ch1復(fù)數(shù)和復(fù)平面講課

1、1復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換李李 畸畸 勇勇廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院2一、教學(xué)及考核方式一、教學(xué)及考核方式主要參考書(shū)主要參考書(shū)（略）（略）考試方式：考試方式： 閉卷閉卷考試成績(jī)：考試成績(jī)： 平時(shí)占平時(shí)占 40%，考試占，考試占 60%作業(yè)：作業(yè)： 每次課交作業(yè)一次每次課交作業(yè)一次答疑：答疑： 每周一次每周一次課堂教學(xué)：課堂教學(xué)： 42 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)( (練習(xí)冊(cè)練習(xí)冊(cè)) )( (電氣學(xué)院電氣學(xué)院303303室室) )3二、二、教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容本課程由本課程由復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)與與積分變換積分變換兩個(gè)部分組成。兩個(gè)部分組成。復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)復(fù)變函

2、數(shù)與積分變換課程是工科各專業(yè)必修的重要基礎(chǔ)理論課，是工程數(shù)學(xué)的主要課程之一。理論課，是工程數(shù)學(xué)的主要課程之一。復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換在科學(xué)研究、工程技術(shù)等各行各業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。在科學(xué)研究、工程技術(shù)等各行各業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容包括：的內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示、留數(shù)及其應(yīng)用、共形變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示、留數(shù)及其應(yīng)用、共形映射映射以及以及解析函數(shù)在平面場(chǎng)的應(yīng)用解析函數(shù)在平面場(chǎng)的應(yīng)用。其中，帶其中，帶 “* *” 號(hào)的內(nèi)容本課堂不需要掌握。號(hào)的內(nèi)容本課堂不需要掌握。積分變換積分變

3、換的內(nèi)容包括：的內(nèi)容包括：傅里葉變換和拉普拉斯變換傅里葉變換和拉普拉斯變換。4第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面復(fù)數(shù)與復(fù)平面復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展 。復(fù)變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)變函數(shù)理論中的許多概念、理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀(jì)中期。但直到十八的產(chǎn)生最早可以追溯到十六世紀(jì)中期。但直到十八世紀(jì)末期，經(jīng)過(guò)了世紀(jì)末期，經(jīng)過(guò)了卡爾丹卡爾丹、笛卡爾笛卡爾、歐拉歐拉以及以及高斯高斯等許多人等許多人的長(zhǎng)期努力，復(fù)數(shù)的地位才被確立下來(lái)。的長(zhǎng)期努力，復(fù)數(shù)的地位才被確立下來(lái)。復(fù)變函數(shù)理論復(fù)變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀(jì)，在十九世紀(jì)得到

4、了全面產(chǎn)生于十八世紀(jì)，在十九世紀(jì)得到了全面為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的發(fā)展。發(fā)展。為復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是為復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了早期工作的是歐拉歐拉、達(dá)朗達(dá)朗貝爾貝爾、拉普拉斯拉普拉斯等。等。則是則是柯西柯西、黎曼黎曼和和維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯等。等。( (虛數(shù)史話虛數(shù)史話) )5第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面復(fù)數(shù)與復(fù)平面1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示復(fù)數(shù)的幾種表示1.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)1.3 平面點(diǎn)集的一般概念平面點(diǎn)集的一般概念1.4 無(wú)窮大與復(fù)球面無(wú)窮大與復(fù)球面6第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 1.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)

5、算一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算二、共軛復(fù)數(shù)二、共軛復(fù)數(shù)7第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1. 復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的基本概念定義定義 (1) 設(shè)設(shè) x 和和 y 是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，yixz ( (或者或者 ) )i yxz 的數(shù)稱為的數(shù)稱為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)。 (2) x 和和 y 分別稱為復(fù)數(shù)分別稱為復(fù)數(shù) z 的的實(shí)部實(shí)部與與虛部虛部，并分別表示為：，并分別表示為： ,Rezx .Im zy 當(dāng)當(dāng) y 0 時(shí)，時(shí)，因此，實(shí)數(shù)可以看作是復(fù)數(shù)的特殊情形。因此，實(shí)數(shù)可以看作是復(fù)數(shù)的特殊情形。(3) 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，yiyiz 0稱為稱為純虛數(shù)純虛數(shù)；xixz 0就

