采樣間隔，則隨機(jī)過程隨機(jī)過程X(t)可以由序列可以由序列X(nT)得到估計(jì)，即得到估計(jì)，即并且滿足并且滿足0)()(2tXtXE證明：略證明：略（1）（2）43.5.2 隨機(jī)序列的示性函數(shù)隨機(jī)序列的示性函數(shù)dxnxxfnXEmX),()(（1）設(shè)有隨機(jī)序列X(n)，它的數(shù)學(xué)期望定義為：可見隨機(jī)序列的數(shù)學(xué)期望是n的函數(shù)。（2）隨機(jī)序列X(n)，它的方差定義為：)()(),()()()(22222nmnXEdxnxfnmxnmnXEXXXXX5

4、)()(),(jXiXEjiRX )()(),()()()()(),(jmimjiRjmjXEimiXEjiKXXXXXX2)()(),(),(XXXXXnmnmnnRnnK（3）隨機(jī)序列X(n)的自相關(guān)函數(shù)定義為：（4）隨機(jī)序列X(n)的自協(xié)方差函數(shù)定義為：當(dāng)i=j時，協(xié)方差函數(shù)為方差，即6)()()(),(2222nXEnXEnmnnRXXX)()(),(jYiXEjiRXY )()()()(),(jmjYEimiXEjiKYXXY（5）隨機(jī)序列X(n)的均值、方差和均方值之間的關(guān)系：（6）類似于連續(xù)隨機(jī)過程，兩個隨機(jī)序列X(n)和Y(n)的互相關(guān)函數(shù)定義為：（7）隨機(jī)序列X(n)與Y(n

5、)的互協(xié)方差函數(shù)定義為：7平穩(wěn)隨機(jī)序列的平穩(wěn)隨機(jī)序列的Z變換定義變換定義mmmXXzmRzG)()(由于平穩(wěn)隨機(jī)序列的相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，則其Z變換滿足：)()(1zGzGXXdzzzGmRmCXX1)()(同樣平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)可用通過逆Z變換得到：其中C是收斂域內(nèi)包含z平面原點(diǎn)逆時針的閉合曲線。8平穩(wěn)隨機(jī)序列的離散時間傅里葉變換（功率譜密度）定義平穩(wěn)隨機(jī)序列的離散時間傅里葉變換（功率譜密度）定義根據(jù)離散傅里葉變換的性質(zhì)可知，功率譜密度函數(shù)是以2為周期的函數(shù)。當(dāng)m=0時，有即功率譜密度在一個周期內(nèi)的平均值等于隨機(jī)序列的平均功率。mjmmXjXXemReGG)()()(同樣平穩(wěn)隨機(jī)序列的自

6、相關(guān)函數(shù)可用通過對功率譜密度函數(shù)進(jìn)行逆DTFT變換：deGmRmjXX)(21)(dGnXERXX)(21)()0(290)(XG平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)的功率譜密度具有以下性質(zhì)：的功率譜密度具有以下性質(zhì)：(1)功率譜密度為實(shí)、偶函數(shù)(2)功率譜密度為非負(fù)函數(shù))()();()(*XXXXGGGG兩個聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)序列兩個聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)和和Y(n)，它們的互相關(guān)函數(shù)與互，它們的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度之間的關(guān)系功率譜密度之間的關(guān)系mjmmXYXYemRG)()(deGmRmjXYXY)(21)(103.5.3 隨機(jī)隨機(jī)序列各態(tài)歷經(jīng)性序列各態(tài)歷經(jīng)性XpXTmm(1)設(shè)隨機(jī)序列X(n

7、)，其時間均值定義：對于平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n),如果時間均值以概率1等于集合平均，即NnNnNXTnXNm)(121lim則稱X(n)均值具有遍歷性。11)()(mmmRXpXT(2)設(shè)隨機(jī)序列X(n)，其時間相關(guān)函數(shù)定義：對于平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n),如果時間相關(guān)函數(shù)以概率1等于集合相關(guān)函數(shù)，即)()(121lim)(mnXnXNmRNnNnNXT則稱X(n)相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。如果隨機(jī)序列如果隨機(jī)序列X(n)的均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則稱隨的均值和相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則稱隨機(jī)序列機(jī)序列X(n)為具有遍歷性的隨機(jī)序列。為具有遍歷性的隨機(jī)序列。123.5.4 隨機(jī)隨機(jī)序列的線性變換序列的線性變換設(shè)離散線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為h(n)，輸入的隨機(jī)序列為X(n)，系統(tǒng)的輸出Y(n)為：)()()()()()()(nXnhkXknhknXkhnYkkh(n)X(n)Y(n)離散線性系統(tǒng)示意圖離散線性系統(tǒng)示意圖13（1）系統(tǒng)的輸出Y(n)均值為：)()()(nmnhnmXY（2）系統(tǒng)的輸出Y(n)與輸入X(n)的互相關(guān)函數(shù)為：),()(),(21221nnRnhnnRXXY（3）系統(tǒng)的輸出Y(n)自相關(guān)函數(shù)為：),()()(),()(),(212121121nnRnhnhnnRnhnnRXXYY14（2）系統(tǒng)的輸出Y(n)與輸入X(n)的互相關(guān)函數(shù)為：)()()