高數(shù)D函數(shù)的極限PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高數(shù)高數(shù)D函數(shù)的極限函數(shù)的極限從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列是下標(biāo)變量n的函數(shù)( )nxf n，它有極限.A也可以這樣敘述：若在自變量n時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)則稱(chēng)當(dāng)n時(shí)，函數(shù))(nfxn有極限。這種定義數(shù)列極限的思維方法也適合于一般的函數(shù))(xf，由于)(xf的自變量 x變化方式的不同，)(xf的極限定義就有不同的形式，需分類(lèi)定義。( )f nA ，, )(xfy 對(duì)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過(guò)程的六種形式:第1頁(yè)/共23頁(yè)1. 0 xx 時(shí)函數(shù)極限的定義問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述下述過(guò)程:在0 xx 的過(guò)程中,函數(shù))(xf無(wú)限趨近于確定值.A要點(diǎn):(1)過(guò)程

2、:0 xx , 0 ;|00 xx 體現(xiàn)x與0 x的接近程度.(2)函數(shù))(xf與A無(wú)限接近:, 0 有.|)(| Axf第2頁(yè)/共23頁(yè))(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)(則稱(chēng)常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xUx時(shí), 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2) 這表明: AA幾何解釋幾何解釋:OAx0 xy)(xfy 第3頁(yè)/共23頁(yè)一般說(shuō)來(lái)一般說(shuō)來(lái), ,)(lim0Axfxx 論論證證應(yīng)從不等式應(yīng)從不等式 Axf)(出發(fā)出發(fā),

3、這個(gè)正數(shù)就是要找的與這個(gè)正數(shù)就是要找的與 相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的 , 這個(gè)推導(dǎo)常常是困難的這個(gè)推導(dǎo)常常是困難的. 但是但是, , 注意到我們不需要找最大的注意到我們不需要找最大的, 所以所以Axf )(適當(dāng)放大些適當(dāng)放大些,的式子的式子,變成易于解出變成易于解出0 xx . 找到一個(gè)需要的找到一個(gè)需要的 找到找到就證明完畢就證明完畢.可把可把推導(dǎo)推導(dǎo) 小于怎樣的正數(shù)小于怎樣的正數(shù), ,0 xx 第4頁(yè)/共23頁(yè))(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對(duì)任意的,0當(dāng)00 xx時(shí) , 0CC因此CCxx0lim總有第5頁(yè)/共23頁(yè) . lim 00 xxxx證明證證 , | 0 , ,

4、 00時(shí)則當(dāng)取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例2.2.第6頁(yè)/共23頁(yè)1)12(lim1xx證證:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2則當(dāng)10 x時(shí), 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx第7頁(yè)/共23頁(yè)211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí), 必有2112xx因此211lim21xxx1 x第8頁(yè)/共23頁(yè)00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且.0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時(shí)00 x

5、xxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時(shí),00 xxx保證 .必有Ox0 xx第9頁(yè)/共23頁(yè)定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時(shí)使當(dāng)xUx. 0)(xf)0)(xf證證: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU當(dāng)時(shí), 有.)(AxfA當(dāng) A 0 時(shí), 取正數(shù),A則在對(duì)應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU(P37定理3)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第10頁(yè)/共23頁(yè)AxfA)(:0A:0A若取,2A則在對(duì)應(yīng)的鄰域上 若,0)(lim0Axfxx則存在使當(dāng)時(shí), 有.2)

6、(Axf23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx(P37定理3)分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第11頁(yè)/共23頁(yè)0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx則. 0A)0(A證證: 用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 ,使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知所以假設(shè)不真, .0A(同樣可證0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假設(shè) A 0 , 條件矛盾,故時(shí),當(dāng)0)(xf第12頁(yè)/共23頁(yè)左極限 :)(0 xfAxfxx)

7、(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf右極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 題*11 )第13頁(yè)/共23頁(yè)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy第14頁(yè)/共23頁(yè)驗(yàn)證驗(yàn)證xxx0lim不

8、存在不存在. .證證xxx 0lim)1(limlim00 xxxx; 1 xxx 0lim1limlim00 xxxx. 1 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等. .)(lim0 xfx不存在不存在. .第15頁(yè)/共23頁(yè)XXAAOxy)(xfy A定義定義2 . 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,0X,)(,AxfXx有時(shí)當(dāng)則稱(chēng)常數(shù)時(shí)的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作直線(xiàn) y = A 為曲線(xiàn))(xfy 的水平漸近線(xiàn) .,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù)第16頁(yè)/共23頁(yè). 01limxx證證:01xx1取,1X,時(shí)當(dāng)Xx 0

9、1x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平漸近線(xiàn)為xyyOxyxy1第17頁(yè)/共23頁(yè)Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直線(xiàn) y = A 仍是曲線(xiàn) y = f (x) 的漸近線(xiàn) .Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí), 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線(xiàn);0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線(xiàn). 1y又如，Oxyx21x21第18頁(yè)/共23頁(yè)解解顯然有顯然有,2arctanlim xx,2arctanlim xx可見(jiàn)可見(jiàn)xxarctanlim 和和xxarctanlim

10、 雖然都存在雖然都存在, ,但它們不相等但它們不相等. .xxarctanlim 故故不存在不存在. . 討論極限討論極限 是否存在是否存在? ?xxarctanlim 22yxyarctanx第19頁(yè)/共23頁(yè)三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)與收斂數(shù)列的性質(zhì)相比較與收斂數(shù)列的性質(zhì)相比較, ,可得函數(shù)極限的一些相可得函數(shù)極限的一些相應(yīng)性質(zhì)應(yīng)性質(zhì). .下面僅以下面僅以0 xx 的極限形式為代表給出這的極限形式為代表給出這些性質(zhì)些性質(zhì), ,至于其他形式的極限的性質(zhì)至于其他形式的極限的性質(zhì), ,只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到. .唯一性唯一性若若)(lim0 xfxx存在存在, ,

11、則極限唯一則極限唯一. .局部有界性局部有界性若若,)(lim0Axfxx 則存在常數(shù)則存在常數(shù)0 M和和, 0 使得當(dāng)使得當(dāng) |00 xx時(shí)時(shí), ,有有.| )(|Mxf 第20頁(yè)/共23頁(yè)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系如果極限如果極限存在存在,nx為函數(shù)為函數(shù))(xf的定義域內(nèi)任一收斂于的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列的數(shù)列,那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足:0 xxn ),( Nn)(nxf必收斂必收斂,且且證證設(shè)設(shè)則則, 0 , 0 ,|00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx.|)(| Axf有有故對(duì)故對(duì), 0 ,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 有有.|0 xxn,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,|00 xxn有有.|)(| Axfn即即0limxxnn )(lim0 xfxx).(lim)(lim0 xfxfxxnn )(limnnxfA,)(lim0Axfxx 第21頁(yè)/共23頁(yè)1. 函數(shù)