6、是就是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)。將形如將形如.1 i其中其中 i 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位，即，即8第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 設(shè)設(shè) 與與 是兩個(gè)復(fù)數(shù)，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，111yixz 222yixz 如果如果,21xx ,21yy 則稱則稱 與與 相等相等。1z2z它們之間只有相等與不相等的關(guān)系。它們之間只有相等與不相等的關(guān)系。一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1. 復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的基本概念相等相等0 yixz當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng).0 yx特別地，特別地，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同，兩個(gè)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同，兩個(gè)復(fù)數(shù)( (虛部不為零虛部不為零) )不能比較大小，不能比較大小，注注9第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù)

7、一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2. 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)設(shè) 與與 是兩個(gè)復(fù)數(shù)，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，111yixz 222yixz (1) 復(fù)數(shù)的加減法復(fù)數(shù)的加減法; )(212121yyixxzz 加法加法. )(212121yyixxzz 減法減法(2) 復(fù)數(shù)的乘除法復(fù)數(shù)的乘除法; )()(1221212121yxyxiyyxxzz 乘法乘法,21zzz .21zzz 如果存在復(fù)數(shù)如果存在復(fù)數(shù) z，使得，使得則則除法除法10第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算2. 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(3) 運(yùn)算法則運(yùn)算法則交換律交換律;1221zzzz .12

8、21zzzz 結(jié)合律結(jié)合律; )()(321321zzzzzz . )()(321321zzzzzz 分配律分配律.)(3121321zzzzzzz 11第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 二、共軛復(fù)數(shù)二、共軛復(fù)數(shù)1. 共軛復(fù)數(shù)的定義共軛復(fù)數(shù)的定義設(shè)設(shè) 是一個(gè)復(fù)數(shù)，是一個(gè)復(fù)數(shù)，定義定義yixz 稱稱 為為 z 的的共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)，yixz 記作記作 。z共軛復(fù)數(shù)有許多用途。共軛復(fù)數(shù)有許多用途。注注比如比如21zzz )( )()( )(22222211yixyixyixyix 2221zzzz 12第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 二、共軛復(fù)數(shù)二、共軛復(fù)數(shù)2. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的

9、性質(zhì)其中，其中，“ ”可以是可以是;, ,2121zzzz (2);ImRe2222yxzzzz (3);zz (1)性質(zhì)性質(zhì)13第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 解解 (1)iizz435521 )43( )43()43( )55(iiii 25535i .5157i .5157i 21zz 21zz(2)14第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 1.1 復(fù)數(shù) 證明證明2121zzzz 2121zzzz 2121zzzz . )(Re221zz 15第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 卡爾丹稱它們?yōu)榭柕しQ它們?yōu)椤疤摌?gòu)的量虛構(gòu)的量”或或“詭辯的量詭辯的量”。他還把它。他還把它們與們與負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為“虛偽數(shù)虛偽

10、數(shù)”；把正數(shù)稱為；把正數(shù)稱為“證實(shí)數(shù)證實(shí)數(shù)”。附：附：歷史知識(shí)歷史知識(shí) 虛數(shù)史話虛數(shù)史話兩數(shù)的和是兩數(shù)的和是 10 , 積是積是 40 , 求這兩數(shù)求這兩數(shù)卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把卡爾丹發(fā)現(xiàn)只要把 10 分成分成 和和 即可。即可。155 155 1545 年，卡爾丹第一個(gè)認(rèn)真地討論了虛數(shù)，他在年，卡爾丹第一個(gè)認(rèn)真地討論了虛數(shù)，他在大術(shù)大術(shù)中求解這樣的問(wèn)題：中求解這樣的問(wèn)題： 卡爾丹的這種處理，遭到了當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)權(quán)威韋達(dá)和他的卡爾丹的這種處理，遭到了當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)權(quán)威韋達(dá)和他的學(xué)生哈里奧特的責(zé)難。學(xué)生哈里奧特的責(zé)難。16第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 附：附：歷史知識(shí)歷史知識(shí) 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 整個(gè)十七世紀(jì)，很少

11、有人理睬這種整個(gè)十七世紀(jì)，很少有人理睬這種 “虛構(gòu)的量虛構(gòu)的量” 。僅有極少數(shù)的數(shù)學(xué)家對(duì)其存在性問(wèn)題爭(zhēng)論不休。僅有極少數(shù)的數(shù)學(xué)家對(duì)其存在性問(wèn)題爭(zhēng)論不休。意義下的意義下的“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)”的名稱。的名稱。 1632 年，笛卡爾在年，笛卡爾在幾何學(xué)幾何學(xué)中首先把這種中首先把這種“虛構(gòu)的量虛構(gòu)的量”改稱為改稱為“虛數(shù)虛數(shù)”，與，與“實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)。同時(shí)，還給出了如相對(duì)應(yīng)。同時(shí)，還給出了如今今17第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 附：附：歷史知識(shí)歷史知識(shí) 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 到了十八世紀(jì)，虛數(shù)才開(kāi)始被關(guān)注起來(lái)。到了十八世紀(jì)，虛數(shù)才開(kāi)始被關(guān)注起來(lái)。,sin1cos)sin1(cosnnn 1722 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家德摩佛給

12、出德摩佛定理：年，法國(guó)數(shù)學(xué)家德摩佛給出德摩佛定理： 其中其中 n 是大于零的整數(shù)。是大于零的整數(shù)。,sin1cos1exxx 1748 年，歐拉給出了著名的公式：年，歐拉給出了著名的公式：并證明了德摩佛定理對(duì)并證明了德摩佛定理對(duì) n 是實(shí)數(shù)時(shí)也成立。是實(shí)數(shù)時(shí)也成立。.1 1777 年，歐拉在遞交給彼德堡科學(xué)院的論文年，歐拉在遞交給彼德堡科學(xué)院的論文微分公式微分公式中首次使用中首次使用 i 來(lái)表示來(lái)表示18第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 附：附：歷史知識(shí)歷史知識(shí) 虛數(shù)史話虛數(shù)史話 十八世紀(jì)末，高斯的出現(xiàn)使得復(fù)數(shù)的地位被確立下來(lái)。十八世紀(jì)末，高斯的出現(xiàn)使得復(fù)數(shù)的地位被確立下來(lái)。 1797 年，當(dāng)時(shí)年僅年，當(dāng)

13、時(shí)年僅 20 歲的高斯在他的博士論文中證明了歲的高斯在他的博士論文中證明了代數(shù)基本定理。代數(shù)基本定理。 高斯在證明中巧妙地給出了復(fù)數(shù)的幾何表示，使得人們高斯在證明中巧妙地給出了復(fù)數(shù)的幾何表示，使得人們直觀地理解了復(fù)數(shù)的真實(shí)意義。直觀地理解了復(fù)數(shù)的真實(shí)意義。 十九世紀(jì)中葉以后，復(fù)變函數(shù)論開(kāi)始形成，并逐漸發(fā)展十九世紀(jì)中葉以后，復(fù)變函數(shù)論開(kāi)始形成，并逐漸發(fā)展成為一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支。成為一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支。而且而且 n 次多項(xiàng)式恰好有次多項(xiàng)式恰好有 n 個(gè)根。個(gè)根。任何多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域里必有根，任何多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域里必有根，即即19第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 附：附：人物介紹人物介紹 高斯高斯 許多數(shù)學(xué)學(xué)科的開(kāi)

14、創(chuàng)者和奠基人。許多數(shù)學(xué)學(xué)科的開(kāi)創(chuàng)者和奠基人。 幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)。幾乎對(duì)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都做出了重大貢獻(xiàn)。 享有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)。享有數(shù)學(xué)王子的美譽(yù)。德國(guó)數(shù)學(xué)家、 (17771855)高 斯Johann Carl Friedrich Gauss物理學(xué)家、 天文學(xué)家20第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 高斯去世后，哥廷根大學(xué)對(duì)高斯的文稿進(jìn)行了整理，高斯去世后，哥廷根大學(xué)對(duì)高斯的文稿進(jìn)行了整理，歷時(shí)歷時(shí)67年，出版了年，出版了高斯全集高斯全集，共，共12卷。卷。附：附：人物介紹人物介紹 高斯高斯 在哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，矗立著一座用白色大理石砌在哥廷根大學(xué)的廣場(chǎng)上，矗立著一座用白色大理石砌成的紀(jì)念

15、碑，它的底座砌成成的紀(jì)念碑，它的底座砌成 正十七邊形正十七邊形，紀(jì)念碑上是，紀(jì)念碑上是高斯的青銅雕像。高斯的青銅雕像。18歲歲( (返回返回) )21第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 1.2 復(fù)數(shù)的幾種表示復(fù)數(shù)的幾種表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根四、幾個(gè)關(guān)系四、幾個(gè)關(guān)系22第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示1. 復(fù)平面復(fù)平面此時(shí)，此時(shí)，x 軸稱為軸稱為實(shí)軸實(shí)軸，y 軸稱為軸稱為虛軸虛軸。在平面上建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，在平面上建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，定義定義用坐標(biāo)為用坐標(biāo)為 的點(diǎn)來(lái)的點(diǎn)

16、來(lái)),(yx,yixz 表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)從而將全體復(fù)數(shù)和平面上的全部點(diǎn)從而將全體復(fù)數(shù)和平面上的全部點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，一一對(duì)應(yīng)起來(lái)， 的平面稱為的平面稱為復(fù)平面復(fù)平面或者或者這樣表示復(fù)數(shù)這樣表示復(fù)數(shù) zz 平面平面。23第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 引進(jìn)復(fù)平面后，引進(jìn)復(fù)平面后，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 與與點(diǎn)點(diǎn) z 以及以及向量向量 z 視為同一個(gè)概念。視為同一個(gè)概念。yixz 在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn)在復(fù)平面上，從原點(diǎn)到點(diǎn)所引的向量與該復(fù)數(shù)所引的向量與該復(fù)數(shù) z 也構(gòu)成一一也構(gòu)成一一一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示1. 復(fù)平面復(fù)平面y 實(shí)軸實(shí)軸虛軸虛軸i yxz xO對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系( (復(fù)數(shù)零復(fù)數(shù)零對(duì)應(yīng)零向量對(duì)

17、應(yīng)零向量) )。 比如，比如，復(fù)數(shù)的加減法復(fù)數(shù)的加減法等同于等同于向量的平行四邊形法則向量的平行四邊形法則。24第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 將復(fù)數(shù)和向量對(duì)應(yīng)之后，除了利用將復(fù)數(shù)和向量對(duì)應(yīng)之后，除了利用實(shí)部與虛部來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)以外，實(shí)部與虛部來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)以外，一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示2. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角y i yxz xOxyr 定義定義 設(shè)設(shè) z 的是一個(gè)不為的是一個(gè)不為 0 的復(fù)數(shù)，的復(fù)數(shù)，. |z(1) 向量向量 z 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 r 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù) z 的的模模，記為，記為還可以借助向量的長(zhǎng)度與方向來(lái)給還可以借助向量的長(zhǎng)度與方向來(lái)給定一個(gè)復(fù)數(shù)。定一個(gè)復(fù)數(shù)。(2)

18、向量向量 z 的的“方向角方向角” 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù) z 的的輻角輻角，記為，記為.Argz (?)25第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示2. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角zxy 兩點(diǎn)說(shuō)明兩點(diǎn)說(shuō)明(1) 輻角是多值的，輻角是多值的，(2) 輻角的符號(hào)約定為：輻角的符號(hào)約定為：逆時(shí)針取正號(hào)，順時(shí)針取負(fù)號(hào)。逆時(shí)針取正號(hào)，順時(shí)針取負(fù)號(hào)。 相互之間可相差相互之間可相差,2 k其中其中 k 為整數(shù)。為整數(shù)。例如例如 對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù),1iz 則有則有,2| z,243Argkz .,2,1,0 k復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 0 的模為的模為 0，輻角無(wú)意義。，輻角無(wú)意義。注注26第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平

19、面 由此就有如下關(guān)系：由此就有如下關(guān)系：一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示2. 復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模與輻角主輻角主輻角對(duì)于給定的復(fù)數(shù)對(duì)于給定的復(fù)數(shù) 設(shè)有設(shè)有 滿足：滿足：,0 z zArg 且且, 則稱則稱 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù) z 的的主輻角主輻角，記作，記作 .arg z,2argArgkzz .,2,1,0 k27第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 )(31arctanarg ziiiiz)1(212 解解.3i ,10)1()3(|22 z31arctan . xy3 1 28第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 (1) 已知實(shí)部與虛部，求模與輻角已知實(shí)部與虛部，求模與輻角。一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示3. 相

20、互轉(zhuǎn)換關(guān)系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系y i yxz xOxy|zzarg;22yx| z | 29第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 (1) 已知實(shí)部與虛部，求模與輻角已知實(shí)部與虛部，求模與輻角。一、復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)數(shù)的幾何表示3. 相互轉(zhuǎn)換關(guān)系相互轉(zhuǎn)換關(guān)系(2) 已知模與輻角，求實(shí)部與虛部已知模與輻角，求實(shí)部與虛部。)cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此引出復(fù)數(shù)的三角表示式由此引出復(fù)數(shù)的三角表示式。y i yxz xOxy|zzarg30第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示1. 復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三

21、角表示稱稱 為為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 的的三角表示式三角表示式。)sin(cos irz y i yxz xOxyr 如圖，如圖，有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定義定義 設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù) r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個(gè)輻角，的任意一個(gè)輻角，,0 z,cos rx ,sin ry 由由31第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示2. 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示復(fù)數(shù)的指數(shù)表示)sin(cos irz .e ir 利用歐拉公式利用歐拉公式 得得 sincoseii 稱稱 為為復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 的的指數(shù)表示式指數(shù)表示式。 irze 定義定義 設(shè)復(fù)數(shù)

22、設(shè)復(fù)數(shù) r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個(gè)輻角，的任意一個(gè)輻角，,0 z但習(xí)慣上一般取為但習(xí)慣上一般取為主輻角主輻角。在復(fù)數(shù)的三角表示式與在復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，指數(shù)表示式中，輻角不是唯一的，注注補(bǔ)補(bǔ) ( (歐拉公式歐拉公式) )32第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 ,4412| z解解)(122arctanarg zxy212 31arctan 6 .65 . )65sin65cos(4iz 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的三角表示式為的三角表示式為z.465eiz 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式為的指數(shù)表示式為z33第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)

23、表示3. 利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算.)(2121eirr ,1e11 irz ,2e22 irz 設(shè)設(shè)乘法乘法21ee2121iirrzz 21zz2 1z2zxy1 , |2121zzzz 即即.ArgArg)(Arg2121zzzz ( (在集合意義下在集合意義下?)?) 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；模等于它們的模的乘積；( (集合意義集合意義) )34第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示二、復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示3. 利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算利用指數(shù)表示進(jìn)行復(fù)

24、數(shù)的乘除法運(yùn)算,1e11 irz ,2e22 irz .)(2121eirr 設(shè)設(shè)除法除法21ee2121iirrzz 1z2z2 21zz1z2zxy1 .ArgArgArg2121)(zzzz ( (在在集合意義下集合意義下) ) 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于它們幅角的差。幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；模等于它們的模的商；,|2121zzzz 即即35第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 i)42(e21 i43e21 .2121i .1ii 例例 計(jì)算計(jì)算,2eii i 1i4e2 解解 由由有有ii42ee2 ii 1附附一些一些“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”復(fù)數(shù)的指數(shù)形式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式,1e i,

25、12e i,12e ik,2eii ,2eii .1 i i1i 1i 1i 1i 136第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 i)653(e4 i2e4 .4i i)653(e i67e 67sin67cosi .2123i i31 ,23ei i 3i65e2 解解 由由有有ii653ee22 )3( )31(ii ii653ee22 ii 33137第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 的的乘冪乘冪，設(shè)設(shè) z 是給定的復(fù)數(shù)，是給定的復(fù)數(shù)， n 為正整數(shù)，為正整數(shù)，n 個(gè)個(gè) z 相乘的積稱為相乘的積稱為定義定義三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1. 復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪,e irz .)(ee nin

26、ninrrz 設(shè)設(shè)則則法則法則 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到乘冪法則。,nz.個(gè)個(gè)nnzzzz 即即記為記為38第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1. 復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪. )sin(cos)sin(cos ninrirznnn .sincos)sin(cos ninin ninninrrze)e( 由由以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得以及復(fù)數(shù)的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，則得到，則得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 進(jìn)一步易得到正弦與余弦函數(shù)進(jìn)一步易

27、得到正弦與余弦函數(shù)的的 n 倍倍角公式角公式。39第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 23)(ei .32ei 例例22321 i33)(ei 32321 iie .1 33)(ei 32321 ii e.1 3( 1)1. 此外，顯然有此外，顯然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。40第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) w ，三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2. 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根稱為把復(fù)數(shù)稱為把復(fù)數(shù) 開(kāi)開(kāi) n 次方次方，或者稱為求復(fù)數(shù)，或者稱為求復(fù)數(shù) 的的zz 復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算復(fù)數(shù)求方根是復(fù)數(shù)乘冪的逆運(yùn)算。設(shè)設(shè) 是給定的復(fù)數(shù)，是給定的復(fù)數(shù)，n 是正整數(shù)，求所有滿足是正整數(shù)，求所有

28、滿足 的的zzwn 定義定義n 次方根次方根，記作記作 或或nzw ./1 nzw 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。z41第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 ,2nkn . )1, 1, 0( nk三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2. 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根 利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開(kāi)方法則。利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式可以很快得到開(kāi)方法則。設(shè)設(shè)推導(dǎo)推導(dǎo),e irz ,e iw 即即, )sin(cos)sin(cos irninn ;nr ,2 kn 得得,rn kk 正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。正實(shí)數(shù)的算術(shù)根。由由zwn ,ee ininr 有有42第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 三、復(fù)數(shù)的乘

29、冪與方根三、復(fù)數(shù)的乘冪與方根2. 復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根描述描述,)(2enkninnrzw . )1, 1, 0( nkk n在復(fù)平面上，在復(fù)平面上， 這這 n 個(gè)根均勻地個(gè)根均勻地nr為半徑的圓周上。為半徑的圓周上。. )/(n 根的輻角是根的輻角是分布在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、以分布在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、以其中一個(gè)其中一個(gè)方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一個(gè)特定的根，再確定出其余的根先找到一個(gè)特定的根，再確定出其余的根。43第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 例例 求求.83 ,28)(3233e ki 解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,2 ,23ei.23ei 例例 求解方程

30、求解方程.013 z,11)(32303e kiz 解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,1,32ei.232ei 32 23144第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 四、幾個(gè)關(guān)系四、幾個(gè)關(guān)系, |Re|zz . |Im|zz (1). |212121|zzzzzz (2)zIm|zzRez21zz 21zz 1z2z; |zz .|2zzz ,argargzz ; )arg(z (3)|zzzargzzarg|z45第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 2121zzzz 2221|zz )(Re221zz 2221|zz 2221|zz | )Re(|221zz 2221|zz |221zz .|221)(zz

31、 證證)( )(|2121221zzzzzz )( )(2121zzzz 21zz 利用復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系，可以證明一些幾何利用復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系，可以證明一些幾何問(wèn)題問(wèn)題。21zz 1z2zABC比如，上例證明的結(jié)論可描述為：比如，上例證明的結(jié)論可描述為：三角形的兩邊之和大于等于第三邊。三角形的兩邊之和大于等于第三邊。46第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 .sincose ii 1748 年，歐拉給出了著名的公式年，歐拉給出了著名的公式 令令 有有 .01e i它把五個(gè)最重要的數(shù)它把五個(gè)最重要的數(shù) 聯(lián)系起來(lái)。聯(lián)系起來(lái)。e, 0, 1i公式之一，公式之一，附：附：知識(shí)廣角知識(shí)廣角 奇妙的歐拉公式奇妙的歐拉公式

32、克萊茵認(rèn)為這是數(shù)學(xué)中最卓越的克萊茵認(rèn)為這是數(shù)學(xué)中最卓越的)sin(cos)sin(cosee iiii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos i, )(sin)(cos)(e ii 47第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家 (17071783)歐 拉Leonhard Euler十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一。 數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。 不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域。而且把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域。48第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 (牛頓

33、全集牛頓全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷) 彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研究成果多達(dá)整理出他的研究成果多達(dá) 74 卷。卷。 歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家。歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家。一生共寫下了一生共寫下了 886 本書(shū)籍和論文。本書(shū)籍和論文。以每年平均以每年平均 800 頁(yè)的速度寫出創(chuàng)造性論文。頁(yè)的速度寫出創(chuàng)造性論文。分析、代數(shù)、數(shù)論占分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占，幾何占18%，物理和力學(xué)占物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占彈道學(xué)、航海學(xué)

34、、建筑學(xué)等占3%，其中其中附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉49第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 課本上常見(jiàn)的如課本上常見(jiàn)的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也都是他創(chuàng)立并推廣的。也都是他創(chuàng)立并推廣的。 有的學(xué)者認(rèn)為，自從有的學(xué)者認(rèn)為，自從 1784 年以后，微積分的教科書(shū)年以后，微積分的教科書(shū)基本上都抄襲歐拉的書(shū)?；旧隙汲u歐拉的書(shū)。 歐拉編寫歐拉編寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)的教科書(shū)。了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)的教科書(shū)。無(wú)窮小分析引論無(wú)窮小分析引論、微分學(xué)原理微分學(xué)原理以及以及積分學(xué)原理積分學(xué)原理都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著

35、作。附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉50第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉 如今幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：如今幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字：初等幾何的初等幾何的歐拉線歐拉線多面體的多面體的歐拉定理歐拉定理解析幾何的解析幾何的歐拉變換歐拉變換四次方程的四次方程的歐拉解法歐拉解法數(shù)論中的數(shù)論中的歐拉函數(shù)歐拉函數(shù)微分方程的微分方程的歐拉方程歐拉方程級(jí)數(shù)論的級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)歐拉常數(shù)變分學(xué)的變分學(xué)的歐拉方程歐拉方程復(fù)變函數(shù)的復(fù)變函數(shù)的歐拉公式歐拉公式51第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 歐拉的記憶力驚人！歐拉的記憶力驚人！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉能背誦羅馬

36、詩(shī)人維吉爾能背誦羅馬詩(shī)人維吉爾(Virgil)的史詩(shī)的史詩(shī)Aeneil，能背誦能背誦“全部全部”的數(shù)學(xué)公式，的數(shù)學(xué)公式，直至晚年，還能復(fù)述年輕時(shí)的筆記的直至晚年，還能復(fù)述年輕時(shí)的筆記的“全部全部” 內(nèi)容。內(nèi)容。能背誦前一百個(gè)質(zhì)數(shù)的前十次冪，能背誦前一百個(gè)質(zhì)數(shù)的前十次冪，52第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 歐拉的心算能力罕見(jiàn)！歐拉的心算能力罕見(jiàn)！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)歐拉的兩個(gè)學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)歐拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，用心算進(jìn)行了歐拉為了確定究竟誰(shuí)對(duì)，用心算進(jìn)行了道聽(tīng)途說(shuō)道聽(tīng)途說(shuō)的前的前 17 項(xiàng)加起來(lái)，算到第項(xiàng)加起來(lái)，算到第 50 位數(shù)字，位數(shù)字，兩人

37、相差一個(gè)單位；兩人相差一個(gè)單位；全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來(lái)。全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了出來(lái)。53第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 歐拉的毅力極其頑強(qiáng)！歐拉的毅力極其頑強(qiáng)！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉可以在任何不良的環(huán)境中工作?？梢栽谌魏尾涣嫉沫h(huán)境中工作。常常抱著孩子在膝上完成論文。常常抱著孩子在膝上完成論文。在雙目失明以后，也沒(méi)有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究。在雙目失明以后，也沒(méi)有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究。在失明后的在失明后的 17 年間，還口述了年間，還口述了400 篇左右的論文。篇左右的論文。( (返回返回) )54第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 關(guān)于關(guān)于 ( (在集合意義下在集合意義下) )2121ArgArg)(Arg

38、zzzz 附：附： 所謂所謂“在集合意義下在集合意義下”是指：是指：分別從集合分別從集合 中與集合中與集合 中任取一個(gè)中任取一個(gè)元素元素( (即輻角即輻角) )，相加后，得到集合相加后，得到集合 中的中的2Argz1Argz)(Arg21zz 一個(gè)元素一個(gè)元素( (即輻角即輻角) )。比如比如 設(shè)設(shè),zzw 則則,|2zzzw zzzzwArgArg)(ArgArg 事實(shí)上，事實(shí)上，)2arg()2arg(ArgArg21kzkzzz kkz)(2arg221 ;2arg2kz )2(arg2Arg2kzz .Arg2z.4arg2kz ( (返回返回) )55第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 1.3 平

39、面點(diǎn)集的一般概念平面點(diǎn)集的一般概念一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集二、區(qū)域二、區(qū)域三、平面曲線三、平面曲線56第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集1. 鄰域鄰域設(shè)設(shè) 為復(fù)平面上的一點(diǎn)，為復(fù)平面上的一點(diǎn)，定義定義0z,0 z0 z0(1) 稱點(diǎn)集稱點(diǎn)集 為為 點(diǎn)的點(diǎn)的 鄰域鄰域；| :0 zzz0z (2) 稱點(diǎn)集稱點(diǎn)集 為為 點(diǎn)的點(diǎn)的 去心鄰域去心鄰域。|0:0 zzz0z 57第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集2. 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)與邊界點(diǎn);0Gz (1)內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)外點(diǎn)邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)考慮某平面點(diǎn)集考慮某平面點(diǎn)集 G 以及某一點(diǎn)以及某一點(diǎn) ，0z,| :0 z

40、zz(2),0 有有.Gz 外點(diǎn)外點(diǎn);0Gz (1),| :0 zzz(2),0 有有.Gz 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)0z(1)不一定屬于不一定屬于 G ；在在 中，中， |0zz(2),0 既有既有,Gz 又有又有.Gz 邊界邊界 G 的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 G 的的邊界邊界。58第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 3. 開(kāi)集與閉集開(kāi)集與閉集開(kāi)集開(kāi)集 如果如果 G 的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱 G 為為開(kāi)集開(kāi)集。一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集閉集閉集 如果如果 G 的邊界點(diǎn)全部都屬于的邊界點(diǎn)全部都屬于 G ，則稱，則稱 G 為為閉集閉集。4. 有界集與無(wú)界集有界集與無(wú)界集定義定義 若存

41、在若存在 ，使得點(diǎn)集，使得點(diǎn)集 G 包含在原點(diǎn)的包含在原點(diǎn)的 鄰域內(nèi)，鄰域內(nèi)，0 則則 G 稱為稱為有界集有界集，否則稱為否則稱為非有界集非有界集或或無(wú)界集無(wú)界集。59第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 二、區(qū)域二、區(qū)域1. 區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域區(qū)域 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 D 稱為一個(gè)稱為一個(gè)區(qū)域區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件，如果它滿足下列兩個(gè)條件:(1) D 是一個(gè)開(kāi)集；是一個(gè)開(kāi)集；(2) D是是連通連通的，的，閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域 D 與它的邊界一起構(gòu)成與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域閉區(qū)域或或閉域閉域, 記作記作 D。不不連連通通的一條折線連接起來(lái)。的一條折線連接起來(lái)。即即 D 中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬

42、于中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于 D連通連通60第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 二、區(qū)域二、區(qū)域2. 有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域 ( (顧名思義顧名思義) )3. 內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域內(nèi)區(qū)域與外區(qū)域（如何圍出面積最大的區(qū)域）定義定義 一條一條“簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線( (?) )”把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)區(qū)域，把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)區(qū)域， 其中其中有界有界的一個(gè)稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的的一個(gè)稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部?jī)?nèi)部( (內(nèi)區(qū)域內(nèi)區(qū)域) )，稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的稱為該簡(jiǎn)單閉曲線的外部外部( (外區(qū)域外區(qū)域) )。4. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域定義定義 設(shè)設(shè) D 為區(qū)域，如果為區(qū)域，如果 D 內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單

43、閉曲線的內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部?jī)?nèi)部仍仍屬于屬于 D，則，則 D 稱為稱為單連通域單連通域， 多連通域多連通域又可具體分為又可具體分為二連域二連域、三連域三連域、 。另一個(gè)另一個(gè)否則稱為否則稱為多連通域多連通域。61第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 A 省省( (二連域二連域) )( (三連域三連域) )二、區(qū)域二、區(qū)域4. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域A 省省( (單連域單連域) )B 省省( (單連域單連域) )B 省省( (非區(qū)域非區(qū)域) )舉例舉例( (杜撰杜撰) )飛地飛地62第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 ;1| )2(| iz區(qū)域區(qū)域1 2 + i閉區(qū)域閉區(qū)域3/( (角形角形) )區(qū)域區(qū)

44、域;0 x63第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 三、平面曲線三、平面曲線1. 方程式方程式 在直角平面上在直角平面上.0),( yxf 在復(fù)平面上在復(fù)平面上.0)( zf 如何相互轉(zhuǎn)換如何相互轉(zhuǎn)換？( (比較熟悉比較熟悉) )( (比較陌生比較陌生) )(1)0),( yxf2/ )(zzx )2/()(izzy .0)( zf(2)0)( zfyixz .0),( yxf( (建立方程建立方程) )( (理解方程理解方程) )64第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 22(1)4.xy0.y.yx 22221.2(3)xy.122 yxi i(1)i i(2)2i 2(3)1 12 2i3i3 (4)1 1(5)65第

45、一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 三、平面曲線三、平面曲線2. 參數(shù)式參數(shù)式 , )(, )(tyytxx 在直角平面上在直角平面上. )( t, )()()(tyitxtzz 在復(fù)平面上在復(fù)平面上. )( t例如例如 考察以原點(diǎn)為圓心、以考察以原點(diǎn)為圓心、以 R 為半徑的圓周的方程為半徑的圓周的方程。)()()( yixzz (2) 在復(fù)平面上在復(fù)平面上 ,sin)(,cos)( RyyRxx(1) 在直角平面上在直角平面上. )20( , )sin(cos iR . )20( ,e iRz 66第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 三、平面曲線三、平面曲線3. 曲線的分類曲線的分類, )()()(tyitxtzz 考慮曲線考慮曲線. )( t簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，, ,2 t. )()(21tztz 21tt , ),(1 t簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線. )()( zz 簡(jiǎn)單曲線且簡(jiǎn)單曲線且光滑曲線光滑曲線.0)( tz在區(qū)間在區(qū)間 上，上，和和 連續(xù)且連續(xù)且, )(tx )(ty 簡(jiǎn)單、不閉簡(jiǎn)單、不閉簡(jiǎn)單、閉簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、閉不簡(jiǎn)單、不閉不簡(jiǎn)單、不閉67第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)平面 三、平面曲線三、平面曲線4. 有向曲線有向曲線定義定義 設(shè)設(shè) C 為平面上一條給定的光滑為平面上一條給定的光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲線曲線，指定指定 C 的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向的兩